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2.3.2 两个变量的线性相关


§2.3.2 两个变量的线性相关
一、学习目标:
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的含义,知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.在两个变量具有线性相关关系时,会在散点图中作出线性回归直线,会用线性回归方程进行预测.

二、

学习重点与难点:
学习重点:回归直线方程的求解方法. 学习难点:回归直线方程的求解方法.

三、课堂过程:
1.创设情境,揭示课题
在上节课,为了了解热茶销量与气温的大致关系. 0 26 18 13 气温/ C 杯数 20 24 34 10 38 4 50

?1
64

我们以横坐标 x 表示气温,纵坐标 y 表示热茶销量,建立直角坐标系,将表中数据构成的 6 个数对所表示 的点在坐标系内标出,得到散点图. 从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心 的一条直 线的附近. 如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线 的附近,我 们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直 线. 如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清 楚的了解 热茶销量与气温之间的关系.
180 160 140 120 100 80 60 40 20

2.最小二乘法

-20

20

40

60

80

100

120

140

160

-20

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关 系? 我们有多种思考方案: (1)选择能反映直线变化的两个点,例如取 (4,50),(18, 24) 这两点的直线; (2)取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同; (3)多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距;
-40

怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小.
? 即:用方程为 y ? bx ? a 的直线拟合散点图中的点,应使得该直线与散点图中的点最接近.那么,怎样衡量

? 直线 y ? bx ? a 与图中六个点的接近程度呢?
? 我 们 将 表 中 给 出 的 自 变 量 x 的 六 个 值 带 入 直 线 方 程 , 得 到 相 应 的 六 个 y 的 值 :

26b ? a,18b ? a,13b ? a,10b ? a, 4b ? a, ?b ? a .这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们
用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:

Q(a, b) ? (26b ? a ? 20) 2 ? (18b ? a ? 24) 2 ? (13b ? a ? 34) 2 ? (10b ? a ? 38) 2 ? (4b ? a ? 50) 2 ? (?b ? a ? 64) 2 ? 1286b 2 ? 6a 2 ? 140ab ? 3820b ? 460a ? 10172

? ? Q(a, b) 是直线 y ? bx ? a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线 y ? bx ? a 与 图中六个点的接近程度,所以,设法取 a , b 的值,使 Q (a, b) 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘
法) .

1

先把 a 看作常数,那么 Q 是关于 b 的二次函数.易知,当 b ? ? 常数,那么 Q 是关于 a 的二次函数.当 a ? ?

140a ? 3820 时, Q 取得最小值.同理, 把 b 看作 2 ?1286
? 140a ? 3820

b?? 140b ? 460 ? 时, Q 取得最小值.因此,当 ? 2 ? 1286 时, Q 取 ? 12 140b ? 460 ?a ? ? ? ? 12

? 得 最 小 值 , 由 此 解 得 b ? ?1.6477, a ? 57.5568 . 所 求 直 线 方 程 为 y ? ?1.6477 x ? 57.5568 . 当 x ? ?5 ? 时, y ? 66 ,故当气温为 ?5 C 时,热茶销量约为 66 杯.
0

3.线性回归方程的求解方法
一般地,设有 n 个观察数据如下:

x
y

x1 y1

x2 y2

x3 y3

… …

xn yn

? 当 a , b 使 Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ... ? ( yn ? bxn ? a)2 取得最小值时,就称 y ? bx ? a 为拟合
这 n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后,是一个关于 a , b 的二次多项式,应用配方法,可求出使 Q 为最小值时的 a , b 的值.即
n n ? ? ? ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? xi yi ? n x y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? ?2 1 n 1 n 2 ? ( xi ? x ) xi ? n x ,(*) x ? ? xi , y ? ? yi ? ? ? n i ?1 n i ?1 i ?1 i ?1 ? ? ? ? a ? y? b x ?

线性回归方程是

? y ? bx ? a ,其中 b 是回归方程的斜率,a 是截距.系数

4.求线性回归方程的步骤: (1)计算平均数 x, y ;
(2)计算 xi 与yi 的积,求 (3)计算

?x

?x y ;
i i
i i

2 i


b?

(4)将结果代入公式

?x y
i ?1 n

n

?nx y ?nx
?2

? ?

,求 b;

?x
i ?1

2 i

(5)用 a ? y ? bx ,求 a; (6)写出回归方程
王新敞
奎屯 新疆

5. 线性回归方程的应用
例:给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:

施化肥量 x 水稻产量 y
王新敞
奎屯 新疆

15 330

20 345

25 365

30 405

35 445

40 450

45 455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线方程 解:(1)散点图(略) . (2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格

2

i xi yi xiyi

1 15 330 4950
7 i ?1

2 20 345 6900

3 25 365 9125
7 i ?1

4 30 405 12150
7 i ?1

5 35 445 15575

6 40 450 18000

7 45 455 20475

x ? 30, y ? 399.3 ,

?x

2 i

? 7000,? yi2 ? 1132725, ? xi yi ? 87175

故可得到

b?

87175? 7 ? 30 ? 399.3 ? 4.75, 7000? 7 ? 302 a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257

^ 从而得回归直线方程是 y ? 4.75 x ? 257 .

6.小结:
对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数 a , b 的计算公式,算 出 a , b .写出回归方程 7.课后作业:P92 练习.
王新敞
奎屯 新疆

3


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