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【高中数学】平面向量基本定理

时间:2012-05-31


平面向量基本定理

高一数学组 主 讲:蒲东风

回 顾(上一节内容)
1.实数与向量的积的定义 2.实数与向量的积满足的运算律 3.平向量共线定理

定义:
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运

算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:

(1) 长度 (2) 方向 |λa|=|λ|· |a| 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反;

特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0

运算律: 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ,使得 b=λa.

定理:

问 题 (物理)
将一个力分解为两个分力,已知两个分力的方向如 图,其分力大小能否确定?(动手试试吧)

L1 A

F P

? e1
? e2

0 B

L2

一、平面向量基本定理
基底 如果e 1 ,e 2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对 于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2, 使 e1,e2的线性组合 a=λ1e1+λ2e2.
(1)我们把不共线的向量e1,e2叫做这一平面内所有向量

的一组基底
(2)把一个平面向量a用一组基底e1,e2表示成 a=λ 1e1+λ 2e2

的形式,我们称它为向量的分解.
(3)特别的当e1,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解;

说明
① 平面向量的基底不唯一,关键是不共线, (即:只要两个向量不共线,都可以作为平面向量的一组基底) ② 一个平面内的基底一旦给定了,任何向量都可以用 用他们表示出来,并且表示方式一唯一

二、向量的夹角:
不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定: 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作OA = a ,
OB =

b ,则?AOB=θ (0? ? ? ? 180 ? )叫做向量
B

a 与 b 的夹角.
o

b
θ

? ? ? a 显然: ? ? 0 时,a与b 同向 当 ? ? ? 当? ? 180 时,a与b 反向 ? ? ? ? ? 如果a与b 的夹角是90 ,我们就说a与b 垂直

.

A

? ? 记作:a ? b

即时训练 :

7. 在右图中,对于平行四边形ABCD,点M是AB中点,点N在 BD上,且 BN ? 1 BD ,求证:M、N、C三点共线
3
D C N

分析: 分别连接MN和MC
? ? ? 记 AD ? a , AB ? b 则
?

? a
A

? b

M

B

MN ? MB? BN
1 ? 1 ? ? AB ? BD 2 3 ? 1 ? 1 ? ? AB ? ( AD ? AB) 2 3 1? 1 ? ? ? b ? (a ? b ) 2 3

?

?

?

MC ? MB ? BC

?

?

?

1? 1? ? b? a 6 3

1 ? 显然: ? MC MN 3 ? ? 又: 、 有公共点M MN MC
? M、N、C三点共线

1? ? ? b ?a 2
?

故命题得证

8. 已知:点D、E、F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,求证:AE、 BF、CD交于一点
AA

分析:
由平面几何知识可得:
F

? a

DD

·
·
G

·
F CC A

BB

?EE b
D

DF DG FG 1 ? ? ? BC GC GB 2 ? ? ? ? 记 BA ? a , BC ? b 则
AG ? BG ? BA
?
? ?

?

F G B E C

1 ? ? ? (b ? 2a ) 3

2 ? ? ? BF ? BA 3 2 1 ? ? ? ? ? (a ? b ) ? a 3 2

AE ? BE ? BA

?

?

1? ? ? b ?a 2
?

2 ? 显然: ? AE AG 3

又: 、 有公共点A AG AE ? A, G, E是共线的(即中线AE也过点G)
故命题得证

?

?

小 结:
本节课我们联系物理知识共同研究讨论了: ?? ?? ? 1. 平面向量基本定理 如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量, e2

2. 理解平面向量基本定理基础上,体验了平面向量基本 定理的简单应用.

?? ?? ? ? 如果e1、是同一平面内的两个不共线的向量, e2 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 ? 实数?1、?2,可使 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 ? ?? ?? ? 实数?1、?2,可使 a ? ?1 e1 +?2 e2 ? ?? ?? ? a ? ?1 e1 +?2 e2

高一数学学案、作业P48------P50

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