nbhkdz.com冰点文库

平面向量不等式


平面向量
1(全国Ⅰ新卷文 2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于( A. )

8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65

/>)

1、 (重庆卷理 2)已知向量 a,b 满足 a ? b ? 0, A. 0 B.

a ? 1, b ? 2, ,则 2a ? b ? (
D. 8 )

2 2
3 2

C. 4

2、 (重庆卷文 3)若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为( A. ?

3 2

B.

C.2

D.6

3、 (安徽卷理 3 文 3)设向量 a

?1 1? ? ?1,0? , b ? ? , ? ,则下列结论中正确的是( ?2 2? ? 2 2
C. a ? b 与 b 垂直 D. a ∥ b ) D.



A.

a?b

B. a ? b

4、 (湖北卷理 3)在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B =( A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3
,则函数

6 3


5、 (北京卷文 4)若 a,b 是非零向量,且 a A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数

? b, a ? b

f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是(

B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数

6、 (湖南卷理 4)在 Rt ?ABC 中, ?C =90° AC=4,则 A.-16 B.-8 C.8

uu u r uuu r AB ? AC 等于(
?



D.16

7、 (广东卷文 5)若向量 a =(1,1) , b =(2,5) , c =(3,x)满足条件 (8 a - b )· c =30,则 x =( A.6 B.5 C.4 D.3
2

?

?

?

?

?



8、 (四川卷理 5 文 6) 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC A.8 B.4 C. 2
??? ???

( ? 16, ?AB ? AC ???AB ? AC ?? 则?AM??



D.1
???

9、 (湖北卷理 5 文 8)已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ( ) A.2 A. 30
0

? 0 .若存在实数 m 使得 AB? AC ? m AM 成立,则 m=

???

???

???

B.3 B. 60
0

C.4

D.5 ) C. 120
0

10、 (湖南卷文 6)若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( D. 150
0

11、 (北京卷理 6)A.b 为非零向量。“ a A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ( xb ? a) 为一次函数”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12、 (湖南卷理 6 文 7)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120° ,c ? A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,则(



-1-

13、 (北京卷文 7)某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等 腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( A. 2sin ? C. 3sin ? )

? 2 cos ? ? 2 ;

B. sin ?

? 3 cos ? ? 3
? cos ? ? 1
AB
上的三等分点,则 tan ?ECF

? 3 cos ? ? 1 ;

D. 2sin ?

14、 (江西卷理 7 ) E , F 是等腰直角 ?ABC 斜边 ( ) A.

?

16 27

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 4


15、 (天津卷理 7)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2 A. 30 0 B. 60 0 C. 1200 D. 1500

? b2 ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(

16、 (辽宁卷理 8 文 8)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于( A. C.



|a |2 | b |2 ?(a b) 2

B. D.

|a |2 | b |2 ? (a b) 2

1 |a |2 | b |2 ?(a b) 2 2

1 |a |2 | b |2 ?(a b) 2 2

17、 (福建卷文 8)若向量 a =(x,3) (x∈R) ,则“x = 4”是“| A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

a

|=5”的(



D.既不充分也不必要条件 则A ? AB , BC ? 3 BD ,AD ? 1 , CA D ? =

18、 (天津卷文 9) 如图, 在 ΔABC 中,AD





A. 2

3

B.

3 C. 3 2 3

D.

3 uur
, CA ? b ,

19、 (全国Ⅱ卷理 8 文 10) ) V ABC 中,点 D 在

AB 上, CD 平分 ?ACB .若 CB ? a

uur

a ? 1 , b ? 2 ,则

uuu r CD ? (
A.

) B.

4 3 a? b 5 5 1 1 1 20、 (上海卷理 18)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , ,则此人能( 13 11 5
C. D. A.不能作出这样的三角形 C.作出一个直角三角形 A.一定是锐角三角形. C.一定是钝角三角形. B.作出一个锐角三角形 D.作出一个钝角三角形

1 2 a? b 3 3

2 1 a? b 3 3

3 4 a? b 5 5



21、 (上海卷文 18)若△ ABC 的三个内角满足 sin

A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (



B.一定是直角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

22、 (北京卷理 10 文 10)在△ABC 中,若 b = 1,c =

3 , ?C ?

2? 3

,则 a =



-2-

23、 (广东卷理 11)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b=

3,

A+C=2B,则 sinC=

.

24、 (陕西卷理 11 文 12)已知向量 a=(2,-1) ,b=(-1,m) ,c=(-1,2) ,若(a+b)∥c,则 m=



25、 (江苏卷 13)在锐角三角形 ABC,A.B.C 的对边分别为 A.B.c,

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,则 ? ? __ a b tan A tan B
. 。

26、 (江西卷理 13)已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 | a ? b |? 27、 (浙江卷文 13)已知平面向量 ? , ? , ?

? 1, ? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ?

的值是

28、 (天津卷理 15)如图,在三角形 ABC 中,

AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则

AC AD ?

.

29、 (山东卷理 15 文 15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= sinB+cosB=

2 ,b=2,

2 ,则角 A 的大小为______________.

30、 (江苏卷 15)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) 求以线段 AB.AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 31、 (浙江卷理 16 )已知平面向量 ? , ? (? __________________ . 32、 (全国Ⅰ新卷理 16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值 与?

? 0, ? ? ? ) 满足 ? ? 1 ,且 ?
1 2

??

的夹角为 120° ,则

?

的取值范围是

DC, ? ADB=120° ,AD=2,若△ADC 的面积为 3 ?

3 ,则

? BAC=_______
33、 在△ABC 中,D 为 BC 边上一点, 34、 ( 安 徽 卷 理 16 ) 设

BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____
是 锐 角 三 角 形 ,

?ABC

a, b, c

分 别 是 内 角

A, B, C

所 对 边 长 , 并 且

sin 2 A ? sin(
(Ⅰ)求角

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B 。

(Ⅱ)若 AB AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。 A 的值;

35、 (重庆卷理 16)设函数

2 ? x ? f ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2 ?

(Ⅰ)求

f ? x ? 的值域; (Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A.B.C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,求 a 的值
A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ?

36、 (安徽卷文 16) ?ABC 的面积是 30,内角 (Ⅰ)求 AB

12 。 13

(Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。 AC ;

37、 (江苏卷 17)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角∠ABE=α, ∠ADE=β

-3-

(I)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值。 (II)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时,α-β 最大? 38、 (辽宁卷理 17)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 39、 (辽宁卷文 17)在

ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且

2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(Ⅰ)求 (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,是判断 ABC 的形状。 A 的大小;

(陕西卷理 17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5

?3 ? 3 ? 海里的两个观测点,现

位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20

3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该

救援船到达 D 点需要多长时间? 40、 (陕西卷文 17)在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6, 求 AB 的长. 41、 (天津卷文 17)在 ? ABC 中,

AC cos B 。 ? AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos

A =-

?? 1 ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值 3? 3 ?

42、 (全国Ⅰ卷理 17 文 18)已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 满足 a ? b

? a cot A ? b cot B ,求内角 C . 1 43、 (浙江卷理 18)在△ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? 4
(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 44、 (浙江卷文 18)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin

?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

A ? sin B 的最大值。 1 3 45、 (四川卷理 19 II)已知△ABC 的面积 S ? , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cos C . 5 2 46、 (福建卷理 19)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°
且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小) ,使得小艇能以最 短时间与轮船相遇,并说明理由。 【答案】1-10 CBDCC ADCCB 11-20 CBAAD ACADB 21-22 DC 23、1 24、1 25、-1 26、4 27、

3

28、

10 29、 3

30、

? 6
5

31、 4

2 、 2 10 ; t ? ?

11 5

32、 (0,

2 3 33、 ?BAC ? 600 ] 3
-4-

34、 2 ?

35、
39、 120

A?

?
3

; b ? 4, c ? 6

36、 [0, 2], a ? 1或2
41、25

37、 144, a ? 5
42、1h 43、 5

38、 124,55
6

5

,1

40、 120

, 等腰钝角三角形

os 4 B sin

? 4 2 ?7 3 44、
3 ? 18
π ; 3. 3

45、

? 2

46、

6

10 ;b= 6 ,c=4 或 4

b=2

6 ,c=4

47、

48、 ?

10 10

49、 30

3 ,航行方向为北偏东 30
不等式与线性规划

,航行速度为 30 海里/小时

x ?1 2 1(全国2理科).不等式: x ? 4 >0的解集为(C)
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 2. (北京理科 6)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( D ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a 4 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤ 1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 ? a ≤ 1 或 a ≥ 3 3 3 3. (北京理科 7)如果正数 a,b,c,d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么( A ) A. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一
4. (北京理科 12)已知集合 A ?
?



? x | x ? a ≤1? , B ? ?x x

2

? 5x ? 4 ≥ 0

? .若 A
1 16

B ? ? ,则实数 a 的取值范围(2,3)

5(上海理科 6)已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y 6.(上海理科 13)已知 a , b 为非零实数,且 a A、 a
2

? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

? b ,则下列命题成立的是(C)

? b2

B、 a

2

b ? ab2

C、

1 1 ? 2 2 ab a b

D、

b a ? a b
2

7. (上海理科 15)已知

f ? x ? 是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k ,若 f ?k ? ?k

成立, 则

f ? k ? 1? ? ? k ? 1?

2

成立,下列命题成立的是(D) A、若 B、若 C、若 D、若

f ? 3? ? 9 成立,则对于任意 k ? 1 ,均有 f ? k ? ? k 2 成立 f ? 4? ? 16 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 2 成立 f ? 7 ? ? 49 成立,则对于任意的 k ? 7 ,均有 f ? k ? ? k 2 成立 f ? 4? ? 25 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 2 成立
-5-

? x ? y ≥ ?1 , ? 8(天津理科 2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 , 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( ?3x ? y ? 3. ?
A.4 B.11 C.12
a

B )

D.14
b
c

?1? ?1? ,c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c .则( 9(天津理科 9)设 a,b ?2? ?2? 2 2
A. a

A )

?b?c

B. c

?b?a

C. c

?a?b

D. b

?a?c

10. (浙江理科 1) “x

? 1 ”是“ x 2 ? x ”的
(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件

11. (浙江理科 13)不等式 | 2 x ? 1| ? x ? 1 的解集是_____________。

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? ? 2 2 12. (浙江理科 17) 设 m 为实数, 若 ?( x, y ) ? 3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25} , 则 m 的取值范围是_____________。 ? ? mx ? y ? 0 ? ? ? ?
13. (湖北理科 3)3.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q= 于(B) A.{x|0<x<1} 已知 m,n 为正整数.
m

?x | x ? P, 且x ? Q?,如果 P={x|log x<1},Q={x||x-2|<1},那么 P-Q 等
2

B.{x|0<x≤1}

C.{x|1≤x<2}

D.{x|2≤x<3}

14. (湖北理科 21) (本小题满分 14 分)

(Ⅰ )用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)

1 ? 1 m ? ? ? ?1? ≥1+mx; (Ⅱ )对于 n≥6,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ?? ? 2 ? n ? 3? ? n ? 3? ? 2?

n

n

m



m=1,1,2…,n; (Ⅲ )求出满足等式 3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n 的所有正整数 n. 解: (Ⅰ)证:当 x=0 或 m=1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x>-1,且 x≠0 时,m≥2,(1+x)m>1+mx. 1 ○

(i)当 m=2 时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为 x≠0,所以 x2>0,即左边>右边,不等式①成立; (ii)假设当 m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当 m=k+1 时,因为 x>-1,所以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx 两边同乘以 1+x 得 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当 m=k+1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.

1 m 1 ? 1 m? 1 (Ⅱ)证:当 n ? 6, m ? n时, ? (1 ? ) ? ,? ?(1 ? ) ? ? ( )m , n?3 2 ? n?3 ? 2
而由(Ⅰ) , (1 ?

n

1 m m ) ?1? n?3 n?3
n

m n ? 1 m? 1 ? (1 ? ) ? ?(1 ? ) ? ? ( )m . n?3 n?3 ? 2 ?
(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0

? 6使等式3n0 ? 4n0 ? ? ? (n0 ? 2)n0 ? (n0 ? 3)n0 成立,
-6-

即有(

3 n0 ? 3
n0

n0

)+ (

4 n0 n ? 2 n0 ) ??? ( 0 ) =1. n0 ? 3 n0 ? 3



又由(Ⅱ)可得

3 ( n0 ? 3
+ (1 ?

)+ (

4 n0 n ? 2 n0 n n ?1 ) ??? ( 0 ) ? (1 ? 0 )n0 ? (1 ? 0 ) n0 ? ? n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3

1 n0 1 1 1 1 ) ? ( )n0 ? ( )n0 ?1 ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1, 与②式矛盾, n0 ? 3 2 2 2 2

故当 n≥6 时,不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形; 当 n=1 时,3≠4,等式不成立; 当 n=2 时,32+42=52,等式成立; 当 n=3 时,33+43+53=63,等式成立; 当 n=4 时,34+44+54+64 为偶数,而 74 为奇数,故 34+44+54+64≠74,等式不成立; 当 n=5 时,同 n=4 的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的 n 只有 n=2,3. 15(湖南理科 2) .不等式 A. (??, ? 1)

x?2 ≤ 0 的解集是( x ?1
B. [?1 , 2]

D )

(?1, 2]

C. (??, ? 1)

[2, ? ?)

D. (?1 , 2]

16(湖南理科 14) .设集合 (1) b 的取值范围是 (2)若 ( x,y) ? A (1) [1 , ? ?) (2)

A ? {( x,y) | y ≥| x ? 2 | ,x ≥ 0} , B ? {( x,y) | y ≤ ? x ? b} , A


B ? ?,

B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是



9 2

17. (福建理科 3)已知集合 A= {x | 范围是(C) A. a

x ? a} ,B= {x |1 ? x ? 2} ,且 A (?R B) ? R 错误!未找到引用源。 ,则实数 a 的取值
?2
D.a>2

?2

B. a<1

C. a

18. (福建理科 7)已知 A. (-1,1) 误!未找到引用源。 )

f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f (|
B. (0,1)

1 |) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是(C) x
错误!未找到引用源。 (1,+错

C. (-1,0)错误!未找到引用源。 (0,1)

D. (-错误!未找到引用源。 ,-1)

?x ? y ? 2 ? 19. (福建理科 13)已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2 ?0 ? y ? 3 ?
20. (重庆理科 2)命题“若 x A.若 x
2 2

错误!未找到引用源。 ,则 Z

? 2 x ? y 的取值范围是___ [?5, 7] _______;

? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(
B.若 ? 1 ?



? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1

x ? 1 ,则 x 2 ? 1

-7-

C.若 x

? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

D.若 x

? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

21. (重庆理科 13)若函数 f(x) =

2x

2

?2ax ?a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______.

22.(江西理科 17). (本小题满分 12 分)

已知函数

?cx ? 1 ? f ( x) ? ? ? x c2 ? ?2 ? k

(0<x<c)
在区间(0,1)内连续,且

(c ? x<1)

f (c 2 ) ?

9 . 8

(1)求实数 k 和 c 的值; (2)解不等式

f ( x)>

2 ?1 8
1 ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } 则 M 2
N ? (B)

23. (山东理科 2) .已知集合 M (A)

? {?1,1} , N ? {x |
(D)

{?1,1}

(B)

{?1} (C) {0}

{?1, 0}
1 2 ? 的最小值 m n

24.(山东理科 16)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 为 .

25.(安徽理科 3)若对任意 x ?R,不等式 (A)a<-1 (B)

x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是
(C)

a ≤1

a <1

(D)a≥1

26. (安徽理科 5)若 A (A)0 27. (江苏 6)设函数 A. C.

? x ? ? 2 ? 2 2? x ? 8
(B)1

?

?, B ? ?x ?R logx x ? 1 ?,则 A ? (CR B) 的元素个数为
(C ) 2 (D)3

f ( x) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1,则有
B. D.

1 3 2 f( )? f( )? f( ) 3 2 3 2 1 3 f( )? f( )? f( ) 3 3 2

2 3 1 f( )? f( )? f( ) 3 2 3 3 2 1 f( )? f( )? f( ) 2 3 3
a b
<1, 则

28. (陕西理科 9)给出如下三个命题:ZXXK.COM ①四个非零实数 a、 b、 c、 d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc;ZXXK.COM②设 a,b∈R, 则 ab≠0 若 ③若 f(x)=log 2 2x=x,则 f(|x|)是偶函数.ZXXK.COM 其中不正确命题的序号是 ZXXK.COM A.①②③ 29(全国 1 文科 1)设 S A. ? B.①② C.②③ D.①③ZX

b a

>1; ZXXK.COM

? {x | 2 x ? 1 ? 0} , T ? {x | 3x ? 5 ? 0} ,则 S T ?
B. { x |

1 x?? } 2

C. { x |

5 x? } 3

D. { x | ?

1 5 ?x? } 2 3

30. (北京文科 15) (本小题共 12 分) 记关于 x 的不等式 (I)若 a

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q . x ?1

? 3 ,求 P ; (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.
-8-

解: (I)由 由a

x?3 ? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? 3? . (II) Q ? x x ? 1 ≤1 ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? . x ?1

?

?

? 0 ,得 P ? ? x ?1 ? x ? a? ,又 Q ? P ,所以 a ? 2 ,即 a 的取值范围是 (2, ? ?) .

31. (天津文科 1) (1)已知集合 S A.

? ? x ? R x ? 1≥ 2? , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,则 S

T ?(

B



?2?

B.

2? ?1,

C.

1, 2? ?0,

D.

01 , , 2? ??1,
(D)既不充分也不必要条件

32.(浙江文科 3)“x>1”是“x2>x”的(A) (A)充分而不必要条件 33.湖南文科 1.不等式 x
2

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

? x 的解集是(

D )

0) A. ( ??,

1) B. (0,

, ? ?) C. (1

0) D. (??,

(1, ? ?)

34.湖南文科 14.设集合 A ? {( x,y) | 值范围是 ; (2)若 ( x,y) ? A

y ≥| x ? 2 | ,x ≥ 0} , B ? {( x,y) | y ≤ ? x ? b}, A B ? ? , (1) b 的取 B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是


? ?) (2) . (1) [2,

9 2

35.福建文科 4. “ A.充分而不必要

x ? 2 ”是“ x2 ? x ? 6 ? 0 ”的什么条件??(A
B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

36.福建文科 7.已知

1 f ( x) 是 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是(D x



A. (??,1) B. (1, ??) C. (??, 0)

(0,1)

D. (??,0)

(1, ??)
(D)既不充分也不必要条件

37. (重庆文科 5) “-1<x<1”是“x2<1”的(A) (A)充分必要条件 (B)充分但不必要条件 (C)必要但不充分条件 38. (安徽文科 16) (本小题满分 10 分) 解不等式 (| 3x ? 1 | ?)(sin x ? 2) >0. 39. (广东文科 1) .已知集合 M={x|1+x>0},N={x|错误!未找到引用源。>0},则 M∩N=(C) A.{x|-1≤x<1 B.{x|x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x|x≥-1} 1.(2009 安徽卷理)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , (B)p:a>1,b>1 q: a >b 且 c>d q:

f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限 2 (C)p: x=1, q: x ? x (D)p:a>1, q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数 [解析]:由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d a >b 且 c>d,可举反例。选 A
?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2.(2009 山东卷理)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ?
则 , 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,

2 3 ? 的最小值为( a b

). A.

25 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

-9-

y 2 - O 2 2 3x-y-6 =0

x-y+ 2=0 z=ax +by x

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与 直 线 3x-y-6=0 的 交 点 ( 4,6 ) 时 , 目 标 函 数 z=ax+by ( a>0 , b>0 ) 取 得 最 大 12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6, 而

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? )? ?2 ? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6
3.(2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 ?

?x ? 0

y ? kx ?

?3 x ? y ? 4 ?
(C)

4 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 3

(A)

7 3

(B)

3 7

4 3

(D)

3 4
B

4.(2009 安徽卷文)不等式组

所表示的平面区域的面积等于

A. 【解析】由 ?

B.

C.

D.

?x ? 3y ? 4 ? 0 1 4 可得 C (1,1) ,故 S 阴 = ? AB ? xc ? ,选 C。 【答案】C 3 x ? y ? 4 ? 0 2 3 ?
”是“ B. 充分不必要条件 且 ”的 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.(2009 安徽卷文)“ A. 必要不充分条件

【解析】易得 a ? b且c ? d 时必有 a ? c ? b ? d .若 a ? c ? b ? d 时,则可能有 a ? d且c ? b ,选 A。

?2 x ? y ? 4 ? 6.(2009 宁夏海南卷理)设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 解析:画出可行域可知,当 z (B)有最小值 2,无最大值(C)有最大值 3,无最小值 (D)既无最小值,也无最大值

? x ? y 过点(2,0)时, zmin ? 2 ,但无最大值。选 B.

? 2 x ? y ? 4, ? 7.(2009 宁夏海南卷文)设 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y 、 ? x ? 2 y ? 2, ?
8.(A)有最小值 2,最大值 3(B)有最小值 2,无最大值(C)有最大值 3,无最小值(D)既无最小值,也无最大值 w【答案】B

?x ? y ? 3 ? 8.(2009 天津卷理)设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
- 10 -

(A)6

(B)7

(C)8

(D)23

1 1 ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 a b 1 A 8 B 4 C 1 D 4 a b 【解析】因为 3 ? 3 ? 3 ,所以 a ? b ? 1 , b a 1 1 1 1 1 b a b a ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选择 C a b 2 a b a b a b a b
9.(2009 天津卷理)设 a 10.(2009 天津卷理) 0 ? (A ) ? 1 ?

b ? 1 ? a ,若关于 x
(B) 0 ?

的不等式 ( x ? b) > ( ax) 的解集中的整数恰有 3 个,则
2 2

a?0

a?1


(C) 1 ? 即

a?3

(D) 3

?a?6
, 它 的 解 应 在 两 根 之 间 , 故 有

解 析 : 由 题 得 不 等 式

( x ? b) 2

(ax) 2

(a 2 ? 1) x 2 ? 2bx ? b 2 ? 0

? ? 4b 2 ? 4b 2 (a 2 ? 1) ? 4a 2 b 2 ? 0 ,不等式的解集为
?b b ? x? a ?1 a?1

?b b b ?b ? x? ? x? 或0 ? 。若不等式的解 a ?1 a?1 a?1 a ?1 b ?1 a?1
, 故

集 为

, 又 由

0 ? b ? 1? a



0?

?3?

?b ? ?2 a ?1

, 即

2?

b ?3 a ?1

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?x ? y ?1 ? 0 ? 11.(2009 福建卷文)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,则 a ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 ,故看作直 y ? 1 ? 0的可行域,而 ax ? y ? 1 ? 0 的直线恒过(0,1)

解析解析 如图可得黄色即为满足 x ? 1 ? 0与x ?

线绕点(0,1)旋转,当 a=-5 时,则可行域不是一个封闭区域,当 a=1 时,面积是 1;a=2 时,面积是 为 2,故选 D.

3 2

;当 a=3 时,面积恰好

二、填空题

? x ? y ? 2, ? 1.(2009 浙江理)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y 的最小值是 ? x ? y ? 0, ?
3.(2009 山东卷理)不等式

.w.w.w.k.s.5.u.c.答案:4

2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为
- 11 -

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每 天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为__________元. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:设甲种设备需要生产 x 天, 乙种设备需要生产 备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品 设备 甲设备 乙设备 A 类产品 (件)(≥50) 5 6 B 类产品 (件)(≥140) 10 20 租赁费 (元) 200 300

y 天,

该公司所需租赁费为 z 元,则 z

? 200 x ? 300 y ,甲、乙两种设

? 6 x ? y ? 10 ? 5 x ? 6 y ? 50 ? ? ? 5 则满足的关系为 ?10 x ? 20 y ? 140 即: ? , x ? 2 y ? 14 ? ? x ? 0, y ? 0 ? ? ? x ? 0, y ? 0

w.w.w.作出不等式表示的平面区域,当 z

? 200 x ? 300 y 对应的直线

? 6 ? x ? y ? 10 过两直线 ? 的交点(4,5)时,目标函数 z ? 200 x ? 300 y 取得最低为 2300 元. 5 ? ? x ? 2 y ? 14
三、解答题 1.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为

w.w.w.k.s.5.答案:2300

a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意度为

m ;如果他 m?a

买进该产品的单价为

n 元,则他的满意度为
h1h2 .

n .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h 和 h ,则他对这两种 1 2 n?a

交易的综合满意度为

现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分

别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 m A 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合 满意度为 乙 (1)求 甲 和 乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA

h

h

h

h

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

(2)设 mA

3 ? mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? 5

(3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 甲 立?试说明理由。

h ? h0 和 h乙 ? h0 同时成立,但等号不同时成

【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。

(1)

- 12 -

mB 3 5 当 m A ? mB 时, h甲 ? 3 5 5

mB mB 2 h乙 ? ? ? (mB ? 20)(mB ? 5) , mB ? 12 mB ? 5

3

3 mB mB mB 2 5 ? ? 3 (mB ? 5)(mB ? 20) mB ? 3 mB ? 20 5

,

h甲

=

h乙

( 2 )



3 mA ? mB 5

时 , h = 甲

mB 2 1 1 ? ? , 由 20 5 1 2 1 (mB ? 20)(mB ? 5) (1 ? )(1 ? ) 100( ) ? 25 ?1 mB mB mB mB

mB ?[5, 20]得

1 1 1 1 1 10 ? 故当 即 mB ? 20, mA ? 12 时。 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。 ?[ , ] , 5 mB 20 5 mB 20
h0
=

(3) (方法一)由(2)知: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令

10 5



h甲 =

mA mB 10 ? ? h0 ? mA ? 12 mB ? 5 5

得:

mA ? 1 2 mB ? 5 5 ? ? mA mB 2



1 5 5 3 5 10 得: (1 ? x )(1 ? 4y ) ? ? x, ? y, 则 x、y ? [ ,1] ,即: (1 ? 4 x)(1 ? y ) ? 。同理,由 h乙 ? h0 ? 4 2 2 5 mA mB 1 5 5 5 x、y ? [ ,1] 1 ? 4x、1+4y ?[2,5], 1 ? x、1+y ?[ ,2], (1 ? 4 x)(1 ? y ) ? , (1 ? x)(1 ? 4y ) ? , 当且仅 4 2 2 2 1 ,即 m A = mB 时,取等号。所以不能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 h 和 h乙 ? h0 同时成立,但等号不 甲 ? h0 4

另一方面,

当x

?y?

同时成立。

w.w.

- 13 -


平面向量不等式

则 a 与 b 的夹角为( D. 150 0 11、 (北京卷理 6)A.b 为非零向量...y ≤ 2, ? 2. (北京理科 6)若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,...

平面向量与基本不等式

平面向量与基本不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高 三 年级 印数:60 学生姓名: 班级:高 ( )班 编制人: 何为难 审核人: 林锦波 2015 年 月 日...

专题4平面向量与不等式结合

专题4 平面向量不等式结合 平面向量不等式结合考点动向:向量与不等式的交汇是当今高考命题的一个热点.自从新教材实施以来,在 高考中, 不时考查平面向量与不...

平面向量,不等式答案

平面向量,不等式答案_数学_高中教育_教育专区。高三数学精品题集锦===平面向量,不等式 2015-11-18: 3.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(...

春季课程 不等式与平面向量

春季课程: 不等式平面向量适用学科 适用区域 知识点高中数学 通用 适用年级 课时时长(分钟) 高中三年级 120 不等式性质和解法、基本不等式、线性规划和平面向量...

向量不等式

向量不等式_数学_高中教育_教育专区。两向量不等式的坐标形式的统一及应用在平面向量数量积的学习中, 课本研究了向量的模、 向量垂直的充要条件及向量夹角的 坐标...

平面向量与基本不等式(练习题)2016 高考 数学

平面向量与基本不等式(练习题)2016 高考 数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量与基本不等式(备战 2016 高考) 一:选择题 1.在 ?OAC 中,点 B 在...

平面向量的所有公式

平面向量的所有公式_理学_高等教育_教育专区。平面向量的所有公式 设 a=(x,y...6、向量的三角形不等式 、 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b...

不等式 线性规划 平面向量(文科)

不等式 线性规划 平面向量(文科)_数学_高中教育_教育专区。不等式与线性规划一.选择题 1.不等式 x ?1 ? 0 的解集是为 x?2 B. (??, ?2) C.(-2,...

高三数学 不等式、平面向量总复习

高中数学-不等式平面向量 主讲人:谭老师 不等式一、 知识结构 ?一元二次不等式及其解法 ? 1、 不等关系与不等式?二元一次不等式(组)与平面区域 ? 简单线...