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指数与指数函数教案




题:2.1.1

指数-根式
王新敞
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教学目的: 1.掌握根式的概念和性质,并能熟练应用于相关计算中 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力; 教学重点:根式的概念性质
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王新敞
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r />
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教学难点:根式的概念 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 指数函数是基本初等函数之一,应用非常广泛 它是在本章学习完函数概念和两个基本 性质之后较为系统地研究的第一个初等函数 为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展,初中代数中学习了正整数指 数、零指数和负整数指数的概念和运算性质 本节在此基础上学习的运算性质 为下一节学习 分数指数幂概念和性质做准备 教学过程:
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一、复习引入: 1.整数指数幂的概念
n个a
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a n ? a ??? a? a(n ? N*) ?a?? ?
a 0 ? 1(a ? 0)
2.运算性质:

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N *) an

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a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z ) (a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) ? a ? b (n ? Z )
n n n
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3.注意 ① a ? a 可看作 a ? a
m n m ?n

∴a ?a =a ?a
m n m

?n

=a

m?n
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n ?n ② ( ) 可看作 a ? b
n

a b

n ?n ∴ ( ) = a ?b =
n

a b

an bn

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二、讲解新课: 1.根式: ⑴计算(可用计算器) ①3 = 9
3
2

,则 3 是 9 的平方根 ;

② (?5) =-125 ,则-5 是-125 的立方根 ; ③若 6 =1296 ,则 6 是 1296 的 4 次方根 ;
4

1

④ 3.7 =693.43957 ,则 3.7 是 693.43957 的 5 次方根 . ⑵定义: 一般地,若 x n ? a(n ? 1, n ? N*) 则 x 叫做 a 的 n 次方根
n
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5

a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数

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例如,27 的 3 次方根表示为 3 27 ,-32 的 5 次方根表示为 5 ? 32 , a 的 3 次方根表示
6

为 3 a 6 ;16 的 4 次方根表示为? 4 16 ,即 16 的 4 次方根有两个,一个是 4 16 ,另 一个是- 4 16 ,它们绝对值相等而符号相反. ⑶性质: ①当 n 为奇数时:正数的 n 次方根为正数,负数的 n 次方根为负数 记作:

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x?n a

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②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 记作:

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x ? ?n a

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③负数没有偶次方根, ④ 0 的任何次方根为 0

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注:当 a ? 0 时, n a ? 0,表示算术根,所以类似 4 16 =2 的写法是错误的. ⑷常用公式 根据 n 次方根的定义,易得到以下三组常用公式: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a.例如,( 3 27 ) =27,( 5 ? 32 ) =-32.
n 3 5

②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

3 2 例如, 3 (?2) =-2, 5 25 =2; 4 34 =3, (?3) =|-3|=3.

⑶根式的基本性质:

np

(a a mp ? n a m , ? 0).
3

2 注意,⑶中的 a ? 0 十分重要,无此条件则公式不成立. 例如 6 ( ?8) ?

?8 .

用语言叙述上面三个公式: ⑴非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身;n 为偶数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开 方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 三、讲解例题:

2

例 1(课本第 71 页 例 1)求值
3 ① 3 (?8) = -8 2 ;② (?10 ) =

|-10| =

10 ;

4 ③ 4 (3 ? ? ) = | 3 ? ? | =

? ? 3 ;④ (a ? b) 2 (a ? b) = |a- b| = a- b .

去掉‘a>b’结果如何? 例 2 求值:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
分析: (1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:

(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 ? (( 3 ? 2 ))2 ? (2 ? 3 ) 2 ? (2 ? 2 ) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2 ) ?2 2 注意:此题开方后先带 上绝对值,然后根据正 负去掉绝对值符号。
(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 =2 ? 3 ? 3 =2 ? 6 33 ? 6 =2 ? 6 33 ? =2 ? 3 ? 6
四、练习: 五、小结 本节课学习了以下内容: 1.根式的概念; 2.根式的运算性质: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np
n

3 6 2 ? 2 ?3 2 32 6 2 ? 2 ?3 22
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32 2 ?2 ?3 22

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

⑶根式的基本性质: 六、课后作业:

(a a mp ? n a m , ? 0).

3



题:2.5.2

指数-分指数 1

教学目的: 1.理解分数指数幂的概念. 2.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4.培养学生用联系观点看问题. 教学重点:1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点:对分数指数幂概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析:教材分析: 本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂,并给出了有理指数幂的运算性质
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在分数指数幂概念之后,课本也注明“若 a>0, p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实 数” 为高中三年级限定选修课学习导数时做准备 在利用根式的运算性质对根式的化简过程, 注意发现并归纳其变形特点, 进而由特殊情 形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后, 进一步将其推广到实数范围内, 但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. 教学过程:
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p

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一、复习引入: 1.整数指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z ) (a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) ? a ? b (n ? Z )
n n n
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2.根式的运算性质: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np
n

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

⑶根式的基本性质:

(a a mp ? n a m , ? 0)

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用语言叙述上面三个公式: ⑴非负实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身;n 为偶数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂,那么这个根式的根指数和被开 方数的指数都乘以或者除以同一个正整数,根式的值不变. 3.引例:当 a>0 时

4

10

① 5 a10 ? 5 (a 2 ) 5 ? a 2 ? a 5
12

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② 3 a12 ? 3 (a 4 ) 3 ? a 4 ? a 3
2 3 ③ a ? 2 3 2
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(a 3 ) 3 ? a 3
1 1
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④ a ?

(a 2 ) 2 ? a 2

上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运 算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义. 二、讲解新课: 1.正数的正分数指数幂的意义
m

a n ? n a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)

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要注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式; 二是根式与分数指数幂可以进 行互化. 另外,我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定. 2.规定: (1) a
? m n

?

1 a
m n

(a>0,m,n∈N ,且 n>1)

*

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(2)0 的正分数指数幂等于 0. (3)0 的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后, 指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 a>0 时, 整 数指数幂的运算性质, 对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数 r,s,均有下面的运算 性质. 3.有理指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
说明:若 a>0,P 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算 性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.? 三、讲解例题:
2
p
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例 1 求值: 8 3 ,100 2 , ( ) , (
? 1 2 ? 1 2

?

1

1 4

?3

16 ? 4 ) 81
? 10?1 ? 1 10

3

2

2

. 8 3 ? (2 3 ) 3 ? 2

3?

2 3

? 22 ? 4

100
解: ( )
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? (102 )

? 10

1 2?( ? ) 2

1 ?3 ? (2 ? 2 ) ?3 ? 2 ( ?2)?( ?3) ? 2 6 ? 64 4 3 3 16 ? 4 2 4?( ? 4 ) 2 27 ( ) ?( ) ? ( ) ?3 ? 81 3 3 8
5

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例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式:

a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中 a>0)
1

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解: a ? a ? a ? a 2 ? a
2 2
2

2?

1 2

5

? a2
11

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a3 ? 3 a2 ? a3 ? a 3 ? a
1 2 1 2

3?

2 3

?a3
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a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

3 2

1 2

3 4

例 3 计算下列各式(式中字母都是正数)

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b ); (2)(m n ) .
分析: (1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并 且要注意符号 (2)题按积的乘方计算,而按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤
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1 4

3 8 8

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(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )


2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

(2)(m n )
1

1 4

3 8 8 ? 3

? [2 ? (?6) ? (?3)]a ? 4ab ? 4a
0

2 1 1 ? ? 3 2 6

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? (m 4 ) 8 (n 8 ) 3 ? m 3 ? n ?3 ? m2 n3

例 4 计算下列各式:

(1)

a2 a3 a2

(a ? 0);

(2)(3 25 ? 125) ? 4 5
分析: (1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算 (2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算 解: a2
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(1) ?

a? a a2
3 1 2 3 2 1 2 2? ? 2 3 5 6

2

(2)(3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 ? 5 ) ? 5
2 3 1 4 3 2 2 3 3 2 1 4 1 4

a ?a ?a ?a

? 5 ?5 ?5 ?5 ?5
2 1 ? 3 4 5

?5
5

3 1 ? 2 4

? 5 12 ? 5 4 ? 12 5 5 ? 54 5.

? 6 a5
四、练习:课本 P14 练习

1.用根式的形式表示下列各式(a>0)

6

3

a 4 ? 4 a3
a ,a ,a ,a
1 5 3 4 ? 3 5 ? 2 3

a a

?

3 5

? 5 a ?3 ? ? 3 a ?2 ?

1
5

a3 1 a2

?

2 3

3

解: a ? 5 a 2.用分数指数幂表示下列各式: (1) 3 x 2
2 (3) 3 ( m ? n) 3 (2) 4 ( a ? b) (a+b>0) 4 (4) ( m ? n) (m>n)

1 5

(5)

p 6 ? q 5 (p>0)

(6)

m3 m
3 4

解:(1) (3) (5) (6)
3

3

x ?x
2

2 3

(2)
2

4

(a ? b) ? (a ? b)
3

1

(m ? n) 2 ? (m ? n) 3
1 6

(4)
5

(m ? n) 4 ? (m ? n) 2 =(m-n)2
5

p 6 ? q 5 ( p ? 0) ? ( p 6 ? q 5 ) 2 ? p 2 q 2 ? p 3 ? q 2
m3 m ? m ?m
3 ? 1 2

?m

5 2

五、小结 本节课学习了以下内容: 分数指数幂的意义,分数指数幂与根式的互化,有理指数幂的运算性质. 六、课后作业: 1.课本 P75 习题 2.5 2.用计算器求值(保留 4 位有效数字) (1) 5
1 3 4

(2) 321
1

2 3

(3) 73

?

1 2 ? 3 4

(4) 675
1

(5) 8 ? 3 2
2

(6)25· 8 (2) 3213 =46.88 (4) 67 =28.90 (6)25· 8
? 3 4 4 5

解: (1) 5 3 =1.710 (3) 73
? 1 2 1 2

=0.1170

(5) 8 ? 3 =2.881

=0.08735

7



题:2.5.3

指数-分指数 2

教学目的: 巩固根式和分数指数幂的概念和性质, 并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进 行相关计算 教学重点:根式和分数指数幂的概念和性质 教学难点:准确应用计算. 授课类型:巩固课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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王新敞
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新疆

一、复习引入: 1.根式的运算性质: ①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np
n

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

⑶根式的基本性质:

(a a mp ? n a m , ? 0).

2.分数指数幂的运算性质:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
二、讲解范例: 例 1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1) 3 a ? 4 a
3 (4) 4 ( a ? b)

(2) a a a (5) 3 ab2 ? a 2 b
1 3 1 4 1 1 ? 3 4

2 (3) 3 ( a ? b)
3 3 2 (6) 4 ( a ? b )

解: (1) a ? a ? a ? a ? a
3 4

?a
1

7 12

1

1 1

1

1

(2) (3)
3

a a a ? [ a ? (a ? a 2 ) 2 ] 2 ? a 2 ? a 4 ? a 8 ? a 2 (a ? b) ? (a ? b)
2 4 3 2 3 3 4
1 3

1 1 1 ? ? 4 8

7

? a8

(4) (a ? b) ? (a ? b)
3 2 2 2

(5) ab ? a b ? (ab ? a b)
2

2

1

(6) 4 (a 3 ? b 3 ) 2 ? (a 3 ? b 3 ) 4 ? (a 3 ? b 3 ) 2 例 2(课本第 77 页 例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) :
8

⑴ (2a b )(?6a b ) ? (?3a b ) ;⑵ (m n ) . 解:⑴原式=[2×(-6)÷(-3)] a
1 8 ? 3 8 2
2 1 1 ? ? 3 2 6

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

1 4

?

3 8 8

?b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab0 ? 4a ;

⑵原式= (m 4 ) (n 8 ) ? m n

?3

?

m2 n3

说明: 该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题, 第⑴小题是仿照单项式 乘除法进行的,首先将系数相乘除,然后将同底数的幂相乘除;第⑵小题是先按积的乘方计 算,再按幂的乘方计算,在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中,刚开始时, 要严格按照象例题一样的解题步骤进行,待熟练以后再简化计算步骤. 例 3(课本第 77 页 例 5) 计算下列各式: ⑴ (3 25 ? 125) ? 4 5 ;⑵
2 3 1

a2 a ? 3 a2
2 1

(a>0).
3 1 2 1 ? 4 3 1 ? 4 5 5

解:⑴原式= (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 ? 5 3 = 12 55 ? 4 55 ? 12 55 ? 54 5 ; ⑵原式=

? 52

? 512 ? 5 4

a2 a ?a
1 2 2 3

?a

1 2 2? ? 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

说明:本例是利用分数指数幂来进行根式计算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再 根据幂的运算性质进行计算; 对于计算结果, 若没有特别要求, 就用分数指数幂的形式表示, 若有特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母又含有负指数 例 4 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) 解:
1 1 1 1

1 2

1 2

1 4

1 4

(x 2 ? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 )
1 1 1 1 1 1

? ( x 4 ? y 4 )(x 4 ? y 4 ) ? ( x 4 ? y 4 )
1 1

? x4 ? y4
1 1

评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即 ( x 4 ) 2 ? x 2 ,由此联想到平方差公式的特 点,进而使问题得到解决 -1 例 5 已知 x+x =3,求下列各式的值:
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(1) x ? x , (2) x ? x .
分析: (1)题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论; (2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者, 可仿照(1)题作平方处理,进而利用立方和公式展开 解:
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1 2

?

1 2

3 2

?

3 2

9

1

(1) ? x 2 ? x
1 2

?

1 2 1 2 ? 1 2 ? 1 2

(2) x ? x
1

3 2

?

3 2 1

? (x )2 ? 2 ? x x ? x 1 ? x ?1 ? 2 ? 3? ? 5 ?x ? x
1 2 1 2 ? 1 2

? ( x ) 2 =(x 2 ) 3 ? ( x ? 2 ) 3
? ( x ? x )[(x ) ? x ? x
2 1 2 ? 1 2 1 2 1 2 ? 1 2

1 ? (x ? )2 ] 2

?? 5
? 1 2

? ( x ? x )[(x ? x ?1 ) ? 1] ? 5 (3 ? 1) ?2 5

1 2

?

1 2

又由x ? x ?1 ? 3得x ? 0 所以x ? x ? 5
新疆

评述: (1)题注重了已知条件与所求之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生所忽 视,应强调以引起学生注意 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联 系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,耐用具有一定层次,需看透问题实质方 可解决得彻底,否则可能关途而废 另外, (2)题也体现了一题多解 三、练习: 1.练习:课本第 78 页 练习:4;习题:*6⑴,*7⑴. 2. 练习求下列各式的值:
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奎屯

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

(1) 25

3 2

(2) 27

2 3

36 (3) ( ) 2 49
3

3

(4) (

25 ? 2 ) 4

3

(5) 81? 9 2

4

(6) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

五、小结 本节课学习了以下内容: 熟练进行有关分数指数幂是计算,熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质 六、课后作业: 1.求下列各式的值: (1) 2
1 2

(2) (
1 1

64 49

?

1 2

)

(3) 10000

?

3 4

125 ? 3 (4) ( ) 27

2

解: (1) 2 2 ? (112 ) 2 ? 11
1 1

2?

1 2

? 11
1

(2) (

64 ? 2 82 ? 8 2?( ? ) 8 7 ) ? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ( ) ?1 ? 49 7 7 8 7
? 3 4

(3) 10000

? (10 )
4

?

3 4

? 10

3 4?( ? ) 4

? 10?3 ? 0.001
2

125 ? 3 53 ? 3 5 ? 5 3?( ? ) 5 9 ) ? ( 3 ) ? [( ) 3 ] 3 ? ( ) 3 ? ( ) ?2 ? (4) ( 27 3 3 3 25 3
2.课本第 75 页 习题 2.5:6 ⑵,7 ⑵⑶⑷.

2

2

2

10



题:2.1.2

指数函数 1

教学目的: 1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 教学重点:指数函数的图象、性质 教学难点:指数函数的图象性质与底数 a 的关系. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 指数函数是基本初等函数之一,应用非常广泛 它是在本章学习完函数概念和两个基本 性质之后较为系统地研究的第一个初等函数 前面已将指数概念扩充到了有理指数幂,并给出了有理指数幂的运算性质 指数函数的 概念从实际问题引入, 这样既说明指数函数的概念来源于客观实际, 也便于学生接受和培养 学生用数学的意识 函数图象是研究函数性质的直观图形 指数函数的性质是利用图象总结出 来的,这样便于学生记忆其性质和研究变化规律 本节安排的图象的平行移动的例题,一是 为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应, 二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备
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教学过程: 一、复习引入: 引例 1(P57) :某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??. 1 个这 样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,?,x 细胞个数:2,4,8,16,?,y 由上面的对应关系可知,函数关系是 y ? 2 .
x

引例 2: 某种商品的价格从今年起每年降低 15%, 设原来的价格为 1, 年后的价格为 y, x 则 y 与 x 的函数关系式为 y ? 0.85x
x
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在 y ? 2 , y ? 0.85x 中指数 x 是自变量,底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数 函数. 二、新授内容: 1.指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R
x
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探究 1:为什么要规定 a>0,且 a ? 1 呢? ①若 a=0,则当 x>0 时, a =0;当 x ? 0 时, a 无意义.
x x

②若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义. 如 (?2) ,这时对于 x= 等等,在实数范围内函数值不存在.
11

x

x

1 1 ,x= ,? 4 2

③若 a=1,则对于任何 x ? R, a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
x

为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a?1 在规定以后,对于任何 x ? R, a 都有意
x
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义,且 a >0. 因此指数函数的定义域是 R,值域是(0,+∞). 探究 2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y= a +k (a>0 且 a ? 1,k ? Z);有些函数
x ?x x x

x

看起来不像指数函数,实际上却是,如 y= a

(a>0,且 a ? 1),因为它可以化为 y= ?

?1? ? , ?a?

x

其中

1 1 >0,且 ? 1 a a
x x

2.指数函数的图象和性质:

?1? ?1? x 在同一坐标系中分别作出函数 y= 2 ,y= ? ? ,y= 10 ,y= ? ? 的图象. ?2? ? 10 ?
x

列表如下: x y= 2
x

? ? ?

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

? ? ?

?1? y= ? ? ?2?

x

x y= 10
x

? ?

-1.5 0.03

-1 0.1

-0.5 0.32

-0.25 0.56

0 1

0.25 1.78

0.5 3.16

1 10

1.5 31.62

? ?

12

?1? y= ? ? ? 10 ?

x

?

31.62

10

3.16

1.78

1

0.56

0.32

0.1

0.03

?

x 我 们 观 察 y= 2 , y= ? ? , y= 10 , y= ?
x

?1? ?2?

x

?1? ? 的图象特征,就可以得到 ? 10 ?

x

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

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0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

三、讲解范例: 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%, 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象, 并从图象上求出经过多少年, 剩量留是原来的一 半(结果保留 1 个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图, 进而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y 经过 1 年,剩留量 y=1×84%=0.841; 经过 2 年,剩留量 y=1×84%=0.842; 1 ?? 一般地,经过 x 年,剩留量
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王新敞
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王新敞
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3.5

3

2.5

2

0.5

1.5

y=0.84

x

1

0.5

根据这个函数关系式可以列表如下:
-0.5

0
3 0.59

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

x y

0 1

1 0.84

2 0.71
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4 0.50

5 0.42

6 0.35

用描点法画出指数函数 y=0.84x 的图象 从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例 2 (课本第 81 页)比较下列各题中两个值的大小:
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王新敞
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① 1 .7

2.5

, 1.7 ;

3

② 0.8

?0.1

, 0.8

?0.2



③ 1 .7

0.3

, 0 .9

3 .1

解:利用函数单调性

13

① 1 .7
x

2.5

与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成

3

5





4.5

4

3.5

y= 1.7 ,当 x=2.5 和 3 时的函数值;因为 1.7>1, 数 y= 1.7 在 R 是增函数,而 2.5<3,所以,
-2

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

所以函

x

0.5

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

1.7 2.5 < 1.7 3 ;
1.8

② 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2

的底数是 0.8, 它们可以看

f?x? = 0.8x

1.6

成 为

1.4

1.2

函数 y= 0.8 ,当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值;因 0<0.8<1,所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数,而
-1.5 -1 -0.5

x

1

0.8

0.6

x

0.4

0.2

0.5

1

-0.1>-0.2,所以, 0.8

?0.1

< 0.8

?0.2


0.3

-0.2

1 ③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号: .7
3.2
3.2

0 >1; .9

3 .1

1 <1; .7

0.3

> 0 .9

3 .1

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2

2.2

2

2

1.8

1.8

f?x? =

f?x? = 0.9x

1.7x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪 个指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 四、练习:⑴比较大小: (?2.5)
2 3

, (?2.5)

4 5

⑵已知下列不等式,试比较 m、n 的大小:

2 2 ( ) m ? ( ) n ? m < n; 1.1m ? 1.1n ? m < n. 3 3
⑶比较下列各数的大小: 1 ,
0

0.4 ?2.5 ,

2 ?0.2

, 2.5

1 .6

五、小结 本节课学习了以下内容:指数函数概念,指数函数的图象和性质 六、课后作业:

14



题:2.1.2

指数函数 2
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教学目的: 1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质 2.掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其单调性; 3. 培养学生数学应用意识 教学重点:指数形式的函数定义域、值域 教学难点:判断单调性. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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王新敞
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王新敞
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一、复习引入:

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

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0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 二、讲授范例: 例 1 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y ? 0.4
1 x ?1

(4)在 R 上是减函数

⑵y ?3

5 x?1

⑶ y ? 2x ?1

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分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象 注意向学生指出 函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围 解(1)由 x-1≠0 得 x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 1 由 ? 0 ,得 y≠1
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x ?1

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所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

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说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令 并结合图象直观地得到,以下两题可作类似处理 (2)由 5x-1≥0 得 x ?
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1 ? t ,考察指数函数 y= 0.4t , x ?1

1 5

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新疆

所以,所求函数定义域为{x| x ?

1 } 5

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新疆

15



5x ?1 ≥0 得 y≥1
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所以,所求函数值域为{y|y≥1} 由 2 >0 可得 2 +1>1
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王新敞
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(3)所求函数定义域为 R

x

x

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所以,所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练, 学会利用指数函数的定义域、 值域去求解指数形式的复合函数的定 义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性
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?1? 例 2 求函数 y ? ? ? ?2?
解:设 x1 ? x2

x ?2 x
2

的单调区间,并证明

王新敞
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新疆

?1? 2 ? ? x1 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2 ) 2 y2 ? 2 ? ?1? ?1? ? ?? ? ?? ? 则 2 y1 ? 1 ? x1 ?2 x1 ? 2 ? ?2? ? ? ?2?
∵ x1 ? x2 ∴ x2 ? x1 ? 0

2 x2 ? 2 x2

当 x1 , x2 ? ?? ?,1? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0 即

y2 ? 1 ∴ y2 ? y1 ,函数单调递增 y1

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新疆

当 x1 , x2 ? ? , ? ?? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0 1 即

y2 ? 1 ∴ y 2 ? y1 ,函数单调递减 y1

王新敞
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新疆

∴函数 y 在 ?? ?,1?上单调递增,在 ?1, ? ? ? 上单调递减 解法二、 (用复合函数的单调性) : 设: u ? x 2 ? 2x 则: y ? ? ?
u

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?1? ? 2?

u

?1? 对任意的 1 ? x1 ? x2 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数 ? 2?
∴ y1 ? y 2

?1? ∴y?? ? ?2?

x2 ?2 x

在 [1,??) 是减函数

王新敞
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新疆

对任意的 x1 ? x2 ? 1 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数

?1? ? 2?

u

16

∴ y1 ? y 2

?1? ∴y?? ? ?2?

x2 ?2 x

在 [1,??) 是增函数

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?1? 引申:求函数 y ? ? ? ?2?

x2 ?2 x

的值域 ( 0 ? y ? 2 )

小结:复合函数单调性的判断(见第 8 课时) 例 3 设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) 2 ?1
x

试证明对于任意 a, f (x) 为增函数; 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明 还应要求 学生注意不同题型的解答方法
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(1)证明:设 x1 , x 2 ∈R,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?


2 2 ) ? (a ? x 2 1 ?1 2 2 ? 1)
x
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2 2 2(2 x1 ? 2 x 2 ) ? x ? x ? x 2 2 ? 1 2 1 (2 1 ? 1)(2 x 2 ? 1)
x

由于指数函数 y= 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 又由 2 >0 得 2 1 +1>0, 2 2 +1>0
x x
x

2 x1 ? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
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因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f (x) 为增函数

评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性 三、练习: 求下列函数的定义域和值域: ⑴ y ? 1? a
x

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1 ⑵ y ? ( ) x ?3 2
x x

1

解:⑴要使函数有意义,必须 1 ? a ? 0 , a ? 1 当 a ? 1时 ∵a ? 0
x

x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1时 x ? 0
∴ 0 ? 1? a ? 1
x

∴值域为 0 ? y ? 1

⑵要使函数有意义,必须

x ? 3 ? 0 即 x ? ?3
1

1 ?0 ∵ x?3
(0,1) ? (1,??)

1 1 0 ∴ y ? ( ) x ?3 ? ( ) ? 1 2 2

又∵ y ?0

∴值域为

五、小结 本节课学习了以下内容: 指数形式的函数定义域、值域的求法,判断其单调性和奇偶性的方法

王新敞
奎屯

新疆

17



题:2.1.2

指数函数 3

教学目的: 1.了解函数图象的变换;能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题. 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 3.培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 教学重点:函数图象的变换;指数函数性质的运用 教学难点:函数图象的变换;指数函数性质的运用. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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王新敞
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王新敞
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一、复习引入:指数函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 0? 的定义、图像、性质(定义域、值域、单调 二、新授内容: 例 1(课本第 82 页 例 2)用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图 象,并指出它们与指数函数 y= 2 的图象的关系, ⑴y= 2
x ?1 x

与 y= 2

x?2

.

⑵y= 2

x ?1

与 y= 2

x ?2

.

解:⑴作出图像,显示出函数数据表 x -3
x

-2 0.25 0.5 1
x ?1

-1 0.5 1 2

0 1 2 4
x

1 2 4 8

2 4 8 16
9

3 8 16 32
8 7 6 5 4 3 2 1

2 2 x ?1 2 x?2

0.125 0.25 0.5 比较函数 y= 2

、y= 2

x?2

与 y= 2 的关系:将

8

7

x 指数函数 y= 2 的图象向左平行移动 1 个单位长度, x ?1

6

5

4

就得到函数 y= 2

的图象,将指数函数 y= 2 的图
x?2
-6 -4 -2

x

3

2

1

象向左平行移动 2 个单位长度,就得到函数 y= 2 的图象 ⑵作出图像,显示出函数数据表
王新敞
奎屯 新疆

-3 -2 -1 0

1 2 3
2

4

6

8

x

-3 0.125 0.625 0.3125

-2 0.25 0.125 0.625

-1 0.5 0.25 0.125

0 1 0.5 0.25

1 2 1 0.5

2 4 2 1

3 8 4 2

2x 2 x ?1 2 x ?2

18

9

比较函数 y= 2
x

x ?1

、y= 2

x ?2

与 y= 2 的关系:将指数函

x

数 y= 2 的图象向右平行移动 1 个单位长度, 就得到函 数 y= 2
x ?1

的图象,将指数函数 y= 2 的图象向右平行
-6 -4 -2

x

8 7 6 5 4 3 2 1

8

7

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

移动 2 个单位长度,就得到函数 y= 2 小结:⑴ y= 2
x? m x

x ?2

的图象

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新疆

与 y= 2 的关系:当 m>0 时,将指数函数 y= 2 的图象向右平行移动 m
x? m

x

个单位长度,就得到函数 y= 2

的图象;当 m<0 时,将指数函数 y= 2 的图象向左平行移
x? m

x

动 m 个单位长度,就得到函数 y= 2
x

的图象

王新敞
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新疆

?1? 例 2 ⑴已知函数 y ? ? ? 用 ? 2?
计算器或计算机作出函数图像,求定

3.5

3

2.5

2

?1? 义域、值域,并探讨 y ?? ? 与 ? 2? ?1? y ? ? ? 图像的关系 ? 2?
x
-3 -2 -1

x

1.5

1

0.5

D
-0.5

1

2

3

王新敞
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新疆

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0 解: y ? ?? 2 ? ? 2x , x ? 0 ?
x

定义域:x?R

值域: 0 ? y ? 1

?1? ?1? 关系:将 y ? ? ? 的图像 y 轴右侧的部分翻折到 y 轴左侧的到 y ? ? ? 的图像,关 ? 2? ? 2?
于 y 轴对称. ⑵已知函数 y ? ? ?

x

?1? ?2?
x ?1

x ?1

用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,并探讨

?1? y ?? ? ? 2?

x ?1

?1? 与 y ?? ? ?2?
x ?1

3.5

图像的关系

3
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2.5

2

?? 1 ? ?? ? , x ? 1 解: y ? ?? 2 ? 定义域:x?R x ?1 ? 2 , x ?1 ?
0 ? y ?1

1.5

值域:
-3 -2 -1

1

1

0.5

D
-0.5

1

1

2

3

19

关系:将 y ? ? ?

?1? ? 2?

x ?1

(x>1)的图像在直线 x=1 右侧的部分翻折到直线 x=1 左侧得到

?1? y ?? ? ?2?

x ?1

的图像,是关于直线 x=1 对称

⑵推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法作出: 基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称图等方法, 得到我们所要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们遇到的有以下几种形式: 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0 时,向左平移 a 个单位;a<0 时,向右平移|a|个单位. a>0 时,向上平移 a 个单位;a<0 时,向下平移|a|个单位. y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,x ? 0 时函数即 y=f(x),所以 x<0 时的图象与 x ? 0 时 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵ y ? f ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0; , ∴ y=|f(x)| 的 图 象 是 ?? f ( x), f ( x) ? 0.

y=f(x) ? 0 与 y=f(x)<0 图象的组合. y= f
?1

( x)

y= f

?1

( x) 与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.

以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换, 但随着知识的增加, 还会有许多较 复杂的变换,以后再作研究. 例 3 探讨函数 y ? a x 和 y ? a ? x (a ? 0且a ? 1) 的图象的关系,并证明关 于 y 轴对称
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证:设 P( x1 , y1 )是函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象上任意一点 则 y1 ? a ∴
x1

而 P( x1 , y1 )关于 y 轴的对称点 Q 是(- x1 , y1 ) 即 Q 在函数 y ? a ? x 的图象上
x
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y1 ? a x1 ? a ?( ? x1 )

由于 P 是任意取的,所以 y ? a 上任一点关于 y 轴的对称点都在 y ? a 同理可证: y ? a
x ?x

?x

的图象上

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图象上任意一点也一定在函数 y ? a 的图象上
x ?x

∴ 函数 y ? a 和 y ? a 例 4 已知函数 y ? 值域
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的图象关于 y 轴对称

6

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5

4

2 ?2 2
x

?x

3

求函数的定义域、
-4 -2

2

1

2

4

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20

解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理 定义域为 R
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由y?

2 x ? 2? x 得 2

22 x ? 2 y ? 2 x ? 1 ? 0

∵x?R, ∴△ ? 0, 即 4 y 2 ? 4 ? 0 , ∴ y 2 ? 1 , 又∵ y ? 0 ,∴ y ? 1 三、小结 本节课学习了以下内容:函数图像的变换
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题:2.2.1

对数的概念 1

教学目的: 1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化; 2.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力 教学重点:对数的概念 教学难点:对数概念的理解. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪

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教材分析:对数产生于 17 世纪初叶,为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的
位置,为了适应天文事业的发展,需要处理观测行星运动的数据,就是为了解决很多位数的 数字繁杂的计算而产生了对数 恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创 始并称为 17 世纪数学的三大成就,给予很高的评价 今天随着计算器的普及和电子计算机的 广泛使用以及航天航海技术的不断进步, 利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完 成,已被新的运算工具所取代,因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减 但对数函 数应用还是广泛的,后续的教学内容也经常用到 本节讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数 对数概念与指数概 念有关,是在指数概念的基础上定义的,在一般对数定义 logaN(a>0,a≠1)之后,给出两个 特殊的对数:一个是当底数 a=10 时,称为常用对数,简记作 lgN=b ;另一个是底数 a=e(一 个无理数)时,称为自然对数,简记作 lnN =b 这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出 了初步知识,也使教材大大简化,只保留到学习对数函数知识够用即可 教学过程: 一、复习引入: 1 庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭 (1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还 有 0.125 尺? 2 假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国 民生产总值是 2002 年的 2 倍?
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?1? ?1? 抽象出:1. ? ? =?, ? ? =0.125 ? x=? ?2? ?2?
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4

x

2. ?1? 8%? =2 ? x=?
x

也是已知底数和幂的值,求指数 你能看得出来吗?怎样求呢? 二、新授内容:

21

定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那
b

么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数

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4 2 ? 16 ? log4 16 ? 2

;

102 ? 100 ? log10 100 ? 2
;

4 ? 2 ? log 4 2 ?

1 2

1 2

10?2 ? 0.01 ? log10 0.01 ? ?2

探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ∵对任意 a ? 0 且 a ? 1 , 同样易知: ⑶对数恒等式 如果把 a ? N 中的 b 写成 log a N , 则有 a
b loga N

都有 a ? 1
0

∴ loga 1 ? 0

loga a ? 1

?N
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⑷常用对数:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 为了简便,N 的常用对数

log10 N 简记作 lgN

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例如: log10 5 简记作 lg5 ; log10 3.5 简记作 lg3.5. ⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的 对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数 loge N 简记作 lnN 例如: loge 3 简记作 ln3 ; loge 10 简记作 ln10 (6)底数的取值范围 (0,1) ? (1,??) ;真数的取值范围 (0,??) 三、讲解范例:咯 log 例 1 将下列指数式写成对数式: (课本第 87 页) (1) 5 =625
4
?6
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(2) 2 =

1 64

(3) 3 =27

a

(4)( ) =5.73
m

1 3

解: (1) log5 625=4; (3) log3 27=a;

1 =-6; 64 (4) log1 5.73 ? m
(2) log2
3

例 2 将下列对数式写成指数式:
22

(1) log 1 16 ? ?4 ;
2

(2) log2 128=7; (4)ln10=2.303 (2) 2 =128; (4) e
2.303
7

(3)lg0.01=-2; 解: (1) ( )

1 2

?4

? 16

(3) 10 =0.01;

?2

=10

例 3 计算: ⑴ log9 27 ,⑵ log4 3 81,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log3 4 625 5 解法一:⑴设 x ? log9 27 ⑵设 x ? log4 3 81 则
4

?

?

则 9 x ? 27,
x

32 x ? 33 , ∴ x ?
4

3 2

⑶令 x ? log ?2? 3 ? 2 ? ∴ 2? 3

?

? 3 ? ? 81 , 3 ? 3 , ∴ x ? 16 3 ?= log? ? ?2 ? 3 ? ,
x 4

?1

2? 3

?

? ? ?2 ? 3 ?
x

?1

, ∴ x ? ?1

⑷令 x ? log3 解法二:

5

4

625, ∴ 3 5 4

? ? ? 625 ,
x

4

5 3 ? 54 , ∴ x ? 3

x

⑴ log9 27 ? log9 3 ? log9 9 ?
3

3 2

3 ; 2

⑵ log 4 3 81 ? log 4 3 ( 4 3 )16 ? 16 ⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 = log?2? 3 ? 2 ? 3 ⑷ log3
54

?

?

?

?

?1

? ?1

625 ? log3 4 (3 54 ) 3 ? 3
5

四、练习: 1.把下列指数式写成对数式 (1) 2 =8
3

(2) 2 =32 (3) 2 = (2) log2 32=5 (4) log27

5

?1

? 1 1 (4) 27 3 ? 2 3

1

解:(1) log2 8=3 (3) log2

1 =-1 2

1 1 =- 3 3

2.把下列对数式写成指数式 (1) log3 9=2 (3) log2
2

(2) log5 125=3 (4) log3 (2) 5 =125
23
3

1 =-2 4

1 =-4 81

解:(1) 3 =9

(3) 2 =

?2

1 4

(4) 3 =

?4

1 81
1 16

3.求下列各式的值 (1) log5 25 (3) lg 100 (5) lg 10000 (2) log2

(4) lg 0.01 (6) lg 0.0001
2

解:(1) log5 25= log5 5 =2 (3) lg 100=2 (5) lg 10000=4 4.求下列各式的值 (1) log15 15 (4) log 2.5 625

(2) log2

1 =-4 16

(4) lg 0.01=-2 (6) lg 0.0001=-4

(2) log0.4 1 (5) log7 343

(3) log9 81 (6) log3 243 (3) log9 81=2 (6) log3 243=5 ⑶求对数式的值

解:(1) log15 15=1 (4) log 2.5 625=2

(2) log0.4 1=0 (5) log7 343=3

五、小结 本节课学习了以下内容: ⑴对数的定义, ⑵指数式与对数式互换 六、课后作业: 1.把下列各题的指数式写成对数式 (1) 4 =16
x
2

(2) 3 =1
x

0

(3) 4 =2
x

x

(4) 2 =0.5
x

x

(5) 3 =81

(6) 10 =25

(7) 5 =6 (8) 4 = (3)x= log4 2 (7)x= log5 6

1 6

解:(1)2= log4 16 (2)0= log3 1 (5)x= log3 81 (6)x= lg 25

(4)x= log2 0.5 (8)x= log4

1 6

2.把下列各题的对数式写成指数式 (1)x= log5 27 (4)x= log7
x

(2)x= log8 7 (5)x= lg 5 (2) 8 =7
x

(3)x= log4 3 (6)x= lg 0.3 (3) 4 =3
x

1 3

解:(1) 5 =27

24

(4) 7 =

x

1 3

(5) 10 =5

x

(6) 10 =0.3

x



题:2.2.1

对数的运算性质 2

教学目的: 1.掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2.能较熟练地运用法则解决问题; 教学重点:对数运算性质 教学难点:对数运算性质的证明方法. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
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1.对数的定义

loga N ? b 其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N? (0,??)
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2.指数式与对数式的互化

3.重要公式: ⑴负数与零没有对数; ⑵ loga 1 ? 0 , loga a ? 1 ⑶对数恒等式 a
loga N
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?N

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a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R )
3.指数运算法则 (a ) ? a
m n mn

(m, n ? R)

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(ab) n ? a n ? b n (n ? R)
二、新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
证明:①设 loga M=p, loga N=q ∴MN= a a = a
p q p?q
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由对数的定义可以得:M= a ,N= a

p

q
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∴ loga MN=p+q,
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即证得 loga MN= loga M + loga N

25

②设 loga M=p, loga N=q ∴

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由对数的定义可以得 M= a ,N= a

p

q
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M ap ? q ? a p ?q N a

∴ log a

M ? p?q N
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即证得 log a

M ? log a M ? log a N N

③设 loga M=P 由对数定义可以得 M= a , ∴M =a
n

p

np

∴ loga M =np, 即证得 loga M =n loga M

n

n

说明:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运 算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式 ①简易语言表达: “积的对数 = 对数的和”??
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②有时逆向运用公式:如 log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 ③真数的取值范围必须是 (0,??) :

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log2 (?3)(?5) ? log2 (?3) ? log2 (?5) 是不成立的

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log10 (?10) 2 ? 2 log10 (?10) 是不成立的
④对公式容易错误记忆,要特别注意:

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loga (MN ) ? loga M ? loga N
三、讲授范例: 例 1 计算

, loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

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(1) log5 25, (2) log0.4 1, (3) log2 ( 4 × 2 ) , 解: (1) log5 25= log5 5 =2 (2) log0.4 1=0
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7

5

(4)lg 5 100

2

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(3) log2 ( 4 ×25)= log2 4 + log2 2 = log2 2 (4)lg 5 100 =
2?7

7

7

5

+ log2 2

5

= 2×7+5=19

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1 2 2 log10 2 ? lg10 ? 5 5 5

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例 2 用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式:

(1)loga

xy ; z

(2) loga

x2 y
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3

z

26

解: (1) log a

xy = loga (xy)- loga z= loga x+ loga y- loga z z
= loga ( x
2

(2) loga

x2 y
3

z
2

y ) ? loga 3 z

= loga x + loga 例 3 计算: (1)lg14-2lg

1 1 y ? loga 3 z =2 loga x+ log a y ? log a z 2 3

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7 +lg7-lg18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

说明:此例题可讲练结合. (1)解法一:lg14-2lg

7 +lg7-lg18 3
2

=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg( 3 ×2) =lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 ? 解法二:
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lg14-2lg

7 7 2 +lg7-lg18=lg14-lg ( ) +lg7-lg18 ? 3 3
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=lg

14 ? 7 ? lg 1 ? 0 7 2 ( ) ? 18 3

评述:此题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 (2) ? ? ? lg 9 lg 32 2 lg 3 2

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(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 2 ? 3 lg(10) ? lg1.2 3 ? 22 lg 10
3

1 3 2

1 2
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3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 ? 2 ? lg 3 ? 2 lg 2 ? 1 2

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评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变 形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. 四、课堂练习: 1.求下列各式的值: (1) log2 6- log2 3 (3) log5 3+ log5
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(2)lg5+lg2

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1 3

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(4) log3 5- log3 15

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27

解: (1) log2 6- log2 3= log2

6 ? log2 2=1 3
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(2)lg5+lg2=lg(5×2)=lg10=1 (3) log5 3+ log5

1 1 = log5 (3× )= log5 1=0 3 3 5 1 (4) log3 5- log3 15= log3 = log3 =- log3 3=-1. 15 3
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2. 用 lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg(xyz) (2)lg ;

xy 2 xy 3 x ; (3) lg ; (4) lg 2 z y z z

解:(1) lg(xyz)=lgx+lgy+lgz; (2) lg

xy 2 =lgx y 2 -lgz=lgx+lg y 2 -lgz z
=lgx+2lgy-lgz;

(3) lg

xy 3 z

=lgx y -lg

3

z =lgx+lg y 3 -
1 lgz; 2

1 lgz 2

=lgx+3lgy-

(4) lg

1 x ? lg x ? lg y 2 z ? lg x ? (lg y 2 ? lg z ) 2 y z
2

?
五、小结 1.计算:

1 lg x ? 2 lg y ? lg z 2
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本节课学习了以下内容:对数的运算法则,公式的逆向使用

六、课后作业:

(1) loga 2+ loga (3) lg

1 (a>0,a≠1) (2) log3 18- log3 2 2
(4)2 log5 10+ log5 0.25 (6) log2 ( log2 16)

1 -lg25 4

(5)2 log5 25+3 log2 64 解:(1) loga 2+ loga

1 1 = loga (2× )= loga 1=0 2 2 18 (2) log3 18- log3 2= log3 = log3 9=2 2 1 1 1 ?2 (3)lg -lg25=lg( ÷25)=lg =lg 10 =-2 4 4 100
(4)2 log5 10+ log5 0.25= log5 10 + log5 0.25
2

28

= log5 (100×0.25)= log5 25=2
2 (5)2 log5 25+3 log2 64=2 log5 5 +3 log2 2
6

=2×2+3×6=22 (6) log2 ( log2 16)= log2 ( log2 2 )= log2 4= log2 2 =2 2.已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求下列各对数的值(精确到小数点后第四位) (1) lg6 (2)lg4 (3)lg12 (4)lg
4 2

3 2

(5)lg

3

(6)lg32

解: (1)lg6=lg2+lg3=0.3010+0.4771=0.7781 (2) lg4=2lg2=2×0.3010=0.6020 (3) lg12=lg(3×4)=lg3+2lg2=0.4771+0.3010×2=1.0791

3 =lg3-lg2=0.4771-0.3010=0.1761 2 1 1 (5) lg 3 = lg3= ×0.4771=0.2386 2 2
(4) lg (6) lg32=5lg2=5×0.3010=1.5050 3. 3.用 loga x, loga y, loga z, loga (x+y) o ,l g (1) loga
a

(x-y)表示下列各式:

x ; 2 y z
1 2 ? 2 3

3

(2) loga ( x 4

z3 ) ; y2

(3) loga ( xy z

) ;

(4) loga

xy ; x ? y2
2

(5) loga (

x? y ?y) ; x? y

(6) loga [

y 3 ] . x( x ? y )

解:(1) loga =

x = loga y z
2

3

3

x - loga y 2 z

1 loga x-(2 loga y+ loga z) 3 1 = loga x-2 loga y- loga z; 3
(2) loga (x ·4

z3 )= loga x+ loga y2

4

z3 y2

1 3 2 ( loga z - loga y ) 4 2 3 = loga x- loga y+ loga z 4 4
= loga x+
29

= loga x- loga y+
1

3 loga z; 4
1
? 2 3

(3) loga (x y 2 z = loga x+ (4) loga

?

2 3

)= loga x+ loga y 2 + loga z

?

1 2 loga y- loga z; 2 3

xy 2 = loga xy- loga ( x - y 2 ) 2 x ?y
2

= loga x+ loga y- loga (x+y) x-y) ( = loga x+ loga y- loga (x+y)- loga (x-y) ; (5) loga (

x? y x? y ·y)= loga + loga y x? y x? y

= loga (x+y)- loga (x-y)+ loga y; (6) loga [

y 3 ] x( x ? y )

=3[ loga y- loga x- loga (x-y) ] =3 loga y-3 loga x-3 loga (x-y) 七: 题:2.1.2



对数的换底公式及其推论 3
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教学目的: 1.掌握对数的换底公式,并能解决有关的化简、求值、证明问题 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力; 教学重点:换底公式及推论 教学难点:换底公式的证明和灵活应用. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:对数的运算法则 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:
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loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
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二、新授内容: 1.对数换底公式:

loga N ?

logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

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证明:设 loga N = x , 则 a

x

= N

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两边取以 m 为底的对数: logm a x ? logm N ? x logm a ? logm N 从而得: x ?

logm N logm a

∴ loga N ?

logm N logm a

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2.两个常用的推论: ① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n

loga b ? logb c ? logc a ? 1
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n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m

证:① loga b ? logb a ?

lg b lg a ? ?1 lg a lg b

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② loga m b n ? 三、讲解范例:

lg b n n lg b n ? ? loga b m m lg a m lg a

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例 1 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 解:因为 log2 3 = a,则 ∴ log 42 56 ?

用 a, b 表示 log42 56 , 又∵ log3 7 = b,

1 ? log 3 2 a

log3 56 log3 7 ? 3 ? log3 2 ab ? 3 ? ? log3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1
② log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2 4

例 2 计算:① 5

1?log0.2 3

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解:①原式 =

5 5
log0.2 3

? 5

5
1 log5 3

?

5 ? 15 1 3

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②原式 =

1 1 5 1 5 3 log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 2 ? ? ? 2 2 4 4 4 2
x y z

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例 3 设 x, y, z ? (0,??) 且 3 ? 4 ? 6 1? 求证

1 1 1 ? ? x 2y z

; 2?

比较 3 x,4 y,6 z 的大小

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证明 1?:设 3 ? 4 ? 6 ? k
x y z

∵ x, y, z ? (0,??)

∴k ?1

取对数得: x ?

lg k lg k lg k , y? , z? lg 3 lg 4 lg 6



1 1 lg 3 lg 4 2 lg 3 ? lg 4 2 lg 3 ? 2 lg 2 lg 6 1 ? ? ? ? ? ? ? x 2 y lg k 2 lg k 2 lg k 2 lg k lg k z
64 lg 64 ? lg 81 3 4 81 ? 0 lg k ? 2? 3x ? 4 y ? ( ? ) lg k ? lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg 3 lg 4 lg k lg
∴ 3x ? 4 y

9 lg k ? lg lg 36 ? lg 64 4 6 16 ? 0 lg k ? ? ) lg k ? 又: 4 y ? 6 z ? ( lg 2 lg 6 lg 2 lg 6 lg 4 lg 6
∴ 4 y ? 6z ∴ 3x ? 4 y ? 6 z

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例 4 已知 loga x= loga c+b,求 x

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分析:由于 x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形 式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将 loga c 移到等式左端,或者将 b 变为对数形式 解法一: 由对数定义可知: x 解法二: 由已知移项可得 loga x ? loga c ? b 由对数定义知: 解法三: ,即 log a
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? a loga c?b ? a log c ? a b ? c ? a b
a

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x ?b c

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x ? ab c

? x ? c ? ab

? b ? loga a b
四、课堂练习:

?l o g x ? l o g c ? l o g ab ? l o g c ? ab a a a a

? x ? c ? ab

①已知 log18 9 = a , 18

b

= 5 , 用 a, b 表示 log36 45

解:∵ log18 9 = a ∴ log 18 ∵ 18
b

18 ? 1 ? log 18 2 ? a 2

∴ log18 2 = 1?a

= 5 ∴ log18 5 = b
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log36 45 ?

log18 45 log18 9 ? log18 5 a ? b ? ? log18 36 1 ? log18 2 2?a

②若 log8 3 = p , log3 5 = q , 求 lg 5 解:∵ log8 3 = p ∴ log23 3 =p

? log2 3 ? 3 p ? log3 2 ?

1 3p

又∵ log3 5 ? q

∴ lg 5 ?

log3 5 log3 5 3 pq ? ? 1 ? 3 pq log3 10 log3 2 ? log3 5

三、小结 本节课学习了以下内容:换底公式及其推论 四、课后作业: 1.证明:

loga x ? 1 ? loga b logab x

证法 1: 设 loga x ? p , logab x ? q , loga b ? r 则: x ? a
p

x ? (ab) q ? a q b q

b ? ar

∴ a p ? (ab) q ? a q (1?r ) ∵ q?0 ∴

从而 p ? q(1 ? r ) 即:

p ? 1? r q

loga x ? 1 ? loga b (获证) logab x

证法 2: 由换底公式 左边=

loga x logx ab ? ? loga ab ? 1 ? loga b =右边 logab x logx a

2.已知 loga1 b1 ? loga2 b2 ? ?? ? logan bn ? ? 求证: loga1a2?an (b1b2 ?bn ) ? ? 证明:由换底公式

lg bn lg b1 lg b2 ? ? ?? ? ? ? 由等比定理得: lg a1 lg a2 lg an


lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn ?? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an
∴ loga1a2 ?an (b1b2 ?bn ) ? 五、

lg(b1b2 ?bn ) ?? lg(a1a2 ?an )

lg(b1b2 ?bn ) ?? lg(a1a2 ?an )

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