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2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入(含解析)


数系的扩充与复数的引入

[知识能否忆起] 一、复数的有关概念 1. 复数的概念: 形如 a+bi(a, b∈R)的数叫复数, 其中 a, 分别是它的实部和虚部. b 若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2.复数相等:a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 3.共

轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b+d=0(a,b,c,d∈R). 4.复数的模:向量 OZ― →的长度叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a +bi|= a2+b2. 二、复数的几何意义 复数 z=a+bi― →复平面内的点 Z(a,b)― →平面向量 OZ . 三、复数的运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则: (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? = ?ac+bd?+?bc-ad?i (c+di≠0). c2+d2

??? ?

2.复数加法、乘法的运算律 对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);z1·2=z2·1,(z1·2)·3 z z z z =z1· 2·3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. (z z [小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知 a∈R,i 为虚数单位,若(1-2i)(a+i)为纯虚数,则 a 的值等于 ( ) A.-6 C.2 B.-2 D.6

?a+2=0, ? 解析:选 B 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数,得? 由此解得 a ? ?1-2a≠0,

=-2. 2.(2011· 湖南高考)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=-1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=1,b=-1 )

解析:选 D 由(a+i)i=b+i,得-1+ai=b+i,根据两复数相等的充要条件得 a=1, b=-1. 5+3i 3.(2012· 天津高考)i 是虚数单位,复数 =( 4-i A.1-i C.1+i 解析:选 C B.-1+i D.-1-i 5+3i ?5+3i??4+i? 20+5i+12i+3i2 17+17i = = = =1+i. 17 4-i ?4-i??4+i? 16-i2 )

z 4.若复数 z 满足 =2i,则 z 对应的点位于第________象限. 1+i 解析:z=2i(1+i)=-2+2i,因此 z 对应的点为(-2,2),在第二象限内. 答案:二 3+i 5.若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i 3+i 解析:因为 z= -i=1-3i-i=1-4i,则|z|= 17. i 答案: 17 1.复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略 (1)证明复数是实数的策略:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z= z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z=a+bi 为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0 时,z- z =2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z+ z =0 且 z≠0.

复数的有关概念

典题导入 b [例 1] (1)(2012· 陕西高考)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯 i 虚数”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2-bi (2)(2012· 郑州质检)如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反 1+2i 数,那么 b 等于( 2 A.- 3 C. 2 ) 2 B. 3 D.2

b [自主解答] (1)若复数 a+ =a-bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0,ab=0;而 ab=0 时 a i b b =0 或 b=0,a+ 不一定是纯虚数,故“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充分条 i i 件. 2-bi ?2-bi??1-2i? ?2-2b?-?4+b?i (2) = = , 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 依题意有 2-2b=4+b,解得 b=- . 3 [答案] (1)B (2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问 题转化成实数问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈R)由它的实部与虚部唯一确定,故复 数 z 与点 Z(a,b)相对应. 以题试法 x 1.(2012· 东北模拟)已知 =1-yi,其中 x,y 是实数,i 是虚数单位,则 x+yi 的共轭 1+i 复数为( ) B.1-2i D.2-i 依题意得 x=(1+i)(1-yi)=(1+y)+(1-y)i;又 x,y∈R,于是有

A.1+2i C.2+i 解析:选 D

?x=1+y, ? ? 解得 x=2,y=1. ? ?1-y=0,

x+yi=2+i,因此 x+yi 的共轭复数是 2-i.

复数的几何意义

典题导入 2-i [例 2] (2012· 山西四校联考)已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 (i 为虚部单位) z 在复平面内对应的点所在的象限为( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

2-i 2-i ?2-i??-1-2i? -4-3i [自主解答] 选 C 依题意得 = = = , 因此该复数 z 5 -1+2i ?-1+2i??-1-2i? 4 3 在复平面内对应的点的坐标是?-5,-5?,位于第三象限. ? ? 由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的, 复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应 的, 因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解, 利用平行四边形法则或三角形法 则解决问题.

以题试法 2.(1)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中 点,则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i ) B.8+2i D.4+i

(2)(2012· 连云港模拟)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应 的点分别为 A,B,C,若 OC =λ OA +μ OB ,(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值是________. 解析:(1)复数 6+5i 对应的点为 A(6,5),复数-2+3i 对应的点为 B(-2,3).利用中点坐 标公式得线段 AB 的中点 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. (2)由条件得 OC =(3,-4), OA =(-1,2), OB =(1,-1), 根据 OC =λ OA +μ OB 得 (3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
?-λ+μ=3, ?λ=-1, ? ? ∴? 解得? ? ? ?2λ-μ=-4, ?μ=2.

??? ?

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??? ?

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∴λ+μ=1. 答案:(1)C (2)1

复数的代数运算

典题导入 [例 3] (1)(2012· 山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( A.3+5i C.-3+5i B.3-5i D.-3-5i ) 1 1 B.- + i 2 2 1 1 D. + i 2 2 )

i2+i3+i4 (2)(2011· 重庆高考)复数 =( 1-i 1 1 A.- - i 2 2 1 1 C. - i 2 2

11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i [自主解答] (1)z= = = =3+5i. 5 2-i ?2-i??2+i? i2+i3+i4 ?-1?+?-i?+1 -i (2) = = 1-i 1-i 1-i = -i?1+i? 1-i 1 1 = = - i. 2 2 2 ?1-i??1+i? (2)C 由题悟法 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分 母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1-i a+bi + + ①(1± 2=± i) 2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai;⑤i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=- i 1-i 1+i 1,i4n 3=-i(n∈N). 以题试法 3. (1)(2012· 山西四校联考)设复数 z 的共轭复数为 z , z=1-i(i 为虚数单位), 若 则 z2 的值为( A.-3i C.i ) B.-2i D.-i z z +


[答案] (1)A

?1+i?4=________. (2)i 为虚数单位,? ? ?1-i?

2 1+i 2 -i +i 解析:(1)依题意得 +z = +(1-i) = -2i=i-2i=-i. z 1-i 1-i 2

z

?1+i?4=??1+i? ?4=i4=1. (2)? ? ?1-i? ? 2 ?
2

答案:(1)D (2)1

1.(2012· 江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的虚 部为( A.0 C.1 ) B.-1 D.-2

解析:选 A ∵z=1+i,∴ z =1-i,∴z2+ z 2=(z+ z )2-2z z =4-4=0,∴z2+ z
2

的虚部为 0. 10i 2.(2012· 北京高考)在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 3+i A.(1,3) C.(-1,3) B.(3,1) D.(3,-1) )

10i?3-i? 10?1+3i? 10i 解析:选 A 由 = = =1+3i 得,该复数对应的点为(1,3). 10 3+i ?3+i??3-i? 3.(2012· 长春调研)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值 是( ) A.1 C. 2 解析:选 B B.-1 D.- 2 因为复数(a+i)2=(a2-1)+2ai,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2

?a2-1=0, ? -1,2a),又因为该点在 y 轴负半轴上,所以有? 解得 a=-1. ? ?2a<0,

?1+2i??2+i? 4.(2013· 萍乡模拟)复数 等于( ?1-i?2 5 A. 2 5 C. i 2 解析:选 B 5 B.- 2 5 D.- i 2

)

?1+2i??2+i? 2+4i+i+2i2 5i 5 = = =- . 2 2 ?1-i? -2i -2i

5.(2012· 河南三市调研)已知 i 为虚数单位,复数 z= A.i C.1+i B.1-i D.-i

2+i 1 ,则|z|+ =( z 1-2i

)

2+i -2i2+i i?1-2i? 1 1 解析:选 B 由已知得 z= = = =i,|z|+ =|i|+ =1-i. z i 1-2i 1-2i 1-2i 6. (2012· 安徽名校模拟)设复数 z 的共轭复数为 z , 若(2+i)z=3-i, z·z 的值为( 则 A.1 C. 2 B.2 D.4 )

解析:选 B 设 z=a+bi(a,b∈R),代入(2+i)z=3-i,得(2a-b)+(2b+a)i=3-i, 从而可得 a=1,b=-1,那么 z·z =(1-i)(1+i)=2.
2 ? 1 ?1+i? ? ?,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集 7.(2013· 长沙模拟)已知集合 M=?i,i2, , i i ? ?

合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C.1 个

) B.2 个 D.0 个

解析:选 B 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 8.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根 据定义,则复数-3+4i 的平方根是( A.1-2i 或-1+2i C.-7-24i 解析:选 B
2

)

B.1+2i 或-1-2i D.7+24i

?x2-y2=-3, ? 设(x+yi) =-3+4i(x,y∈R),则? ? ?xy=2,

? ? ?x=1, ?x=-1, 解得? 或? ?y=2, ?y=-2. ? ?

9.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点, 则| AB |=________. 解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3), 故| AB |= ?-1-1?2+?3-1?2=2 2. 答案:2 2 z2-2z 10.已知复数 z=1-i,则 =________. z-1

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

z2-2z ?z-1?2-1 1 1 i 解析: = =z-1- =(-i)- =-i- =-2i. z-1 z-1 z-1 -i -i· i 答案:-2i 11.设复数 z 满足|z|=5 且(3+4i)z 是纯虚数,则 z =________. 解析:设 z=a+bi(a,b∈R),则有 a2+b2=5. 于是(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.
? ? ? ?3a-4b=0 ?a=4, ?a=-4, 3 3 由题设得? 得 b= a 代入得 a2+?4a?2=25, a=± ∴? 4, 或? ? ? 4 ? ? ? ?4a+3b≠0 ?b=3 ?b=-3.

∴ z =4-3i 或 z =-4+3i. 答案:± (4-3i) ?-1+i??2+i? 12. =________. i3 ?-1+i??2+i? -3+i 解析: = =-1-3i. i3 -i 答案:-1-3i 13.(2011· 上海高考改编)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的 虚部为 2,且 z1·2 是实数,则 z2=________. z 解析:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R. 则 z1·2=(2-i)(a+2i) z =(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i. z 答案:4+2i 1 14.若复数 z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 的虚部为________. z+a
?a2-1=0, ? 1-2i 1 1 1 2 解析:由题意得? 所以 a=1,所以 = = = - i,根 z+a 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5 ? ?a+1≠0,

据虚部的概念,可得 2 答案:- 5

1 2 的虚部为- . 5 z+a

?1+x,x∈R, ? 1.(2012· 山东日照一模)在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(1+i) ? ??1-i?x,x?R,

等于(

)

A.2+i C.0

B.-2 D.2

解析:选 D ∵1+i?R,∴f(1+i)=(1-i)(1+i)=2. 2.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: C 选 z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i, 若其对应的点在第四象限, a+2>0, 则 )

1 1 且 1-2a<0,解得 a> .即“a> ”是“点 M 在第四象限”的充要条件. 2 2 y 3.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则 的最大值为________. x 解析:|z-2|= ?x-2?2+y2= 3, ∴(x-2)2+y2=3. y 3 由图可知?x?max= = 3. ?? 1 答案: 3 4.复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,与复数 12+16i 互为共轭复数,则实数 m= ________. 解析:根据共轭复数的定义得
? 2 ?m +5m+6=12, ? 2 ? ?m -2m-15=-16.

解之得 m=1.

答案:1 z 5.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应 2-i 的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.

由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
?12+4a-a2>0, ? ∴? 解得 2<a<6. ? ?8?a-2?>0,

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 1 6.设 z 是虚数,ω=z+ ,且-1<ω<2. z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,求证:u 为纯虚数. 1+z 解:(1)设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), a b 1 ω=a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i, ? ? ? a+bi ? b ∵ω 是实数,∴b- 2 =0. a +b2 又 b≠0,∴a2+b2=1.∴|z|=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴- <a<1, 2 1 即 z 的实部的取值范围是?-2,1?. ? ? 1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i. 1+z 1+a+bi ?1+a?2+b2 a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 为纯虚数. 2

a+2i 1.已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( i A.-1 C.2 解析:选 B +b=1. B.1 D.3

)

a+2i i?a+2i? = =2-ai=b+i,由复数相等的条件得 b=2,a=-1,则 a i i2

2.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

)

解析:选 D ∵z- z =2yi,∴|z- z |=2|y|,选项 A、C 错误;而 z2=(x+yi)2=x2-y2 +2xyi, 选项 B 错误; 而|z|= x2+y2, 2=x2+y2, |z| (|x|+|y|)2=x2+y2+2|xy|≥x2+y2, 因此|z|≤|x|

+|y|. z z2 3.已知虚数 z,使得 z1= 都为实数,求 z. 2和 z2= 1+z 1+z 解:设 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),则 x?x2+y2+1?+y?1-x2-y2?i z =x -y +2xyi,∴z1= , ?x2-y2+1?2+4x2y2
2 2 2

∵z1∈R,又 y≠0,∴x2+y2=1,

?x=-2, 同理,由 z ∈R 得 x +2x+y =0,解得? 3 ?y=± 2 .
1
2 2 2

1 3 ∴z=- ± i. 2 2

三角函数、 解三角形 平面向量、 数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) -3+i 1.(2012· 新课标全国卷)复数 z= 的共轭复数是( 2+i A.2+i C.-1+i 解析:选 D B.2-i D.-1-i -3+i ?-3+i??2-i? z= = =-1+i,所以 z =-1-i. 2+i ?2+i??2-i? ) )

π 4 2.(2012· 潍坊模拟)已知 x∈?-2,0?,cos x= ,则 tan 2x=( ? ? 5 7 A. 24 24 C. 7 7 B.- 24 24 D.- 7

3 sin x 3 解析:选 D 依题意得 sin x=- 1-cos2x=- ,tan x= =- ,所以 tan 2x= 5 cos x 4 2tan x = 1-tan2x 3 2×?-4? ? ? 3 1-?-4?2 ? ? 24 =- . 7

z1 3.(2012· 广州调研)设复数 z1=1-3i,z2=3-2i,则 在复平面内对应的点在( z2 A.第一象限 B.第二象限

)

C.第三象限 解析:选 D

D.第四象限 z1 1-3i ?1-3i??3+2i? 9-7i z1 因为 = = = ,所以 在复平面内对应的点为 z2 3-2i ?3-2i??3+2i? 13 z2

? 9 ,- 7 ?,在第四象限. 13? ?13
4.(2012· 邵阳模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b|=|a||b|, 则 tan x 的值等于( A.1 C. 3 解析:选 A 由|a· b|=|a||b|知, a∥b,所以 sin 2x=2sin2x, 即 2sin xcos x=2sin2x,而 x∈(0,π), 所以 sin x=cos x,tan x=1. 3 7 5.(2012· 福州质检查)“cos α= ”是“cos 2α=- ”的( 5 25 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.-1 D. 2 2

3 9 7 3 解析:选 A ∵cos α= ,∴cos 2α=2cos2α-1=2× -1=- ,∴由 cos α= 可推 5 25 25 5 7 出 cos 2α=- . 25 7 3 7 3 由 cos 2α=- 得 cos α=± ,∴由 cos 2α=- 不能推出 cos α= . 25 5 25 5 3 7 综上,“cos α= ”是“cos 2α=- ”的充分而不必要条件. 5 25 6.若函数 f(x)=sin π A. 2 3π C. 2 x+φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=( 3 2π B. 3 5π D. 3 )

φ π 解析:选 C ∵f(x)为偶函数,∴ =kπ+ (k∈Z), 3 2 3 3 ∴φ=3kπ+ π(k∈Z).又∵φ∈[0,2π],∴φ= π. 2 2 7.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 ccos A=b,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是钝角三角形 )

C.一定是直角三角形 D.一定是斜三角形 b2+c2-a2 解析:选 C 在△ABC 中,因为 ccos A=b,根据余弦定理,得 c· =b,故 c2 2bc =a2+b2,因此△ABC 一定是直角三角形. 8. 设点 A(2,0), B(4,2), 若点 P 在直线 AB 上, AB |=2| AP |, 且| 则点 P 的坐标为( A.(3,1) C.(3,1)或(1,-1) B.(1,-1) D.无数多个

??? ?

??? ?

)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 解析:选 C 设 P(x,y),则由| AB |=2| AP |,得 AB =2 AP 或 AB =-2 AP . ??? ? ??? ? AB =(2,2), AP =(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-
2(x-2,y),x=1,y=-1,P(1,-1). π 9.(2012· 福州质检)将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后,所得到的图象 4 对应的函数的一个单调递增区间是( π A.?-4,0? ? ? π 3π C.?2, 4 ? ? ? 解析:选 B ) π B.?0,2? ? ? 3π D.? 4 ,π? ? ? π 将函数 f(x)=sin 2x(x∈R)的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)= 4

π π sin2?x-4?=-cos 2x 的图象,则函数 g(x)的单调递增区间为?kπ,kπ+2?,k∈Z,而满足条 ? ? ? ? 件的只有 B. 4 5 10.(2012· 西安名校三检)已知 tan β= ,sin(α+β)= ,且 α,β∈(0,π),则 sin α 的值 3 13 为( ) 63 A. 65 33 C. 65 13 B. 65 63 33 D. 或 65 65

4 3 5 π 解析:选 A 依题意得 sin β= ,cos β= ;注意到 sin(α+β)= <sin β,因此有 α+β> 5 5 13 2 π π (否则,若 α+β≤ ,则有 0<β<α+β≤ ,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾), 2 2 12 63 cos(α+β)=- ,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β= . 13 65 11.(2012· 河南三市调研)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 b2=a2-ac+c2,C-A=90° ,则 cos Acos C=( )

1 A. 4 1 C.- 4

B.

2 4 2 4

D.-

a2+c2-b2 ac 1 解析:选 C 依题意得 a2+c2-b2=ac,cos B= = = .又 0° <B<180° ,所 2ac 2ac 2 以 B=60° ,C+A=120° C-A=90° .又 , 1 1 1 所以 C=90° +A,A=15° ,cos Acos C=cos Acos(90° +A)=- sin 2A=- sin 30° =- . 2 2 4 α· β 12.(2012· 广东高考)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β= .若两个非零的 β· β π π ?n ? 平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈?4,2?,且 a?b 和 b?a 都在集合?2|n∈Z?中,则 a? ? ?
? ?

b=( 5 A. 2

) 3 B. 2 1 D. 2

C.1

a· |a||b|cos θ |a|cos θ b 解析:选 D a?b= = = ,① b· b |b|2 |b| b· |b||a|cos θ |b|cos θ a b?a= = = .② a· a |a|2 |a| π π 2 ∵θ∈?4,2?,∴0<cos θ< . ? ? 2 1 ①×②得(a?b)(b?a)=cos2θ∈?0,2?. ? ?
?n ? n1 因为 a?b 和 b?a 都在集合?2|n∈Z?中,设 a?b= , 2 ? ?

n2 n1n2 b?a= (n1,n2∈Z),即(a?b)· (b?a)=cos2θ= ,所以 0<n1n2<2,所以 n1,n2 的值 2 4 n1 1 均为 1,故 a?b= = . 2 2 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) sin A 13. △ABC 的三个内角 A、 C 所对边的长分别为 a、 c, B、 b、 已知 a=2, b=3, 则 sin?A+C? =________. sin A sin A a 2 解析: = = = . sin?A+C? sin B b 3 2 答案: 3 14.(2012· 安徽高考)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|

=________. 解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m). ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0. 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1).∴|a|= 2. 答案: 2

15.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座 位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60° 30° 和 ,且座位 A、B 的距 离为 10 6米,则旗杆的高度为________米. 解析:由题可知∠BAN=105° ,∠BNA=30° ,由正弦定理得 AN 10 6 = ,解得 AN=20 3(米),在 Rt△AMN 中,MN=20 3sin 60° =30(米).故旗杆 sin 45° sin 30° 的高度为 30 米. 答案:30 π 16.已知函数 f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1,x∈R,若函数 h(x)=f(x+α)的图象关于 ? ? π 点?-3,0?对称,且 α∈(0,π),则 α 的值为________. ? ? π π 解 析 : ∵ f(x) = 2sin2 ?4+x? - 3 cos 2x - 1 = 2sin ?2x-3? , ∴ h(x) = f(x + α) = ? ? ? ? π 2sin?2x+2α-3?. ? ? π ?k+1?π 2π π ∵函数 h(x)的图象的对称中心为?-3,0?∴- +2α- =kπ.∴α= ,k∈z.又 α ? ? 3 3 2 π ∈(0,π),∴α= . 2 π 答案: 2 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) π 17.(本小题满分 10 分)(2012· 广州二测)已知函数 f(x)=Asin?ωx-3?(A>0,ω>0)在某一 ? ? 5π 11π 个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为?12,2?,? 12 ,-2?. ? ? ? ? (1)求 A 和 ω 的值; π 4 (2)已知 α∈?0,2?,且 sin α= ,求 f(α)的值. ? ? 5

5π 解:(1)∵函数 f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为?12,2?, ? ? 11π 5π ∴A=2,得函数 f(x)的周期 T=2? 12 -12?=π, ? ? 2π ∴ω= =2. T π (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x-3?. ? ? π 4 ∵α∈?0,2?,且 sin α= , ? ? 5 3 ∴cos α= 1-sin2α= , 5 24 7 ∴sin 2α=2sin αcos α= ,cos 2α=cos2α-sin2α=- . 25 25 π π π ∴f(α)=2sin?2α-3?=2?sin 2αcos3-cos 2αsin3? ? ? ? ? 24 1 7 3 24+7 3 =2? × + × ?= . 25 ?25 2 25 2 ? π π 18.(本小题满分 12 分)(2012· 天津高考)已知函数 f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+2cos2x ? ? ? ? -1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π π (2)求函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? π π π π 解:(1)f(x)=sin 2x· cos +cos 2x· sin +sin 2x· -cos 2x· cos sin +cos 2x=sin 2x+cos 3 3 3 3 π 2x= 2sin?2x+4?. ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π π π (2)因为 f(x)在区间?-4,8?上是增函数, 在区间?8,4?上是减函数, f?-4?=-1,?8? 又 ? ? f? ? ? ? ? ? π π π = 2,f?4?=1,故函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值为 2,最小值为-1. ? ? ? ? 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a- c)cos B=bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1),且 m· 的最大值是 5,求 k 的值. n 解:(1)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以在△ABC 中,由正弦定理,得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 所以 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C,

即 2sin Acos B=sin A. 1 π 又在△ABC 中,sin A>0,B∈(0,π),所以 cos B= .所以 B= . 2 3 (2)因为 m=(sin A,cos 2A),n=(4k,1)(k>1), 所以 m· n=4ksin A+cos 2A=-2sin2A+4ksin A+1, 即 m· n=-2(sin A-k)2+2k2+1. 2π π 又 B= ,所以 A∈?0, 3 ?.所以 sin A∈(0,1]. ? ? 3 π 所以当 sin A=1?A=2?时,m· 的最大值为 4k-1. n ? ? 3 又 m· 的最大值是 5,所以 4k-1=5.所以 k= . n 2 20.(本小题满分 12 分)已知复数 z1=sin 2x+ti,z2=m+(m- 3cos 2x)i(i 为虚数单位, t,m,x∈R),且 z1=z2. (1)若 t=0 且 0<x<π,求 x 的值; π 1 (2)设 t=f(x),已知当 x=α 时,t= ,试求 cos?4α+3?的值. ? ? 2

?sin 2x=m, 解:(1)因为 z1=z2,所以? ?t=m- 3cos 2x,
即 t=sin 2x- 3cos 2x. 若 t=0,则 sin 2x- 3cos 2x=0,得 tan 2x= 3. π 4π 因为 0<x<π,所以 0<2x<2π,所以 2x= 或 2x= , 3 3 π 2π 所以 x= 或 x= . 6 3 π (2)因为 t=f(x)=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?, ? ? π 1 1 因为当 x=α 时,t= ,所以 2sin?2α-3?= , ? ? 2 2 π 1 sin?3-2α?=- , ? ? 4 π π π π 1 所以 cos?4α+3?=cos 2?2α+6?=2cos2?2α+6?-1=2sin2?3-2α?-1=2?-4?2-1=- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 . 8 21.(本小题满分 12 分)(2012· 长春调研)如图,在平面直角坐标 系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点. 4 12 (1)如果 A,B 两点的纵坐标分别为 , ,求 cos α 和 sin β; 5 13

(2)在(1)的条件下,求 cos(β-α)的值; (3)已知点 C(-1, 3),求函数 f(α)= OA · 的值域. OC 4 12 解:(1)根据三角函数的定义,得 sin α= ,sin β= . 5 13 3 又 α 是锐角,所以 cos α= . 5 12 (2)由(1)知 sin β= . 13 5 因为 β 是钝角,所以 cos β=- . 13 所以 cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α 5 3 12 4 33 =?-13?× + × = . ? ? 5 13 5 65 (3)由题意可知, OA =(cos α,sin α), OC =(-1, 3).

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? π 所以 f(α)= OA · = 3sin α-cos α=2sin?α-6?, OC ? ?
π π π π 因为 0<α< ,所以- <α- < , 2 6 6 3 π 1 3 所以- <sin?α-6?< ,从而-1<f(α)< 3. ? ? 2 2 所以函数 f(α)的值域为(-1, 3).

22.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 2sin A= 3cos A. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由 2sin A= 3cos A两边平方得 2sin2A=3cos A 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解 1 得 cos A= 或 cosA=-2(舍). 2 b2+c2-a2 m 而 a2-c2=b2-mbc 可以变形为 = , 2bc 2 m 1 即 cos A= = ,所以 m=1. 2 2 1 3 (2)由(1)知 cos A= ,则 sin A= . 2 2 又 b2+c2-a2 1 = , 2bc 2

bc 所以 bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2.当且仅当 b=c 时等号成立.故 S△ABC= sin 2 a2 3 3 3 A≤ · = . 2 2 4


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