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09年全国高中数学联赛一试

时间:2011-10-14


已知直线 L : x + y ? 9 = 0 和圆 M : 2 x 2 + 2 y 2 ? 8 x ? 8 y ? 1 = 0 , A 在直线 L 上,B ,C 为圆 M 点 上两点, 上两点,在 ?ABC 中, ∠BAC = 45° , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为 . 解析】 9 则圆心 M 到直线 AC 的距离 d = AM sin 45° , 由直线 AC 与圆 M 相 【解析】 设 A ( a , ? a ) ,
34 . 2 解得 3 ≤ a ≤ 6 . 解析】 【解析】 由题意知 f ( t ) = S阴影部分面积

交,得 d ≤

= S?AOB ? S?OCD ? S ?BEF 1 1 2 = 1 ? t 2 ? (1 ? t ) 2 2 1 2 = ?t + t + 2 1 1 1 解析】 + +L + . 显 然 f ( n) 单 调 递 减 , 则 由 f ( n) 的 最 大 值 【解析】 设 f ( n ) = n +1 n + 2 2n + 1 1 f (1) < a ? 2007 ,可得 a = 2009 . 3 解析】 【解析】 设 P ( OP cosθ ,OP sin θ ) , ? π? π ?? ? ? Q ? OQ cos ? θ ± ? ,OQ sin ? θ ± ? ? . 2? 2 ?? ? ? ? 由 P , Q 在椭圆上,有

1 OP 1 OQ
2 2

= =

cos 2 θ sin 2 θ + 2 a2 b sin 2 θ cos 2 θ + a2 b2

① ②

①+② 得 1 1 1 1 + = 2+ 2. 2 2 a b OP OQ

于是当 OP = OQ =
? kx > 0 ? ? 解析】 【解析】 ? x + 1 > 0 ? 2 ? kx = ( x + 1) ? 当且仅当 kx > 0 x +1 > 0 x2 + ( 2 ? k ) x + 1 = 0

2a 2b 2 2a 2b 2 时, OP OQ 达到最小值 2 . 2 2 a +b a + b2

① ② ③

对③由求根公式得 1 x1 , x2 = ? k ? 2 ± k 2 ? 4k ? ④ ? 2? ? = k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ)当 k < 0 时,由③得

5

? x1 + x2 = k ? 2 < 0 ? ? x1 x2 = 1 > 0 所以 x1 , x2 同为负根. ?x +1 > 0 又由④知 ? 1 ? x2 + 1 < 0 所以原方程有一个解 x1 .
k ?1 =1 . 2 ?x + x = k ? 2 > 0 (ⅲ)当 k > 4 时,由③得 ? 1 2 ? x1 x2 = 1 > 0

(ⅱ)当 k = 4 时,原方程有一个解 x =

所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 ≠ x2 ,不合题意,舍去. 综上可得 k < 0 或 k = 4 为所求. 解析】 【解析】 易知: (ⅰ)该数表共有 100 行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 = 1 , d 2 = 2 , d3 = 22 ,…, d 99 = 298
(ⅲ) a100 为所求.

设第 n ( n≥ 2 ) 行的第一个数为 an ,则
an = an ?1 + ( an?1 + 2n?2 ) = 2an ?1 + 2n?2 = 2 ? 2 an ? 2 + 2 n ?3 ? + 2 n ? 2 ? ? = 22 ? 2an ?3 + 2n?4 ? + 2 × 2n?2 + 2n?2 ? ? = 23 an ?3 + 3 × 2n?2

…… = 2n ?1 a1 + ( n ? 1) × 2n?2
= ( n + 1) 2n?2

故 a100 = 101× 298 . 候车时间(分) 概率
10 1 2 30 1 3 50 1 1 × 6 6 70 1 1 × 2 6 90 1 1 × 3 6

候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 × + 30 × + 50 × + 70 × + 90 × = 27 2 3 36 12 18 ? y = kx + m ? 解析】 消去 y 化简整理得 【解析】 由 ? x 2 y 2 =1 ? + ?16 12

( 3 + 4k ) x
2

2

+ 8kmx + 4m 2 ? 48 = 0 8km 3 + 4k 2

设 A ( x1 ,y1 ) , B ( x2 ,y2 ) ,则 x1 + x2 = ?
?1 = ( 8km ) ? 4 ( 3 + 4k 2 )( 4m 2 ? 48 ) > 0
2



………………………………………………4 分 ? y = kx + m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 =1 ? ? ? 4 12
5

(3 ? k ) x
2

2

? 2kmx ? m 2 ? 12 = 0
2km 3 ? k2

设 C ( x3 ,y4 ) , D ( x4 ,y4 ) ,则 x3 + x4 =
? 2 = ( ?2km ) + 4 ( 3 ? k 2 )( m 2 + 12 ) > 0
2



………………………………………………8 分 uuur uuu r 因为 AC + BD = 0 ,所以 ( x4 ? x2 ) + ( x3 ? x1 ) = 0 ,此时 ( y4 ? y2 ) + ( y3 ? y1 ) = 0 .由
x1 + x2 = x3 + x4 得 8km 2km ? = . 3 + 4k 2 3 ? k 2

所以 2km = 0 或 ?

4 1 = .由上式解得 k = 0 或 m = 0 .当 k = 0 时,由①和 3 + 4k 2 3 ? k 2

②得 ?2 3 < m < 2 3 . m 是整数, 因 所以 m 的值为 ?3 ,?2 ,?1 ,0 ,1 ,2 ,3 . 当
m = 0 ,由①和②得 ? 3 < k < 3 .因 k 是整数,所以 k = ?1 , 0 , 1 .于是满足条 件的直线共有 9 条.………14 分

(Ⅰ)由韦达定理知 α ? β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以

整理得 an ? β an ?1 = α ( an?1 ? β an?2 ) 数列 {bn } 的首项为:

an ? pxn ?1 ? qxn ?2 = (α + β ) an ?1 ? αβ an?2 , ( n = 3 , , , ) 4 5 L

令 bn = an+1 ? β an , bn+1 = α bn ( n = 1, , ) . 则 2 L 所以 {bn } 是公比为 α 的等比数列.
b1 = a2 ? β a1 = p 2 ? q ? β p = (α + β ) ? αβ ? β (α + β ) = α 2 .
2

所 以 bn = α 2 ? α n ?1 = α n+1 , 即 an+1 ? β an = α n +1
an+1 = β an + α
n +1

L ( n = 1,2 , )

. 所 以 ,

L ( n = 1,2 , ) .
2




an +1

? = p ? 4q = 0
n +1





α =β ≠0


n +1

an+1 = β an + α
n +1

L ( n = 1,2 , ) 变为 an+1 = α an + α

L ( n = 1,2 , ) .整理得,

a1 = p = α + α = 2α

?a ? = 1 , ( n = 1,2 , ) .所以,数列 ? nn ? 成公差为 1 的等差数列,其 L α α ?α ? a 2α = 2 .所以 首项为 1 =
? an
n

α

α

n = 2 + 1( n ? 1) = n + 1 . αn 于是数列 {an } 的通项公式为

a

an = ( n + 1)α n ;……………………………………………………………………

………5 分 ②当 ? = p 2 ? 4q > 0 时, α ≠ β ,
an+1 = β an + α n+1 β ? α n+1 = β an + α β ?α
= β an +

β β ?α

α n+1 ?

α β ?α

α n+1 ( n = 1,2 , ) . L

整理得 ? α n+ 2 α n+1 ? an+1 + = β ? an + L ? , ( n = 1,2 , ) . β ?α β ?α ? ?
5

? α n+1 ? 所 以 , 数 列 ? an + ? 成 公 比 为 β 的 等 β ?α ? ? α2 α2 β2 α n +1 a1 + =α + β + = .所以 an + = β ?α β ?α β ?α β ?α 于 是 数 列 的 通 {an }

比 数 列 ,其首 项 为

β2 β n?1 . β ?α 项 公





an =

β

n +1

?α β ?α

n +1

.………………………………………………10 分
1 1 ,则 ? = p 2 ? 4q = 0 ,此时 α = β = .由第(Ⅰ)步的结果得,数 4 2
n

(Ⅱ)若 p = 1 , q =

? 1 ? n +1 列 {an } 的通项公式为 an = ( n + 1) ? ? = n ,所以, {an } 的前 n 项和为 2 ? 2? 2 3 4 n n +1 sn = + 2 + 3 + L + n ?1 + n 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 sn = 2 + 3 + 4 + L + + 2 2 2 2 2n 2n+1 1 3 n+3 以上两式相减,整理得 sn = ? n +1 2 2 2 所 以 n+3 sn = 3 ? n . ……………………………………………………………………… 2 ……15 分 方法二: (Ⅰ)由韦达定理知 α ? β = q ≠ 0 ,又 α + β = p ,所以
a1 = α + β , a2 = α 2 + β 2 + αβ .

特征方程 λ 2 ? pλ + q = 0 的两个根为 α , β . ①当 α = β ≠ 0 时,通项 an = ( A1 + A2 n )α n ( n = 1,2 , ) 由 a1 = 2α , a2 = 3α 2 得 L
?( A1 + A2 )α = 2α ? ? 2 2 ?( A1 + 2 A2 )α = 3α ? 解 得
n

an = (1 + n )α .……………………………………………………5 分

A1 = A2 = 1





② 当 α ≠ β 时 , 通 项 an = A1α n + A2 β n ( n = 1,2 , ) . 由 a1 = α + β , L
a2 = α 2 + β 2 + αβ 得

? A1α + A2 β = α + β ? ? 2 2 2 2 ? A1α + A2 β = α + β + αβ ? ?α β 解得 A1 = , A2 = .故 β ?α β ?α an = ?α n +1 β n +1 β n+1 ? α n +1 + = . ………………………………………………… β ?α β ?α β ?α

………10 分 (Ⅱ)同方法一.

y = x + x + 27 + 13 ? x = x + 27 + 13 + 2 x (13 ? x )
≥ 27 + 13
5



x=0





= 3 3 + 13 号 成 立





y











3 3 + 13 .……………………………………………5 分

又由柯西不等式得
y2 =

(

x + x + 27 + 13 ? x

)

2

1? ?1 ≤ ? + 1 + ? ( 2 x + ( x + 27 ) + 3 (13 ? x ) ) = 121 3? ?2

所 y ≤11 .

以 ……………………………………………………………………………

…10 分 由柯西不等式等号成立的条件,得 4 x = 9 (13 ? x ) = x + 27 ,解得 x = 9 .故当 x = 9 时















y











11 .…………………………………………………………………………………15 分

5


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