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均值不等式第一课时


均值不等式
郧阳中学

梁学文

请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案?

赵爽弦图

若a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab

? 该结论成立的条件是什么 ?
? 形的角度 ? 数的角度

a2+b2-2ab
a

>0,b>0

=(a-b)2≥0

若a,b∈R,那么 (当且仅当a=b时,取“=”号)
? 公式中等号成立的条件是什么? ? 是否仅仅当a=b时等号才成立?
? 形的角度 ? 数的角度

2+b2≥2ab a

a=b

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

若a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时,取“=”号)

? 公式两边具有何种运算结构?
? 数的角度:平方和不小于积的2倍

a2+b2

2ab

若a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时,取“=”号)

? 以下不等式是否成立? a2+b2≥ -2ab, a2+b2≥2|ab|
?换元法

? 如果用 a , b 去替换a、b,前提 是什么?能得到什么结论?

若a>0 b>0 那么a + b ≥2

a b

(当且仅当a=b时,取“=”号)

若 a ? 0, b ? 0, 那 么

ab ?

a?b 2

(当且仅当a=b时,取“=”号)

若 a ? 0, b ? 0, 那 么

ab ?

a?b 2

(当且仅当a=b时,取“=”号)
? 几何解释:
a?b
D

ab
C

半径不小于半弦

2
A

a

O

b

B

E

熟悉运算结构
? 我们把a ? b 叫做a,b的算术平均数,把 ab 2 叫做a,b的几何平均数。 ? 从形的角度来看,均值不等式具有特定的 几何意义;从数的角度来看,他们揭示了 “和”与“积”这两种结构间的不等关系。 ? 回忆一下你所学的知识中,有哪些地方出 现过“和”与“积” 的结构?

发现运算结构,应用不等式 ? 例1.试判断
关系? ? 如果将条件“x>0” 去掉,上述结论是 否仍然成立?
x? 1 x ( x ? 0)

与 2 的大小

发现运算结构,应用不等式 ? 变式1.试判断 的
大小关系?
b a ? a b ( a ? 0, b ? 0 )

与2

? 在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0” 可以变化吗?

发现运算结构,应用不等式

4

? 变式2.试判断 大小关系?

x?3

? x ( x ? 3)

与 7的

总结一下规律
能有什么启发?

是不是两个式子的积为定值的 时候能求出他们的最小值?

发现运算结构,应用不等式 ? 例2.甲、乙两商场对单价相同的同类产
品进行促销.甲商场采取的促销方式是在

原价 p 折的基础上再打 q 折;乙商场的
促销方式则是两次都打 (0<p<10, 0<q<10, p≠q )
p?q 2

折.对顾客

而言,哪种打折方式更合算?

发现运算结构,应用不等式 ? 例3.用一个两臂长短有差异的天平称
一样物品,有人说只要左右各秤一次,

将两次所称重量相加后除以2就可以了.
你觉得这种做法比实际重量轻了还是

重了?

课堂小结
? 知识要点: (1)两个不等式的条件及结构特征 (2)两个不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 ? 思想方法技巧: (1)数形结合思想、“整体与局部” (2)换元法、*比较法、*分析法 (3)配凑等技巧

作业

? 作业:印发一张 ? 预习提纲:思考均值不等式的应用,结合课后的练 习题,总结出一般规律.


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