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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.3.3.3点到直线的距离公式教案 新人教A版必修2


课题:2.3.3.3 点到直线的距离公式
课 型:新授课 教学目标: 知识与技能: 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式; 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值: 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程:教学过程 一、情境设置,导入新

课: 前面几节课, 我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件, 两直线的交点问题, 两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研 究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关 系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。 二、讲解新课: 1.点到直线距离公式:
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点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C
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A ?B
2

2

(1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,怎样用点的坐标和直线的方 程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线 段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问 题 y 转化为 一个曾经解决过的问题,一个自己熟悉的 问 R P(x0,y0) 题。 d 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 Q 方案一: o x 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ ⊥l S 可知,直线 PQ 的斜率为

B (A≠0) ,根据点斜式 A
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l



出直线 PQ 的方程, 并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标; 由此根据两点距离公式求出|PQ|, 得到点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点
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R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) ,
由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |= |PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax0 ? By0 ? C A

Ax0 ? By0 ? C B
1

|RS|= PR ? PS
2

2

?

A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB
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d ·|RS|=|PR|·|PS| Ax0 ? By0 ? C 所以 d ? A2 ? B 2
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可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力,意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1.求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。
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解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 32 ? 02

?

5 3

例 2 .已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ? ABC =

1 AB ? h , AB ? 2

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? ,即 x+y-4=0。 1 ? 3 3 ?1
点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h,h= 因此,S ? ABC =

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2

1 5 ?2 2? ?5 2 2

通过这两道简单的例题, 使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用, 能逐步体会用 代数运算解决几何问题的优越性。 同步练习:108 页第 1,2 题。 4.课堂练习: 1.已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点(2,3) , 求该直线方程。 2.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 3.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值:

归纳小结:点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转 化为点到直线的距离公式 作业布置: 110 页 6、7、8、9 课后记:
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