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高一物理竞赛培训资料第6讲 相对运动


xiongjianshu

2012.4

高一物理竞赛培训第 6 讲

相对运动
任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的,相对于不同的参照系,同 一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系; 将相对观察者运动的参照 系称为运动参照系。 物体相对静止参照系的

运动称为绝对运动,相应的速度和加 速度分别称为绝对速度和绝对加速度;物体相对运动参照系的运动称为相对运 动, 相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度;而运动参照系相对静 止参照系的运动称为牵连运动, 相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加 速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是:绝对速度等于相对速度和牵 ? ? ? 连速度的矢量和。 v绝对 ? v相对 ? v牵连 这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时,加速度也存在同样的关系:

? ? ? a绝对 ? a相对 ? a牵连
位移合成定理:SA 对地=SA 对 B+SB 对地
? 如果有一辆平板火车正在行驶,速度为 v 火地 (脚标“火地”表示火车相对地

面,下同) 。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶,相对火车的 ? 速度为 v 汽火 ,那么很明显,汽车相对地面的速度为:

? ? ? v汽地 ? v汽火 ? v火地
? ? (注意:v 汽火 和 v 火地 不一定在一条直线上)如果汽车中有一只小狗,以相对 ? 汽车为 v 狗汽 的速度在奔跑,那么小狗相对地面的速度就是

? ? ? ? v狗地 ? v狗汽 ? v汽火 ? v火地
从以上二式中可看到,上列相对运动的式子要遵守以下几条原则: ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。 合速度的后脚标和最后一 个分速度的后脚标相同。
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②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调,改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。 相对运动有着非常广泛的应用,许多问题通过它的运用可大为简化,以下举 两个例子。 例1 如图 2-2-1 所示,在同一铅垂面上向图示的两个方
vB=20m/s vA=10m/s 60? 30?

向以 vA ? 10 m / s、vB ? 20 m / s 的初速度抛出 A、B 两个质 点,问 1s 后 A、B 相距多远? 这道题可以取一个初速度为零,当 A、B 抛出时开

图 2-2-1

始以加速度 g 向下运动的参考系。在这个参考系中,A、B 二个质点都做匀速直 线运动,而且方向互相垂直,它们之间的距离
s AB ?

?v A t ?2 ? ?v B t ?2

? 10 5m ? 22 .4 m

例 2 在空间某一点 O,向三维空间的各个方向以相同的速度 v? 射出很多个小球, 球 ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少(假设 ts 之内所有 小球都未与其它物体碰撞)? 这道题初看是一个比较复杂的问题,要考虑向各个方向射出的小球的情况。 但如果我们取一个在小球射出的同时开始自 O 点自由下落的参考系,所有小球 就都始终在以 O 点为球心的球面上,球的半径是 v0 t ,那么离得最远的两个小球 之间的距离自然就是球的直径 2 v0 t 。 同步练习 1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β 1=30°, 另一次安
v1 装成倾角为β 2=15°。问汽车两次速度之比 v 2 为多少时,司机都是看见冰雹都

是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的) 提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答案为:3。 2、 模型飞机以相对空气 v = 39km/h 的速度绕一个边长 2km 的等边三角形飞 行,设风速 u = 21km/h ,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同,试
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求:飞机绕三角形一周需多少时间? 提示:三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非机头的指向) ;
? 第二段和第三段 v 合 大小相同。

参见右图,显然: v2 =
v2 合

+ u2 - 2v 合 ucos120°

可解出 v 合 = 24km/h 。 答案:0.2hour(或 12min.) 。 3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片(俯视) 。两列车 沿直轨道分别以速度 v1=50km/h 和 v2=70km/h 行驶,行驶方向如箭头所示,求 风速。 提示:方法与练习一类似。答案为:3
v1 v2

4、细杆 AB 长 L ,两端分别约束在 x 、 y 轴上 运动, (1)试求杆上与 A 点相距 aL(0< a <1)的 P 点运动轨迹; (2)如果 vA 为已知,试求 P 点的 x 、 y 向分速度 vPx 和 vPy 对杆方位角θ 的函数。 提示: (1)写成参数方程 ? θ 。 (2)解法有讲究:以 A 端为参照, 则杆上各点只绕 A 转动。但鉴于杆 子的实际运动情形如右图,应有 v 牵 = vAcosθ ,v 转 = vA cos 对 转动线速度为:v 转 + vAsinθ = .A .的 .
vA sin?

?

x ? aL sin ?

?y ? (1 ? a )L cos ?

后消参数

? sin ?
2

,可知 B 端相 .


avA sin ?

P 点的线速度必为

=v相

所以 vPx = v 相 cosθ + vAx ,vPy = vAy - v 相 sinθ 答案: (1 )
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x2 (aL ) 2

+

y2 (1 ? a ) 2 L2

= 1 ,为

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椭圆; (2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)vA 。

一般来说,选择不同的参考系物体的运动状态不同,但采用坐标转换法 也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换 成直线运动的情况却很少学生了解,解题时采用这样的方法可以使问题简化 很多。 例 3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小,所以其最大加速度不能超过 a=0.5m/s2.根据要求,驾驶员必须在最短时间内从 A 点到达 B 点,直线 AB 垂直于汽车的初始速度 ? ,如图 2 一 1 所示.如果 A、B 之间的距离 AB=375 m,而初速度 ? =10 m/s,那么这个最短时间为多少?其运动轨迹是什么? 分析和解:本题是一个典型的相对运动问题,而且用常规的方法是很 难解出此题的,然而如果才坐标系转换法解此题,其难度却可以大大 降低。 坐标系转换:汽车在 A 点不动,而让 B 点以恒速 ? 向汽车运动的 相 反方向运动.在此坐标系内汽车为了尽快与 B 点相遇,必

须沿直线以恒加速度 a 向 B 点驶去.假设它们在 D 点相遇,如 图 2—2 所示.设 AB=b,我们可以列出:
1 b 2 ? (?t ) 2 ? ( at 2 ) 2 2


2? 2 2? 2 2 4b 2 ? ( ) ? 2 a2 a2 a

由①式可得: t ?



将数据代人②式得 t=50s。 在地球坐标系内,它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动,因而它的 运动轨迹是一条抛物线.

用相对运动观点处理追及和相遇问题 例 4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是 a=5.0m/s2,相对地面速度须达 到 vm=50m/s。航空母舰以一定的速度航行,该其甲板长度 L=160m。设飞机起飞 时可看作匀加速运动,且对航母的状态没有影响。为使飞机能安全起飞,则航母
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的速度不得小于多少? 【解析】 : 相对航母, 飞机起飞时加速度 a/= a=5.0m/s2,最大位移 s/=L=160m, 所能达到的最大速度 u ? 2a ?s ? =40m/s。 为使飞机能安全起飞,航母的速度 v≥vm-u=10m/s。 例 5. 如图,A 船从赶港口 P 出发去拦截正以速度 v0 沿直线航行的船 B,P 与 B 所在航线的垂直距离为 a,A 船启航时,B 与 P 的距离为 b(b>a) ,若忽略 A 启 动的时间,并认为 A 一起航就匀速运动,为使 A 船能以最小速率拦截到 B 船, 下列说法正确的是:BC A.A 船应以 PC 方向运动 B.A 船应以 PD 方向运动 C.A 船的最小速率为 v 0 D.A 船的最小速率为 v0
a b
b2 ? a2 b
B B b P A C a D

【解析】 :A 要从 P 出发拦能截到 B,则 A 相 对 B 的运动方向应取开始时的 PB 向。 而 A 相对海 面的速度,应等于 A 相对 B 的速度与 B 相对海面

VA 对地

VA 对 B VB 对地 A P v1

速度的矢量和, 如图所示, 可见只有 A 相对海面速度 vA 对地垂直 PB 时为最小。 例 6. 物体 A 在地面上足够高的空中以速度 v1 平抛, 与此同时, 物 体 B 在 A 正下方距离 h 处以速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则 二者在空中运动时的最近距离为
v1 v2
v1 v ?v
2 1 2 2

h

v2

B A

A. h

B. h

v2 v1
v2 v ?v
2 1 2 2

C. h 答:D

D. h

h C v2 v1 B

【解析】 :由于二者加速度相同,则二者相对匀 速。以 A 为参考系,则 B 相对 A 匀速运动的速度
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2 为 v12 ? v 2 ,方向如图, 二者间的最近距离即为图中 AC。

例 7. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动,地球半径为 , 卫星离地面的高度等于 度为 ,则: 是多 , 卫星离地面高

( 1 ) 、 两卫星运行周期之比 少?

(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一 点正上方,则 至少经过多少个周期与 相距最 远? 【解析】 :(1)对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式

可得: 所以

(2)由 度大小为
?? ? ? a ? ? b ?

可知:

,即 转动得更快。则 a 相对 b 的角速

2? 2? ? Ta Tb

设经过时间 两卫星相距最远,则由图可得: ( 其中 时对应的时间最短。 、2、3??)

所以

,得

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【点评】:圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对(角)位移关系列 方程” 。 当然, 如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系, 运算过程更简洁, 但不如利用相对角位移关系容易理解, 而且可以和直线运动中同类问题的解法统 一起来,记忆比较方便。 同步练习 1 A、B 两棒长均为 L=1m,接近在同一竖直线上,A 的下端与 B 的上端相 距 s=20m, A、 B 同时开始运动, A 做自由落体, B 做竖直上抛, 初速度 v0 =40m/s,
A t2 分别为 不计空气阻力, 则到两棒相遇时间 t1 和从相遇开始到分离所需时间



A.t1=0.5s,t2=0.5s B.t1=0.05s,t2=0.5s C.t1=0.5s,t2=0.05s D.t1=0.05s,t2=0.05s 由于二者加速度相同,则二者相对匀速。以 A 为参考,B 相对 A 匀速。 2.内空高 h 的升降机正以加速度 a(<g)匀加速上升中,顶部突然一颗螺 钉松脱,至落到底板上需要时间 A. 不对 3.如图,物体甲从高 H 处以速度 v1 平抛,同时乙从乙距甲水平方向 s 处由地 面以初速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则两物体在空中相遇的 条件是 ABD
H v2 s H ? , v2 > v1 v2
H 甲 B

A C.
2h a

2h a?g

B.

2h g ?a

D.以上答案都

v1

v2


A.从抛出到相遇的时间为

B .若要在物体乙上升中遇甲,必须
gH

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C.若要在物体乙下降中遇甲,必须 D.若相遇点离地高度为

gH s H ? , v2 > 2 v1 v2

H ,则 v2 ? gH 2
s H 或 。 v1 v2

由于二者加速度相同,则二者相对匀速,相遇时间为

4.两个以 20.0m/s 的速度垂直下落,一妇女以 5.0m/s 的速度向前奔跑, 她感到雨点从什么方向落下,速度的大小为多少? 根据生活经验, 人不动时,感到雨点 垂直下落, 人运动时无论向 哪个方向奔跑,雨点 都会向她 迎面扑来,并且 运动速度越快,雨点扑来的速 度也越大。所以观察雨点的速度和人的运动速 度有关。 根据英文字母表示: 地面:Earth;妇女 Woman; 雨点 Rain; 规定速度符号: ? ? RE 为雨点相对地面; ? ? WE 为人相对地面; ? ? EW 为地面相对人; ? ? RW 为雨点相对人。 ? ? ? ? ? 雨点相对人的速度 ? RW= ? EW+ ? RE , ? EW = - ? WE 雨点相对人的速度大小为:

雨点相对人的速度方向为: 要使雨点不让人的鞋子受潮, 雨伞的半径应大于: d= h tan14°=0.375m。
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※拓展:有一条船要过河,河位于东西方向,水以u的速度从西向东流 动。如果船相对水的速度为υ ’向北方行驶,从岸上的人看船向正偏东θ 动,如何才能使以最短的时间到达对岸?
1



5.某人以 4 ㎞/h的速度向东行进时, 感觉风从正北吹来。 如果将速度增加一 倍,则感觉风从东北方向吹来,求相对于地面的风速和风向。 解:根据英文字母规定速度的意义: ? ? PE 为人相对地面; ? ? WE 为风相对地面; ? ? WP 为风相对人。 根据矢量关系: ? ? ? ? WE= ? WP + ? PE ??(1) ? ? ? ? WE= ? ’WP + ? ’PE ??(2) ? ? 其中 ? ’PE=2 ? PE ? 考虑风的速度 ? WE 在东西方向的投影, 由(1)可得:υ 由(2)可得:υ 由此可得: 风的速度大小为:
WEcosθ WEcosθ

=υ +υ

PE WPcos45°=2υ PE

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6. 李明同学放学回家, 正碰上刮风下雨, 他以 18km/h 的速度由西向东快跑, 此时他发现了奇怪的现象,雨滴成竖直下落状态,请你确定,这时刮的是____ 风,风速是___m/s 思路点拨 地面上刮风时, 风的速度方向与地面平行, 即沿水平方向, 此时若下雨, 则雨滴一方面由于受重力作用而沿竖直方向下落. 另一方面又由于风对它的作用 使它沿水平方向也发生运动, 可以想象,当雨滴在水平方向的运动速度小于风的 速度时, 在水平方向上风相对于雨滴总是有向前的速度,由此风还会把雨滴向前 带动使之具有更大的水平方向的速度,只有当两者在水平方向的速度相等时,两 者在水平方向上方无相互作用,雨滴在水平方向上的速度才不会再变化,所以, 若把风中的雨滴下落的运动从水平和竖直两个方向来看, 则雨滴将一方面以某一 速度沿竖直方向下落, 另一方面则具有一个和风速相同的水平方向的速度随风一 道运动. 人在雨中奔跑的速度是沿水平方向的,他若感到此时雨滴是沿竖直方向下 落, 表明此时人与雨滴之间在水平方向上没有相对运动,即人和雨滴在水平方向 上的速度是相同的, 又由上分析知此时雨滴在水平方向上的速度与风速相同,可 见此时人奔跑的速度与风的速度相同.故知此时刮的是西风,风速是 18km/h, 即 5m/s. 答案:西,5 7.
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A、B 两辆车以相同速度 v0 同方向作匀速直线运动,A 车在前,B车在

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后.在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方,同时以相对自身为 2 v0 的初速 度水平射出,如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力,则(C A.甲先被击中 B.乙先被击中 C.两人同时被击中 D.皮球可以击中乙而不能击中甲 思路点拨 甲球抛出时对他的速度为:v 甲=2v0-v0=v0,方向向后; 乙球抛出后对他的速度为:v 乙=2 v0+ v0=3 v0,方向向前,设两车相 距 s 远,则甲球自抛出至击中乙所需的时间为: t1 ?
s s ? v甲 ? v0 2v0



乙球自抛出至击中甲所需的时间为: t 2 ? 可见 t2=t1,说明两人同时被击中. 引申拓展

s s s ? ? v乙 ? v0 3v0 ? v0 2v0

本题可用相对运动的知识来求解.由于 A、B 两车运动速度相同,即 A、B 之间没有相对运动,故甲、乙两人间也没有相对运动.则甲以相对于自身速度为 2v0 的球射向乙,这个球相对于乙的速度也就是 2v0,设甲、乙间的距离为 s,则 甲抛出的球至击中乙需用时间为
t1 ? s 2v 0

同理,乙以相对于自身速度为 2v0 的球射向甲,此球相对于甲的速度也就是 2v0,则乙抛出的球至击中甲所需的时间为: t 2 ?
s 2v 0

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