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2015届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷理数

时间:2015-04-30


2015 届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学(理科)A 卷
(时间 120 分钟,满分 150 分) 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2.答第 1 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 1 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i B.2-i

1 ? 3i = 1? i
C.-l-2i D.-1+2i

x 2.已知集合 P ? ?0,1, 2? , Q ? y | y ? 3 ,则 错误!未定义书签。

?

?

A.

?0,1?

B. ?1,2?

C.

?0,1,2?

D. ?

3.已知 cos a ? k , k ? R, a ? ( A. ? 1 ? k 2 4.下列说法中,不正确的是

?
2

, ? ) ,则 sin(? ? a) ?
B.

1? k2

C. ? 1 ? k 2

D. ? k

A.已知 a, b, m ? R ,命题“若 am ? bm ,则 a<b”为真命题;
2 2

B.命题“ ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ” ; C.命题“p 或 q”为真命题,则命题 p 和 q 命题均为真命题; D. “x>3”是“x>2”的充分不必要条件. 5.已知偶函数 f(x),当 x ? ?0,2 ? 时, f ( x) ? sin x ,当 x ??2, ??? 时, f ( x) ? log2 x 则

f (? ) ? f (4) ? 3
A. ? 3 ? 2 B.1 C.3 D.

?

3?2

6.执行下面的程序框图,如果输入的依次是 1,2,4,8,则输出的 S 为 A.2 B. 2 2 C.4 D .6

7.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角的大小为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

8.已知 O、A、B 三地在同一水平面内,A 地在 D 地正东方向 2km 处,B 地在 O 地正北方向 2km 处,某测绘队员在 A、B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘.O 地为 一磁场,距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确.则 该测绘队员能够得到准确数据的概率是

A.

1 2

B.

2 2

c. 1 ?

3 2

D. 1 ?

2 2

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线 两条曲线的交点的连线过点 F,则双曲线的离心率为 A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, a 2 b2

2

B.

3

C 1? 2

D 1? 3

10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112

11.已知平面图形 ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形 一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧) ,且 AB=2, BC=4,CD=5.DA =3,则四边形 ABCD 面积.s 的最大值为 A.

30

B. 2 30

C. 4 30

D. 6 30

12. 已知函数 f ( x) ? ?

? x>0 ? ln x 2 ,若关于戈的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 (b, c ? R) 有 x 2 ? 4 x ? 1, x ? 0 ? ?
1 3 1 2 2 3

8 个不同的实数根,则由点(b,c)确定的平面区域的面积为 A.

1 6

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知平面向量 a,b 的夹角为

2? , a ? 2, b ? 1 ,则 a ? b ? __________. 3

14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同的分法的种数为_________(用数字作答) . 15.设过曲线 f ( x) ? ?e ? x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线
x

g ( x) ? ax ? 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为______.
16.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,设 P 为椭圆上一点, ?F1PF2 的 a 2 b2

外角平分线所在的直线为 l ,过 F1 , F 分别作 l 的垂线,垂足分别为 R,S,当 P 在椭圆上运动 时,R,S 所形成的图形的面积为_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设数列 差数列

?an? 的前 n 项和为

2a2、a3 ? 3 为等 Sn , a1 ? 1, an ?1 ? ?Sn ? 1(n ? N ? , ? ? ?1) ,且 a1、

?bn? 的前三项.

(I)求数列 (II)求数列

?an? 、 ?bn? 的通项公式;
?anbn? 的前 n 项和.

18. (本小题满分 12 分) 集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分 别降为

1 1 2 , , ,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有 2 个正常工 2 2 3

作,则 E 能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路 E 所需费用为 100 元. (I)求集成电路 E 需要维修的概率; (II)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成,设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用, 求 X 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 梯 形 , ? BAC= ? BAD=90 AP=AD=AB= 2 ,BC=t, ? PAB= ? PAD= ? (I)当 t ? 3 2 时,试在棱 PA 上确定一个点 E,使得 PC∥平面 BDE,并求出此时 (II)当 ,

AE 的值; EP

? =60 时,若平面 PAB ? 平面 PCD,求此时棱 BC 的长.

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 一动圆经过点 ( ,0) 且与直线 x ? ? 为曲线 E. (I)求曲线 E 的方程; (II)设 P 是曲线 E 上的动点,点 B、C 在 y 轴上,△PBC 的内切圆的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 求△PBC 面积的最小值.

1 2

1 相切, 设该动圆圆心的轨迹 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 ? a ln x x

(I)若以 f ( x ) 在区间[2,3]上单调递增,求实数 a 的取值范围; (II)设 f ( x ) 的导函数 f '( x) 的图象为曲线 C,曲线 C 上的不同两点 A( x1, y1 )、B( x1, y1 ) 所在 直线的斜率为 k ,求证:当 a ? 4 时 k ? 1 .

请考生在第 22—24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 O和 M 相交于 A、B 两点,AD 为 M 的直径,延长 DB 交 O 于 C,点 G

为弧 BD 中点,连结 AG 分别交

O、BD 于点 E、F,连结 CE.

(I)求证: AG ? EF ? CD ? GD (II)求证:

GF EF 2 ? AG CE 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 ? ? y ? 3 sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? =2. (I)分别写出 C1 的普通方程, C2 的直角坐标方程. (II)已知 M,N 分别为曲线 C1 的上、下顶点,点 P 为曲线 C2 上任意一点,求 PM ? PN 的 最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

x ? 1 ? x ? 3 ? m 的定义域为 R.

(I)求实数 m 的取值范围. (II)若 m 的最大值为 n,当正数 a、b 满足

2 1 ? ? n 时,求 7a+4b 的最小值. 3a ? b a ? 2b

2015 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(理科答案) 一、选择题(A 卷) 1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA

二、填空题
13 15
3

14 16

8

??1, 2?

?a 2

三、解答题(阅卷时发现的正确解答,请教师参阅此评分标准酌情给分)
17 解: (1)解法 1∵ an?1 ? ? Sn ? 1(n ? N ),
?

∴ an ? ? Sn?1 ? 1 (n ? 2 ) ∴ an?1 ? an ? ? an ,即 an?1 ? (? ? 1)an (n ? 2), ? ? 1 ? 0 , 又 a1 ? 1, a2 ? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, ∴数列 ?an ? 为以 1 为首项,公比为 ? ? 1 的等比数列,?????????????2 分 ∴ a3 ? (? ? 1) ,
2
2 2 ∴ 4(? ? 1) ? 1 ? (? ? 1) ? 3 ,整理得 ? ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ????????4 分

∴ an ? 2

n ?1

, bn ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ??????????????????6 分
?

解法 2:∵ a1 ? 1, an?1 ? ? Sn ? 1(n ? N ), ∴ a2 ? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, a3 ? ? S2 ? 1 ? ? (1 ? ? ? 1) ? 1 ? ? ? 2? ? 1,
2

2 2 ∴ 4(? ? 1) ? 1 ? ? ? 2? ? 1 ? 3 ,整理得 ? ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ?????????2 分

∴ an?1 ? Sn ? 1(n ? N ), ∴ an ? Sn?1 ? 1 (n ? 2) ∴ an?1 ? an ? an ,即 an?1 ? 2an (n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ∴数列 ?an ? 为以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,???????????????4 分 ∴ an ? 2
n ?1

?



bn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ???????????????????????????6 分
(2) anbn ? (3n ? 2) 2
1 n?1

∴ Tn ? 1?1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 ?
2

? (3n ? 2) ? 2n?1 ?????????① ? (3n ? 5) ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ???②????8 分
? 3 ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n

∴ 2Tn ?

1? 21 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ?
1 2

① —②得 ?Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?

? 1? 3?

2 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n ?????????????10 分 1? 2
n

整理得: Tn ? ( 3 12 分 n ? 5?) 2 ? ?????????????????????? 5

18 解: (Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件 A, B, C ,则 p ( A) ? 依题意,集成电路 E 需要维修有两种情形: ①3 个元件都不能正常工作,概率为

1 1 2 , p ( B ) ? , p (C ) ? . 2 2 3

1 1 1 1 p1 ? p( ABC ) ? p ( A) p ( B) p(C ) ? ? ? ? ; 2 2 3 12
②3 个元件中的 2 个不能正常工作,概率为

????2 分

p2 ? p( ABC ? ABC ? ABC) ? p( ABC) ? p( ABC) ? p( ABC)

1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 2 3 2 2 3 12 3
所以,集成电路 E 需要维修的概率为 p1 ? p2 ? (Ⅱ)设 ? 为维修集成电路的个数,则 ?

?????5 分

1 1 5 ? ? . ?????6 分 12 3 12 5 B (2, ) ,而 X ? 100? , 12
????9 分

k 5 k 7 2?k P( X ? 100k ) ? P(? ? k ) ? C2 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2. 12 12

X 的分布列为:
X
p
0 100 200

49 144

35 72

25 144
??????10 分

? EX ? 0 ?

49 35 25 250 ? 100 ? ? 200 ? ? 144 72 144 3 5 250 ? 或 EX ? 100 E? ? 100 ? 2 ? . 12 3

????12 分

19 解: (1)证明一 连接 AC,BD 交于点 F ,在平面 PCA 中做 EF ∥ PC 交 PA 于 E , 因为 PC ? 平面 BDE , EF ? 平面 BDE

PC ∥平面 BDE ,---------------2

因为AD ∥ BC, 所以
因为 EF ∥ PC ,

AF AD 1 ? ? , FC BC 3

z P D F O x G B y E A

AE AF 1 所以 ? = . -------------4 分 EP FC 3
证明二 在棱 PA 上取点 E , 使得 连接 AC,BD 交于点 F ,

AE 1 ? ,------------2 分 C EP 3

因为AD ∥ BC,
AF AD 1 ? ? , FC BC 2 AE AF 所以 ? , EP FC 所以
所以, EF ∥ PC 因为 PC ? 平面 BDE , EF
? 平面 BDE

所以 PC ∥平面 BDE -------------4 分 (2)取 BC 上一点 G 使得 BG ? 2, 连结 DG ,则 ABGD 为正方形. 过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O . 连结 OA, OB, OD, OG .

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,
所以 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形,因此 PA ? PB ? PD , 所以 OA ? OB ? OD , 即点 O 为正方形 ABGD 对角线的交点,---------------7 分 (或取 BC 的中点 G ,连结 DG ,则 ABGD 为正方形. 连接 AG, BD 交于点 O ,连接 PO ,

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,
所以?PAB和?PAD都是等边三角形, 因此PA ? PB ? PD, 又因为OD ? OB, 所以?POB ? ?POD, 得到?POB ? ?POD ? 900, 同理得?POA ? ?POB, ?POA ? 900, 所以PO ? 平面ABCD.

---------7 分

因为OG , OB, OP两两垂直,
以 O 坐标原点,分别以 OG,OB, OP 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系 O ? xyz .
则O ( 0, 0, 0),( P 0, 0, 1 ),( A ?1 , 0, 0),( B 0, 1 , 0),D ( 0, ?1 , 0)G (, 1 0, 0)

设棱 BC 的长为 t ,则 C ( 2 t ,1 ? 2 t , 0) , 2 2
PA ? (?1, 0, ?1), PB ? (0,1, ?1), PC ? ( 2t 2t ,1 ? , ?1), PD ? (0, ?1, ?1) --------------9 分 2 2

设平面PAB的法向量m ? ( x1 , y1 , z1 ), ? ?m PA ? 0 ?? x ? z ? 0 则? ,即 ? ? ?m PB ? 0 ? y ? z ? 0 不妨令x ? ?1, 可得m ? (?1,1,1)为平面PAB的一个法向量.
设平面PCD的法向量n ? ( x2 , y2 , z2 ), ? 2 2 ? tx ? (1 ? t) y ? z ? 0 ?n PC ? 0 ? 则? ,即 ? 2 2 ?n PD ? 0 ?? y ? z ? 0 ? ? 不妨令y ? 1, 可得n ? (1 ? 2 2 ,1, ?1)为平面PCD的一个法向量. t
----------11 分

------10 分

m n ? 0, 解得 t= 2 2 即棱BC的长为2 2. ----------------12 分

20 解: (1)由题意可知圆心到 ( , 0) 的距离等于到直线 x ? ? 圆心的轨迹方程: y 2 ? 2 x .?????????4 分 (2)设 P( x0 , y0 ) , B(0, b), C (0, c) , 直线 PB 的方程为: ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 , 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1,

1 2

1 的距离,由抛物线的定义可知, 2

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b ) ? x
2 2 0

? 1 ,整理得: ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , ??????????6 分

同理可得: ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 ,所以,可知 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根, 所以: b ? c ?

?2 y0 ? x0 , bc ? , ????????8 分 x0 ? 2 x0 ? 2

依题意 bc

?0
,即

x0 ? 2


则 (b ? c)2 ?

2 4 x0 2 ? 4 y0 ? 8x0 2 ,因为 y0 ? 2 x0 ,所以: ( x0 ? 2)2

b?c ?

2 x0 ,??????10 分 x0 ? 2
? ( x0 ? 2) ? 4 ? 4 ? 8, ( x0 ? 2)

所以 S ?

1 b ? c x0 2

当 x0 ? 4 时上式取得等号,所以 ?PBC 面积最小值为 8.?????????12 分 解二: (2)设 P( x0 , y0 ) ,直线 PB: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 与圆 D 相切,则

k ? y0 ? kx0 k 2 ?1

? 1,整理得:

2 2 ( x0 ? 2x0 )k 2 ? 2(1 ? x0 ) y0k ? y0 ?1 ? 0 ,????????6 分

k1 ? k2 ? ?

2 2(1 ? x0 ) y0 y0 ?1 ,?????????8 分 , k k ? 1 2 2 2 x0 ? 2 x0 x0 ? 2 x

依题意 x0 ? 2 那么 yB ? yC ? ( y0 ? k1x0 ) ? ( y0 ? k2 x0 ) ? k1 ? k2 x0 , 由韦达定理得: k1 ? k2 ?