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南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题(word,含附加题)


高三数学期末第一次模拟考试 数学试题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式

样本数据 x1 , x 2 ,…, xn 的方差 s 2 ?

1 n 1 n ( xi ? x ) 2 ,其中 x ? ? xi . ? n i ?1 n i ?1

锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 为

锥体的底面积,h 为高. 圆锥的侧面积公式: S ? ? rl ,其中 r 为圆锥的底面半径,l 为母线长. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.设集合 M ? {2,0,x} ,集合 N ? {0,1} ,若 N ? M ,则 x ? 2.若复数 z ? . .

1 3

a?i ( 其中 i 为虚数单位 ) 的实部与虚部相等,则实数 a ? i
. .
2 2

3.在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9,7,10,则该组数 据的方差是 胜的概率为
2

4.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2,甲、乙下和棋的概率为 0.5,则乙获 5.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? 6.运行如图所示的程序后,输出的结果是 . .

?2 x ? y ≤ 0 ? 7.若变量 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ≥ 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?x ≥ 0 ?



8.若一个圆锥的底面半径为 1,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体 积为 .

?? ? ? 9.若函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,且该 6? 2 ?
? ?? 函数图象关于点 ( x0,0) 成中心对称, x0 ? ?0, ? ,则 x0 ? 2? ?
10.若实数 x,y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 . . 条

x2 ? y2 的最小值为 x? y

11. 设向量 a ? (sin 2?,cos? ) ,b ? (cos ?,1) , 则 “a∥b ” 是 “a tn ? ?

1 ” 成立的 2

件 ( 选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) . 12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 交于 A,B 两

点,O 为坐标原点,若圆上一点 C 满足 OC ? OA ? OB ,则 r ?

5 4

3 4



13 .已知 f ( x) 是定义在 [ ? 2, 2]上的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x ) ? 2x ? 1,函数

g ( x) ? x2 ? 2 x ? m.如果对于 ?x1 ?[?2,2] , ?x2 ?[?2,2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,
则实数 m 的取值范围是 . . 14.已知数列 {an } 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N? ) ,若数列 {a2 n ?1} 单调 递减,数列 {a2 n } 单调递增,则数列 {an } 的通项公式为 an ? 二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分. 15. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边与单位圆 交于点 P( x1, y1 ) ,将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 点 Q( x2, y2 ) .记 f (? ) ? y1 ? y2 . (1)求函数 f (? ) 的值域; (2)设△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

?
2

后与单位圆交于

f (C )?

,且 a ? 2 , c ? 1 ,求 b. 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O,E 分别为 B1D ,AB 的中点. (1)求证: OE ∥ 平面 BCC1 B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1 DE .

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右准线方程为 x ? 4 ,右 a2 b2

顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 经过点 A,且点 F 到直线 l 的距 离为

2 5 . 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P,当 B,F,P 三点共线时,试 确定直线 l 的斜率.

18. (本小题满分 16 分) 某地拟模仿图甲建造一座 大型体育馆,其设计方案 侧面的外轮廓线如图乙所 示:曲线 AB 是以点 E 为 圆心的圆的一部分,其中

E (0,t ) ( 0 ? t ≤ 25 ,单位:米 ) ;曲线 BC 是抛物线 y ? ?ax2 ? 50 (a ? 0) 的一部分;
CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米.
(1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面 DF 的最大宽度不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

1 ,求 AD 的最大值. 25
1 ) 2 a?x

( 参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ?

19. (本小题满分 16 分) 设数列 {an } 是各项均为正数的等比数列, 其前 n 项和为 Sn , 若 a1a5 ? 64 ,S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对于正整数 k,m,l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am ,

a l 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件;
( 3 )设数列 {bn } 满足:对任意的正整数 n ,都有 a1 bn ? a2 b n? 1 ? a3 b n ? 2? = ? a n b 1

? ? ? b ? 3 ? 2n ?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n n ≥ ?,n ? N? ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的 ? ? ? an ?
取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ①若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1,0) ,求 m ? n 的值; ②当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1,? ?) 上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r ( x) ?

1 nx ? ,且 n ? 4 m ( m ? 0) ,求证:当 x ≥ 0 时, r ( x) ≥1 . f ( x) g ( x)

高三期末考试第一次模拟考试 数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把 答案写在答题纸的指定区域内. A. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知点 P 为 Rt△ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt△ABC 的外接圆 相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长.

B. (选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 的变换下所得曲线的方程. 2 ? ? 2 ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程)

?? ? 在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos? 的圆心到直线 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 的距离. 3? ?

D. (选修 4—5:不等式选讲) 解不等式: | x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 ,动点 P 满足

CP ? ? CC 1 (? ? 0),当 ? ?
(1)求棱 CC1 的长;

1 时, AB1 ? BP . 2

(2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为

?
3

,求 ? 的值.

23. (本小题满分 10 分) 设集合 S ? {1,2,3, ,n} (n ? N?,n ≥ 2) ,A,B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B ) 的个数为 Pn . (1)求 P2 , P3 的值; (2)求 Pn 的表达式.


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