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福建省厦门市杏南中学2010-2011学年高一4月月考试题(数学)


厦门理工学院附中(杏南中学)
2010-2011 学年 下 学期 4 月 数学 学科 高一 年段阶段测试卷
考试时间: 120 分钟
公式:

V柱体

总分: 150 分 1 ? Sh V锥体 ? Sh 3

A 卷(共 100 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5

分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项 符合题目要求,请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上。 ) 1. 直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 45 ,1
0

) C. 900 ,不存在 D. 1800 ,不存在

B. 135 , ?1
0

2.两平行直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 与 l2 : 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 间的距离是( A.
4 5



B.

3 10

C.

3 5

D. 3

3.圆心为(-1, 2) ,半径为 4 的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+1) +(y-2) =16 B.(x-1) +(y+2) =16 2 2 2 2 C.(x+1) +(y-2) =4 D.(x-1) +(y+2) =4 4. 两圆 x ? y ? 2 x ? 0,
2 2

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 8 y ? ?4 的位置关系是(
C.相离 D.内切
1 ,m)三点共线 则m的值为( 2



A.相交

B.外切

5.若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C( A.



1 1 B. ? C.-2 D.2 2 2 6. 已知直线 a (a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值等于( ) 1 3 1 3 A. B. C. 0 或 D. 0 或 2 2 2 2
7. 在 长 方 体 ABCD — A ' B ' C ' D ' 中 , AB ? 3 ,

AD ? 3 , AA ' ? 1 ,则
( )

AA '
A.60°



BC '
B.45°



成 C.30°



角 是 D.90°

8. 下列命题中 a、b、c 表示直线, ?、?、? 表示直线平面,正确的是( A.若 a // ? , b // ? ,则 a // b . C.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? .



D.若 m ? ? , n ? m , n ? ? ,则 n // ? .

9. 方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是(
2 2



A. m ? 2

B.m<

1 2

C.m< 2

D. m ?

1 2

10.一个几何体的三视图如图所示:俯视图是边长为 2 的正方形,主视图与左视图是全等的等腰

直角三角形 (单位长度: cm), 则此几何体的全面积是( A. 8cm 2 B. 4cm 2 C. (4 ? 4 2)cm 2

) D. 4 2cm 2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。 ) 11.点 A(1,0)到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的距离是 12.直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过定点 13.圆 x ? y ? 1 上的点到直线 x ? y ? 8 的距离的最小值
2 2





14.圆: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是 三、解答题(本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应 题目的答题区域内作答。) 15.(本小题满分 10 分)

?ABC 中,点 A ?4,?1?, 点 C (8,3) ,AB 的中点为 M ?3,2 ?,
(1)求边 BC 所在的直线方程; (2)求边 AC 的垂直平分线所在的直线方程。

16. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A—BCD 中,AB⊥平面 BCD,它的正视图和俯视图都是直角三角形,图中尺寸单位为 cm。 (I)在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求,画出三棱锥的侧(左)视图; (II)证明:CD⊥平面 ABD; (III)按照图中给出的尺寸,求三棱锥 A—BCD 的侧面积。

17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A (1,0),且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ) 若圆

D 的半径为 3,圆心在直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.

B 卷(共 50 分)
四、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。)

18. 直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 所截得的弦长为

19.已知点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 25 上移动, A(0,1) 则 AP 的中点 M 的轨迹方程是
20. 已知点 A (x,5) 关于点 (1, y) 的对称点 (-2, -3) , 则点 P (x, y) 到原点的距离是 。

21.已知 Rt ?ABC 的两直角边长分别为 a 、 b ,斜边长为 c ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的位 置关系是 。 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应 题目的答题区域内作答。 22. (本小题满分 10 分) 有一座圆弧形拱桥,它的跨度为 60 米,拱高为 18 米,当洪水泛滥到跨度只有 30 米时,就要采取紧急措施, 有一次洪水来袭,拱顶离水面只有 4 米,是否采取紧急措施?

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

23. (本大题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点, A ' A ⊥平面 ABCD. (I)计算:多面体 A'B'BAC 的体积; (II)求证: A' C
A' B' E? A B C D

// 平面 BDE;

(Ⅲ) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE.

24. (本小题满分 12 分)

已知以点 C (t,

2 )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原 t

点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求 t 的值 并求出圆 C 的方程.

厦门理工学院附中(杏南中学)
2010-2011 学年 下 学期
考试时间: 120 分钟 总分: 150 分

4 月 数学 学科 高一 年段阶段测试卷
命题:陈文娴 审核: 万龙兰

A 卷(共 100 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题: (本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分)

11.__ 5 _______.

12. (-2,1) .

13._ 4 2 ? 1 __.

14. x ? y ? 1 ? 0

.

三、解答题: (本大题共 3 题,共 34 分)

16. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 A—BCD 中,AB⊥平面 BCD,它的正视图和俯视图都是直角三角形,图中尺寸单位为 cm。 (I)在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求,画出三棱锥的侧(左)视图; ( II)证明:CD⊥平 面 ABD; (III)按照图中给出的尺寸,求三棱锥 A—BCD 的侧面积。

17. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , (Ⅰ)若直线 l1 过定点 A (1,0),且与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ) 若圆

D 的半径为 3,圆心在直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 上,且与圆 C 外切,求圆 D 的方程.
解: (Ⅰ)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. …………………2 分 ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2,即

3k ? 4 ? k k2 ?1

?2

……4 分

解之得 k ?

3 .…………………………………5 分 4

所求直线方程是 x ? 1 , 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 . …………………………………… 6 分 (Ⅱ)依题意设 D(a, 2 ? a ) ,……………… 7 分 又已知圆的圆心 C (3, 4), r ? 2 , ∴可知 由两圆外切,可知 CD ? 5 ……………………………………… 9 分

(a ? 3) 2 ? (2 ? a ? 4) 2 = 5 ,

2

解得 a ? 3, 或a ? ?2 ,

D(3, ?1)或 D(-2, 4) ,
2 2 2

∴ 所求圆的方程为 (x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9或(x ? 2) ? ( y ? 4) ? 9 .…… 12 分

B 卷(共 50 分)
四、填空题: (本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 18. __

6 5 __. 5

19. _ x 2 ? ( y ? ) 2 ?

1 2

25 __. 4

20. ___ 17 __.

21. ___相切___.

五、解答题: (本大题共 3 题,共 34 分) 22. (本小题满分 10 分) 有一座圆弧形拱桥,它的跨度为 60 米,拱高为 18 米,当洪水泛滥到跨度只有 30 米时,就要采取紧急措施, 有一次洪水来袭,拱顶离水面只有 4 米,是否采取紧急措施? 解 : 如 图 , 以 跨 度 AB 所 在 直 线 为 x 轴 , 拱 高 OP 为 y 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , y ? O(0, 0), A(? 30, 0), B (30, 0)P (0,18)…………………………………………2 分 设圆弧形拱桥所在的圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,把 A, B, P 三点坐标带入方程
2 2

? 182 ? 18 E ? F ? 0 ? D ? 0 ? ? 得 ?900 ? 30 D ? F ? 0 ? ? E ? 32 ………………………6 分… ?900 ? 30 D ? F ? 0 ? F ? ?900 ? ?
2 2

P B x

? x ? y ? 32 y ? ?900 ? 0 ………………………7 分 当拱顶离水面只有 4 米,即水面所在直线为 y ? 14 ,带入圆的方程,得 x ? ?16 …………8 分
所以此时跨度有 32 米,大于 30 米,因此不用采取措施。………………………10 分 23. (本大题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点, A ' A ⊥平面 ABCD.(I)计 算:多面体 A'B'BAC 的体积; A' (II)求证: A' C // 平面 BDE; B' (Ⅲ) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE. E? 解: (I)多面体 A'B'BAC 是一个以 A'B'BA 为底,C 点为 顶点的四棱锥,由已知条件,知 BC⊥平面 A'B'BA, ∴ VC ? A?B?BA ?
A B M D

A

O

1 1 a3 S A?B?BA ? BC ? ? a 2 ? a ? ……3 分 3 3 3

C

(II)设 AC 交 BD 于 M,连结 ME.

? ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点,

又 ?E 为 A' A 的中点? ME 为 ?A' AC 的中位线? ME // A' C …………………………5 分 又 ? ME ? 平面BDE , A' C ? 平面BDE ? A' C // 平面 BDE. ………………7 分
(Ⅲ)? ABCD为正方形

? BD ? AC ………………………… 9 分

? A' A ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ? A' A ? BD. 又AC ? A' A ? A ? BD ? 平面A' AC.

……………………11 分

? BD ? 平面BDE ? 平面A ' AC ? 平面BDE.

…………………………………………12 分

24. (本小题满分 12 分) 2 已知以点 C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原 t 点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y = –2x+4 与圆 C 交于点 M, N,若 OM = ON,求 t 的值 并求出圆 C 的方程.

此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9 5

? 5,

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点。------------------9 分. 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

5,

9 5

? 5
------------------11 分

圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .------------12 分


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