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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2课件:第3章 名师点拨:分析法

时间:2014-12-24


用分析法证明命题“若P,则Q”时的模式如下: 为了证明命题Q为真,只需证明命题P1为真,从而 有… 只需证明命题P2为真,从而有… 只需证明命题P为真,而已知P为真,故Q必真.

[特别提醒] 当所证结论与所给条件之间的关系
不明确时,常采用分析法证明,但更多的时候是综合

法与分析法结合使用,先看条件能够提供什么,再看

/>结论成立需要什么,从两头向中间靠拢,逐步接通逻 辑思路.

应用综合法和分析法证明问题时的注意点 1.运用综合法解题时,要保证前提条件正确, 推理要合乎逻辑规律,只有这样才能保证结论的正 确性. 2.利用分析法证明问题时一定注意语言要清楚、 明白.

1.在解决问题时,我们经常把综合法和分析法 结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得

到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得
到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结

论成立.

用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当 有所区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的, 每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所 用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当用假定 的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立, 就需先有B成立;如果要B成立,又只需C成立,……, 这样从结论一直推到它们都是同所要证明的命题等效, 而并不是确信它们是真实的,直至达到最后已知条件 或明显成立的事实后,我们才能确信它是真的,从而 可以推知前面所有与之等效的命题也都是真的,于是 命题就被证明了.

2.综合法和分析法各有优缺点.从寻求解题思路 来看,综合法由因导果,往往枝节横生,不容易奏效; 分析法执果索因,常常根底渐远,有希望成功.就表 达证明过程而论,综合法形式简洁,条理清晰;分析 法叙述繁琐,文辞冗长.也就是说分析法利于思考, 综合法宜于表述.因此,在实际解题时,常常把分析 法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题 思路,再用综合法有条理地表述解答或证明过程.有 时要把分析法和综合法结合起来交替使用,才能成 功.

◎已知 a,b,c 是不全相等的正数,且 0<x<1,求证: a+b b+c a+c logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc.

a+b b+c a+c 【错解】 证明:要证明 logx +logx +logx 2 2 2 <logxa+logxb+logxc. 只需要证明
?a+b b+c a+c? ? logx? · · ? 2 ?<logx(abc) 2 2 ? ?

a+b b+c c+a 只证明 · · <abc 2 2 2

a+b b+c a+c ∵ ≤ ab, ≤ bc, ≤ ac 2 2 2 ∵a,b,c 是不全相等的正数 a+b b+c a+c ∴ · · < ab bc ac=abc 2 2 2 a+b b+c c+a 即 · · <abc 2 2 2 a+b b+c c+a ∴logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc 2 2 2

【错因】 在证明不等式①错用了函数的单调性,因为 a+b 0<x<1 函数应单调递减,②均值不等式 ≥ ab,而不是 2 a+b ≤ ab. 2

a+b b+c a+c 【正解】 证明:要证明 logx +logx +logx 2 2 2 <logxa+logxb+logxc, 只需证明
?a+b b+c a+c? ? logx? · · ? 2 ?<logx(abc). 2 2 ? ?

a+b b+c c+a 由已知 0<x<1,只需证明 · · >abc. 2 2 2 a+b b+c a+c 由公式知 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0. 2 2 2

a+b b+c a+c ∵a,b,c 不全相等,∴ · · > ab· bc· ac= 2 2 2 abc. a+b b+c a+c 即 · · >abc 成立. 2 2 2 a+b b+c a+c ∴logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc 成立. 2 2 2