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高中数学知识考点之(24)导数的定义及几何意义

时间:2013-01-04


导数的定义及几何意义
1.f ( x0 ) ? lim
/ ?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) / 叫函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 y | x ? x0 。 ?x

注:①函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在。②在定义导数的极限式中,?x 趋近 于 0

可正、可负、但不为 0,而 ?y 可能为 0。③

?y 是函数 y ? f (x) 对自变量 x 在 ?x 范围 ?x

内的平均变化率,它的几何意义是过曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点( x0 + ?x ,

f ( x0 ? ?x0 ) )的割线斜率。④导数 f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f (x) 在 ?x

点 x0 的处瞬时变化率, 它反映的函数 y ? f (x) 在 x0 点处变化的快慢程度, 它的几何意义是 曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率。⑤若极限 lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 不 ?x

存在,则称函数 y ? f (x) 在点 x0 处不可导。⑥如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点 都有导数,则称函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内可导;此时对于每一个 x ∈ ( a, b) ,都对应 着一个确定的导数 f / ( x) ,从而构成了一个新的函数 f / ( x) ,称这个函数 f / ( x) 为函数 简称导数; 导数与导函数都称为导数, 这要加以区分: y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内的导函数, 求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。 [举例 1]若 f / ( x0 ) ? 2 ,则 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于: 2k
(C) 1 (D) 1/2

(A) -1

(B) -2

/ 解析:∵ f ( x0 ) ? 2 ,即 lim

? k ?0

f [ x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =2 ? lim =-1。 k ?0 ?k 2k
n n?1
王新敞
奎屯 新疆

[举例 2] 已知 a ? 0, n 为正整数 设 y ? ( x ? a) ,证明 y ' ? n( x ? a)
n

解析:本题可以对 y ? ( x ? a) 展开后“逐项”求导证明;这里用导数的定义证明:

( x ? ?x ? a) n ? ( x ? a) n y ? lim = ?x ?0 ?x
/ 1 2 n ( x ? a) n ? C n ( x ? a) n?1 ?x ? C n ( x ? a) n?2 (?x) 2 ? ? ? C n (?x) n ? ( x ? a) n = ?x ?0 ?x

lim

2 n n( x ? a) n ?1 ?x ? C n ( x ? a) n ?2 (?x) 2 ? ? ? C n (?x) n = lim ?x ?0 ?x
2 3 n lim [n( x ? a) n ?1 ? C n ( x ? a) n ?2 ?x ? C n ( x ? a) n ?3 (?x) 2 ? ? ? C n (?x) n ?1 ] = n( x ? a) n?1 。

?x ?0

[巩固 1]一质点作曲线运动,它的位移 S 与时间 t 的关系为:S ? 定义求 t =3 时的速度。

t ?1 ? 2t 2 ,试用导数的 2 t

[巩固 2]设 C 是成本,q 是产量,成本与产量的函数关系式为 C=C(q) ,当产量为 q0 时, 产量变化 ?q 对成本的影响可用增量比

?C C (q0 ? ?q) ? C (q0 ) 刻划. 如果 ?q 无限趋 ? ?q ?q

近于 0 时,

?C 无限趋近于常数 A,经济学上称 A 为边际成本. 它表明当产量为 q0 时,增 ?q
x2 ,则生产 8 个单位产品时,边际成本是: 8 B.8 C.10

加单位产量需付出成本 A(这是实际付出成本的一个近似值) 。设生产 x 个单位产品的总成 本函数是 C(x)=8+ A.2 ( D.16 )

/ 2.常用导数公式: c ' ? 0 , ( x n )' ? nxn?1 , (e x ) / ? e x , (ln x) ?

1 ; x

导数的运算法则:若函数 f (x) 与 g (x) 的导数存在,则 [ f ( x) ? g ( x)]'? f ' ( x) ? g ' ( x) ,

[cf ( x)]'? c ? f ' ( x) , [ f ( x) g ( x)]/ ? f / ( x) g ( x) ? f ( x) g / ( x) ;

f ( x) / f / ( x ) g ( x ) ? f ( x) g / ( x ) (这个公式很容易记错,注意和“积的导数”对比) ; ( ) ? g ( x) g 2 ( x)
复合函数的导数:由 y ? f (u ) 与 u = ? (x ) 得到复合函数 y ? f [举例 1]已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 f / (1) ? x ,则 f / (2) =

?? (x)? ,则 y x' = yu' . u x' 。



解析: f / (1) 是常数,∴ f / ( x) ? 3x 2 ? 2xf / (1) ? 1 ? f / (1) =3+2 f / (1) -1 ? f / (1) = -2 ∴ f / ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ,故 f / (2) =3。 [举例 2] n ? N ? , Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn =
1 2 3 n


k k ?1

解析:本题可以用“倒序相加”法,也可以用“通项变化”法(k C n = n Cn?1 ) ;这里,我 们观察 (1 ? x) ? Cn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x
n 0 1 2 2 3 3 n n

①,不难发现其通项 C n x 求

k

k

导后的系数正是所求“项” ;故考虑对①式两边同求导数,得:
1 2 3 n n(1 ? x) n ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x 2 ? ? ? nCn x n?1 ,令 x =1 得:

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn = n ? 2 n

[巩固 1] 已知 f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .令 F ( x) ? xf ?( x) ,则 F / ( x) = [巩固 2]已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)?(nx ? 1) ,则 f / (0) 的值为:
2 A. C n 2 B. Cn?1 2 C. An 2 D. An?1



3. 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义: 曲线 C : y ? f ( x) 在其上点 P(x0 , 0 ) y 处的切线的斜率。用导数研究切线问题,切点 是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点 横坐标的导函数值为切线斜率) 。 [举例 1]曲线 y ? e A.
1 x 2 在点

(4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
C. 2e 2
1



9 2 e 2
1 x

B. 4e 2

D. e2 (07 高考海南理 10)

解析: y ? e 2 ? y / ?

1 1 2x e ,则]曲线在点 (4,e2 ) 处的切线斜率为: e 2 , 2 2
2

∴切线方程为: y ? e ?

1 2 e ( x ? 4) ,它与坐标轴的交点分别为: (2,0)(0,- e 2 ) , ; 2
2

∴切线与坐标轴所围三角形的面积为: e ,选 D。 [举例 2]函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线方程是: y ? ? x ? 8 ,若点 P 的横坐标为 5, 则 f (5) ? f / (5) = 。

解析:本题没有函数表达式,但有切线方程 y ? ? x ? 8 ,注意到“切点在切线上” , ∴P 5, ;“切点在曲线上”∴ f (5) ? 3 ; ( 3)又 , 而曲线 y ? f (x) 在点 P 处的切线斜率为 f / (5) , 即 f / (5) =-1,故 f (5) ? f / (5) =2。 [举例 3]已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ______ . 解析:本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中,使得到的一元二次方程的判别式 ? =0, 从而求出 a 的值;但这种做法只限于二次曲线,若将抛物线换成其它的非二次曲线,则此路 不通。以下用“导数”求解: “切点”是关键,记切点 P( x0 , y0 ) y / ? 2ax ,则有: ,
2 x0 ? y0 ? 1 ? 0 (切点在切线上)①; y0 ? ax0

(切点在曲线上)②

1 。 4 1 [ 巩 固 1] 已知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象在 点 M (1 f (1)) 处 的 切 线方 程 是 y ? x ? 2 , 则 , 2

2ax0 =1 (切点横坐标的导函数值为切线斜率)③;由①②③解得: a ?

f (1)? f ? (1) ____. ? (07 高考湖北文 13)

[巩固 2]点 P 是曲线 y ? x 3 ? x ?

2 上的动点,设点 P 处切线的倾斜角为? ,则 ? 的取值范 3
C、

围是 A、 0, ?

? ?? ? ? 2?

B、 0, ?

? ? ? ? 3? ? ,? ? ?? ? 2? ? 4 ? ?
3 2

? 3? ? ? 4 ,? ? ? ?

D、 ?

? ? 3? ? , ? ?2 4 ?

[巩固 3]若直线 y=x 是曲线 y=x -3x +ax 的切线,则 a=___________ 4、注意区分“求曲线 y ? f (x) 上过点 M 的切线”与 “求曲线 y ? f (x) 上在点 M 处的切线” ; 前者只要求切线过 M 点,M 点未必是切点;而后者则很明确,切点就是 M 点。 [举例]求函数 y=x3 -3x2 +x 的图象上过原点的切线方程 解析:易见 O(0,0)在函数 y=x -3x +x 的图象上,y =3x -6x+1,但 O 点未必是切点。 设 切 点 A( x0 ,y0 ) ∵ y =3x - 6x+1, ∴ 切 线 斜 率 为 3x0 - 6x0 +1, 又 切 线 过 原 点 , ∴
’ 2 2 3 2 ’ 2

k AO ?

y0 =3x0 2 -6x0 +1 即:y0 =3x03 -6x0 2 +x0 x0

① ②

又∵切点 A(x0 ,y0 )y=x3 -3x2 +x 的图象上∴y0=x0 3 -3x0 2 +x0 由①②得:x0 =0 或 x0 =

3 ,∴切线方程为:y=x 或 5x+4y=0 2

点评:一般地,过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形,且对称中 心在曲线上)的切线有且仅有一条;而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。 以下给出简单证明(不要求学生掌握) :由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称 中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为 f ( x) ? ax3 ? bx 。若 M(x1 ,y1 )是三次 曲线 f ( x) ? ax3 ? bx上的任一点,设过 M 的切线与曲线 y=f(x)相切于(x0 ,y0 ) ,则切线 方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ,因点 M 上此切线上,故 y1 ? y0 ? f ?( x0 )(x1 ? x0 ) ,又

y0 ? ax0 ? bx0 , y1 ? ax1 ? bx1 ,所以 ax1 ? bx1 ? (ax0 ? bx0 ) ? (3ax0 ? b)(x1 ? x0 ) ,
3 3 3 3 2

整理得:( x0 ? x1 ) 2 (2x0 ? x1 ) ? 0 , 解得,x0 ? x1 或 x0 ? ?

x1 。 当点 M 是对称中心即 x1 = 2

-

x1 =0 时,过点 M 作曲线的切线切点是惟一的,且为 M,故只有一条切线;当点 M 不是对称 2

中心即 x1 ? 0 时,过点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一 条就是以 M 为切点(亦即曲线在点 M 处)的切线。 [巩固] 曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 上过点 (1 ? 3) 的切线方程是 ,
3 2



答案

323 2 x?2 ,[巩固 2]A,2、[巩固 1] F ?( x) ? 1 ? ? ,x ? 0 ;[巩固 2]B; 27 x x 13 3、[巩固 1] 3,[巩固 2]B,[巩固 3]1 或 ;4、[巩固] 5 x ? y ? 2 ? 0 ,或 21x ? 4 y ? 9 ? 0 4
1.[巩固 1]


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