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崇义中学2009年下学期高二数学竞赛试题


崇义中学 2009 年下学期高二数学竞赛试题
一.选择题(每小题 5 分共 60 分) 1、|x|≤2 的必要但不充分条件是 A、|x+1|≤3 B、|x+1|≤2 C、|x+1|≤1 2、函数 f ( x) ?| log 1 ( x ? 1) | 的单调递减区间为
2

( ) D、|x-1|≤1 ( ) D、 (1, ?) ( )

/>
A、 (0,2] 3、函数 y ?
1 1 A、 [? , ] 2 2

B、 (1,2]
x ?1 的值域是 x

C、 (?1,0]

B、 [0,1]

1 C、 [0, ] 2

D、 ?0,??? ( D、
2 61

4、数列 ?an ? 中, an ?1 ? A、
2 55

an , a1 ? 2 ,则 a10 ? 1 ? 3an

)

B、

? , x ∈R) 2 的部分图象如图所示,则函数表达式为 ( ) ? ? ? ? A. y ? ?4sin( x ? ) B. y ? ?4sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? C. y ? 4sin( x ? ) D. y ? 4sin( x ? ) 8 4 8 4
5.函数 y ? Asin(? x ? ? ) ( ? >0,| ? |<

2 19

C、

2 49

y
4

-2
O 6

x

-4

6. 《中华人民共和国个人所得税法》 规定, 公民全月工资、 薪金所得不超过1600 元的部分不必纳税,超过1600元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表 分段累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ·· · 税率 5% 10% 15% ·· · )

某人 1 月份应缴纳此项税款 82.5 元, 则他的当月工资、薪金所得介于( A.1600~1900 元 B.1900~2200 元
1

C.2200~2500 元

D.2500~2800 元

7、设 f (x) 是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 。当 0≤x≤1 时,
f ( x) ? x ,则 f (23.5) ?

( C、1.5 D、-1.5



A、0.5

B、-0.5

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1A1 ,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足为点 H, 则下列命题中,错误的是 .. A.点 H 是 ? A1BD 的垂心 B. AH ? 平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 , D.直线 AH 和 BB1 ,所成角为 450 9.椭圆
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2





? a ? b ? 0 ? 的中心,右焦点,右顶点,右准线与 x 轴的交点
FG OH

依次为 O, F , G, H ,则
A. 1 , 2 B.

的最大值为

( 不能确定. ( D.3

).

1 1 , C. , 3 4 1 10、函数 f ( x) ? log 2 x ? x ? 2 的零点个数为 2

D.



A.0

B.1

C.2

11、已知两点 M(-5,0) ,N(5,0) ,给出下列直线方程: ① 5x-3y=0 ② 5x-3y-30=0 ③ x-y=0 ④ 4x-y+5=0 ( )

在上述四条直线上,存在点 P 满足|MP|=|NP|+6 的是 A、②③ B、②④ C、①③

D、①②③ )

12.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 成立 ( A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ?
1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

2

二.填空题(每小题 4 分共 16 分)
x2 y2 4 13、若双曲线 ? ? 1 的一条准线方程是 y ? ? ,则 m 的值为 m?4 4 3



14.数列 ?an ? 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 1 (a n ? ) ,则 a n =______. 2 an

15. x, y 为实数,满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 x 2 ? 2 xy ? y 2 的最大值为

.

16 . 对 于 在 区 间 [m, n] 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f (x) 与 g (x) , 如 果 对 于 任 意
x ? [m, n] ,均有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,则称 f (x) 与 g (x) 在 [m, n] 上是接近的. 若函

数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 与函数 y ? 3x ? 2 在区间 [m, n] 上是接近的,给出如下区间
3 ④ [1, ] ? [3,4] ,则区间 [m, n] 可以 2 是 .(把你认为正确的序号都填上) 三.解答题(6 小题共 74 分) ? ? 17.(12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a(a ? R, a为常数). 6 6

①[1,4]

②[1,3]

③[1,2]∪[3,4]

(1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递减区间; (3)若 x ? [0, ]时, f ( x)的最小值为 ? 2, 求a的值. 2

?

18、 (本小题 12 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 4, P PD⊥平面 ABCD,PD=6,M、N 分别是 PB、AB 的中点。 ⑴求证:MN⊥CD; ⑵求三棱锥 P-DMN 的体积; ⑶求二面角 M-DN-C 大小。
C

M

B N A

D

3

19(本小题 12 分)某厂家拟在 2006 年举行促销活动,经调查测算,该产品的 k 年销售量 (即该厂的年产量) 万件与年促销费用 m 万元 m ? 0)满足x ? 3 ? x ( m ?1 (k 为常数)如果不搞促销活动, , 则该产品的年销售量只能是 1 万件。 已知 2006 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元, 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括 固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) . (1)将 2006 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2006 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 20、 (本小题 12 分) 等差数列 ?an ? 中, 公差为 d,a4 ? 84 , n 项和为 S n , S10 前 且 >0, S11 <0。 ⑴求 d 的取值范围; ⑵求使得 a n <0 的最小自然数 n 的值; ⑶设集合 ?S1 , S 2 , S 3 ,?, S n ,??中,元素的最大值为 M,求 M 的取值范围。 21、 本小题 12 分) ( 如图, A 1, 3 ) 点( 为椭圆
x2 y2 ? ?1 2 n

y
B A C O

上一定点,过点 A 引两直线与椭圆分别交于 B、C 两点, 若直线 AB、AC 与 x 轴围成以点 A 为顶点的等腰三角形, 求直线 BC 的斜率,并求出在什么条件下,可使△ABC 的 面积最大?最大值是多少?

x

22. (本小题 14 分)设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件: ①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m ? 时,就有
f ( x ? t ) ? x 成立。

4

崇义中学 2009 年下学期高二数学竞赛试题参考答案
一.选择题(每小题 5 分共 60 分) ABCAB DBDCC AC

二.填空题(每小题 4 分共 16 分) 13.-9 14. n ? n ? 1 15. 2 16.③ ④

三.解答题(6 小题共 74 分) 17.解 (1)f ( x) ? 2 sin 2 x cos
? cos 2 x ? a ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? 2 sin(2 x ? ) ? a 6 6 2? ………………4 分 ? f ( x)的最小正周期T ? ?? 2 ? ? 3? ? 2? (2)当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 即k? ? ? x ? k? ? (k ? Z )时,函数f ( x) 2 6 2 6 3 ? 2? 单调递减,故所求区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) ………………8 分 6 3 ? ? ? 7? ? (3) x ? [0, ]时,2 x ? ? [ , ] ? x ? 时 2 6 6 6 2

?

?

f ( x)取得最小值? 2 sin(2 ?

?

2

?

?

6

) ? a ? ?2. ? a ? ?1. ………………12 分

18. ⑴证明:连结 PA∵

PD⊥平面 ABCD

CD⊥AD
P M

∴ PA⊥CD(三垂线定理)………………2 分 ∵ M、N 分别是 PB、AB 的中点 ∴ MN∥PA ∴ MN⊥CD ………………4 分 MO∥PD

C O D E N A

B

⑵解:设 AC、BD 交于点 O∵ ∴

1 MO⊥底面 ABCD,且 MO= PD=3 2

∵ M 是 PB 的中点 ∴ ∴
S ?PMD ? S ?BMD



VP ? DMN ? VN ? PMD ? VN ? BMD ? VM ? BDN

1 1 VP ?DMN ? ? ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 3 2

………………8 分

5

⑶过点 O 作 DN 的垂线 OE,垂足为 E,连结 ME。 ∵ MO⊥平面 ABCD ∴ ME⊥DN

∴ ∠MEO 就是二面角 M-DN-C 的平面角。………………9 分 ∵ △MOE 中,∠MOE=90°,MO=3,OE= ∴
tan ?MEO ? 3 5 2 3 5。 2
2 5

………………11 分 ………………12 分

即二面角 M-DN-C 的大小为 arctan

19. 解(1)由题意可知当 m ? 0 时, x ? 1 (万件)
?1 ? 3 ? k 即 k ? 2 ,
?x ? 3? 2 m ?1

………………………………2 分

每件产品的销售价格为 1.5 ?

8 ? 16 x (元) ,………3 分 x

∴2004 年的利润 y ? x[1.5 ?

8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m) ……………4 分 x 2 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? )?m m ?1 16 ……………6 分 ? ?[ ? (m ? 1)] ? 29(m ? 0) m ?1

(2)? m ? 0时,

16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 , m ?1

……………8 分

? y ? ?8 ? 29 ? 21,当且仅当

16 ? m ? 1 ? m ? 3(万元)时, y max ? 21 (万元)……11 分 m ?1

答:该厂家 2006 年的促销费用投入 3 万元时,利润最大,为 21 万元。…12 分
? ?a1 ? 3d ? 84 ? 10 ? 9 ? d>0 ?10 a1 ? 2 ? 11 ?10 ? ?11a1 ? 2 d<0 ?

20.解:⑴由

………………2 分

解之得 -56<d<-42
6

………………4 分

⑵ ∵ ∵ ∵ ∴

(a1 ? a11 ) ?11 ∴ ? 11a6<0 2 (a ? a ) ?10 S10 ? 1 10 ? 5(a5 ? a6 )>0 2 S11 ?

a6<0 ………………5 分



a5>0 ………………6 分

d<0



a n 随 n 增大而减小

使 an<0 的最小自然数的 n 为 6。

………………8 分

⑶ 由⑵可知,在 S1 , S 2 , S 3 ,?, S n ,? 中, S 5 最大。………………9 分
S5 ? 5a1 ? 10d ? 4 2 ? 5d 0

………………10 分 210<-5d<280

∵ ∴

-56<d<-42 630< S 5 <700

即 M 的取值范围为(630,700) 。 21.解:把点 A(1, 3 )代入
x2 y2 ? ? 1 得 n=6 2 n

………………12 分 ………………2 分

显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直, 因此其斜率必存在,
? y ? 3 ? k1 ( x ? 1) ? 设 两 腰 的 斜 率 分 别 为 k1 、 k 2 , 由 ? x 2 y 2 得点 B 的横坐标为 ?1 ? ? 6 ?2
x ? 1? 6 ? 2 3k1 ( x ? 1 为点 A 的横坐标) , k12 ? 3

2 3k12 ? 6k1 6 ? 2 3k1 2 3k12 ? 6k1 , 3? ) 。…4 分 ∴点 B 的纵坐标为 y ? 3 ? ,即 B(1 ? 2 k12 ? 3 k1 ? 3 k12 ? 3

同理可得点 C 的坐标为 C (1 ? ∵
k1 ? k2 ? 0

2 6 ? 2 3k 2 2 3k 2 ? 6k 2 , 3? ) 2 2 k2 ? 3 k2 ? 3

………………6 分 ……………8 分



直线 BC 的斜率为 k BC ? 3

7

x2 y2 设 直 线 BC 的 方 程 为 y ? 3x ? m , 代 入 方 程 ? ?1 得 2 6
6 x 2 ? 2 3mx ? m2 ? 6 ? 0 ,∴

| BC |?

2 3 12 ? m 2 3

………………9 分

又点 A 到直线 BC 的距离为 d ? ∴
S?

|m| 2

1 3 3 | BC | ?d ? m 2 (12 ? m 2 ) ? ? (m 2 ? 6) 2 ? 36 …………10 分 2 6 6

∴ 当 m2 ? 6 ,即 m ? 6 或 m ? ? 6 时,△ABC 面积取得最大值为 3 。 此时,直线 BC 的方程为 y ? 3 x ? 6 ,易知此时 BC∥OA(O 为原点) ,B、 C 两点恰好分别是长、短轴的端点。 22.解: (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1, 故 f(1)=1 …………………………3 分 ………………12 分

(2)由①知二次函数的关于直线 x=-1 对称,且开口向上 故设此二次函数为 f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a= ∴f(x)=
1 (x+1)2 4 1 4

…………………………7 分

(3)假设存在 t∈R,只需 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. f(x+t)≤x ?
1 (x+t+1)2≤x ? x2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0. 4

令 g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].
? ? g (1) ? 0 ? ?4 ? t ? 0 ?? ? ? g ( m) ? 0 ?1 ? t ? 2 ?t ? m ? 1 ? t ? 2 ?t ?

∴m≤1-t+2 ? t ≤1-(-4)+2 ? (?4) =9 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9] 恒有 g(x)≤0, ∴m 的最大值为 9. ………… 14 分

8


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