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2.求导数法则


高等数学
吉林大学数学学院 杨 泰 山

1

§2 求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公 式
2

一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数 u ? u( x )

和 v ? v ( x ) 都在点 x 处

可导, 那么它们的和、差、积 、商(除分母为零的 点外) 都在点 x 处可导, 并且 (1) [u( x ) ? v( x )]? ? u?( x ) ? v?( x );

( 2) [u( x ) ? v( x )]? ? u?( x )v( x ) ? u( x )v?( x ); ? ? u( x ) ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v?( x ) ( 3) ? ? ( v ( x ) ? 0 ). 2 ? v ( x ) v ( x) ? ?
3



(1) [u( x ) ? v ( x )]?

[u( x ? ?x ) ? v ( x ? ?x )] ? [u( x ) ? v ( x )] ? lim ?x ? 0 ?x u( x ? ?x ) ? u( x ) v ( x ? ?x ) ? v ( x ) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x
? u?( x ) ? v?( x );

简写为 ( u ? v )? ? u? ? v?
4

由于?u ? u( x ? ?x ) ? u( x ) ?v ? v ( x ? ?x ) ? v ( x ) 所以u( x ? ?x ) ? ?u ? u( x ) v ( x ? ?x ) ? ? v ? v ( x )

5

( 2) [u( x ) ? v ( x )]? u( x ? ?x )v ( x ? ?x ) ? u( x )v ( x ) ? lim ?x ? 0 ?x [u( x ) ? ?u)][v ( x ) ? ?v )] ? u( x )v ( x ) ? li m ?x ? 0 ?x u( x )?v ? v ( x )?u ? ?u?v ? li m ?x ? 0 ?x ?v ?u ? ? ?u ? li m? v( x ) ? u( x ) ? ?v ? ?x ? 0 ? x ?x ?x ? ? ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x )
6

? u( x ) ? ( 3) ? ? v ( x ) ? ?

?

u( x ? ?x ) u( x ) ? v ( x ? ? x ) v ( x ) ? lim ?x ? 0 ?x

u( x ? ?x )v ( x ) ? u( x )v ( x ? ?x ) ? lim ?x ? 0 v ( x ? ?x )v ( x )?x

7

[u( x ) ? ?u]v ( x ) ? u( x )[v ( x ) ? ?v ] ? lim ?x ? 0 v ( x ? ?x )v ( x )?x ?uv ( x ) ? u( x )?v ? lim ?x ? 0 v ( x ? ?x )v ( x )?x 1 ?v ? ?u ? ? lim ? ? v( x ) ? u( x )? ?x ? 0 v ( x ? ?x )v ( x ) ?x ? ?x ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ) ? 2 v ( x) ? ? u ? u?v ? uv? 简写为 ? ? ? 2 v ?v?

8

推论 (1) [? f i ( x )]? ? ? f i?( x );
i ?1 i ?1

n

n

( 2) [Cf ( x )]? ? Cf ?( x );
( 3) [?
i ?1 n

? ? f i ( x )] ? f1 ( x ) f 2 ( x )? f n ( x ) ? ? ? f1 ( x ) f 2 ( x )? f n?( x )

(4)当v( x )可导且v ( x ) ? 0时有 ? ? 1 ? v ?( x ) ? v( x ) ? ? ? v 2 ( x ) ? ?

9

sin a 例1 求 y ? x ? ln x ? 的导数及y? x ? sin a ? ? 解 y? ? ( x ? ln x )? ? ? ? ? x ?

x ?1

.

?1? ? ( x )? ln x ? x(ln x )? ? sin a ? ? ? x? sin a ? ln x ? 1 ? 2 x y? x ?1 ? 1 ? sin a

?

10

例2 求 y ? tan x 的导数 . ? sin x ? ? 解 y? ? (tan x )? ? ? ? ? cos x ? (sin x )? cos x ? sin x(cos x )? ? cos 2 x 2 2 cos x ? sin x 1 2 ? ? ? sec x. 2 2 cos x cos x



(tan x )? ? sec2 x.
11

2 ? 同理可得 (cot x ) ? ? csc x.

例3 求 y ? sec x 的导数 .

1 ? ? ? 解 y? ? (sec x )? ? ? ? cos x ? ? (cos x )? sin x ? sec x tan x . ? ? 2 cos x cos 2 x 即 (sec x )? ? sec x tan x .
同理可得 (csc x )? ? ? csc x cot x .

?

12

ln x 在点( 1, 1 )处的切线方程. 例 4 求y ? x ? x 1 ? ln x , 解 y? ? 2 x ? 2 x 所以k ? y? x ?1 ? 3
2

故所求切线为 y ? 1 ? 3( x ? 1) 即y ? 3 x ? 2

13

x si n x 的导数. 例 5 求y ? 1 ? cos x ? x sin x ? ? 解 y? ? ? ? ? 1 ? cos x ? ( x sin x )?(1 ? cos x ) ? x sin x(1 ? cos x )? ? (1 ? cos x ) 2

(sinx ? x cos x )(1 ? cos x ) ? x si n x( ? si n x ) ? 2 (1 ? cos x ) x ? si n x ? (1 ? cos x )
14

例6 设f ( t ) ? 1 ? t ,求f ?(9). 1? t ? ? ? 1 ? t 解 f ?( t ) ? ? ? ? 1? t ? ? ?

(1 ? t )?(1 ? t ) ? (1 ? t )(1 ? t )? ? 2 (1 ? t ) 1 ? ? (1 ? t ) ? (1 ? t )? ? ? 2 t 2 t? ? ? (1 ? t ) 2 1
15

?

1 2 t (1 ? t )

1 所以 f ?(9) ? 12

16

二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x ? f ( y )在区间I y 内单调、可
?1 ? 导且 f ( y ) ? 0 , 则它的反函数 y ? f ( x )在区间

I x ? { x | x ? f ( y ), y ? I y }内也可导 , 且有 1 [ f ( x )]? ? 或 f ?( y )
?1

dy 1 ? . dx dx dy

即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
17

任取x ? I x , 给x以增量 ?x ( ?x ? 0, x ? ?x ? I x ) ?1 由y ? f ( x )的单调性可知 ?y ? 0, ?y 1 ? , 因为 y ? f ?1 ( x )连续, 于是有 ?x ?x ?y 所以 ?y ? 0 ( ?x ? 0), 1 1 ? y ?1 ? . 于是 [ f ( x )]? ? l im ? lim ?y ? 0 ? x f ?( y ) ?x ? 0 ? x ?y
18



求函数 y ? arcsin x 的导数. ? ? ?? 解 因为 x ? sin y 在 I y ? ? ? , ? 内单调、可导, ? 2 2? 且 (sin y )? ? cos y ? 0, 所以在 I x ? (?1,1)内有
例7

1 1 1 ? 1 ? ? . (arcsin x )? ? 2 2 cos y 1 ? x 1 ? sin y (sin y )?
同理可得 (arccos x )? ? ?

1 1? x
2

.
19

例8 求函数 y ? arctanx 的导数.

π π? ? 解 因为 x ? tan y 在 y ? ? ? , ? 内单调、可导, ? 2 2? 2 ? 且 (tan y) ? sec y ? 0, 所以有
1 1 1 1 (arctanx )? ? ? ? ? 2 2 2 ? (tan y ) se c y 1 ? tan y 1 ? x 1 (arctan x )? ? ; 2 1? x 1 . 同理可得 (arc cot x )? ? ? 2 1? x
20

x 求函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的导数. 例9 解 x 由于y ? a (a ? 0, a ? 1)是x ? l oga y的反函数,

1 而x ? l oga y是单调可导的,且(l oga y )? ? , y l na 所以 1 x x ? (a ) ? ? y lna ? a lna . (loga y )?

特殊地当a ? e 时

(e )? ? e .
x x
21

例10

求函数 y ? x ln x ? (1 ? x 2 ) arctan x 的导数.


y? ? [ x ln x ? (1 ? x ) arctan x]?
2 2 ? ? [ x ln x] ? [(1 ? x ) arctan x]?

1 1 2 ? ln x ? x ? ? 2 x arctan x? (1 ? x ) ? 2 1? x x

? ln x ? 2 x arctan x.

22

arcsi nx 例11 求函数 y ? 的导数. x ? arcsi nx ? 解 y? ? ? ? ? x ? ? x ? arcsi nx 2 1 ? x ? x2 1 arcsi nx ? ? 2 2 x x 1? x
23

三、复合函数的求导法则
定理3 如果 u ? g ( x ) 在点 x 可导, 而 y ? f ( u) 在

点 u ? g ( x ) 可导, 则复合函数 y ? f [ g ( x )] 在点 x 可导, 且其导数为 dy dy dy du ? f ?( u ) ? g ?( x ) 或 ? ? . dx dx du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间 变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链 式法则)
24

证明 ?y 由 y ? f ( u) 在点 u 可导, 所以 lim ? f ?( u), ?u ? 0 ? u ?y 故 ? f ?( u) ? ? ( lim ? ? 0), ?u? 0 ?u 则 ?y ? f ?( u)?u ? ??u, ?y ?u ?u ? ? 所以 lim ? lim ? f ?( u) ?? ? ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ? ?x ?x ? ?u ?u ? f ?( u) lim ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? 0 ? x

? f ?( u) g?( x ).

g?( x )

0
25

推广 设 y ? f ( u), u ? ? (v ), v ? ? ( x ),

则复合函数 y ? f {? [? ( x )]}的导数为 d y dy du d v ? ? ? dx d u dv dx
例11 求函数 y ? ln sin x 的导数. 解

因为 y ? ln u, u ? sin x ,

cos x dy dy du 1 所以 ? ? ? ?cos x ? ? cot x . dx du dx u sin x
26

( x )? ? ?x 例12 证明导数公式:
?

? ?1

( x ? 0).

证明 记y ? x ,由于 y? x ?e
? ? ln x

?

令u ? ? ln x , 则有y ? e u dy dy du ? u ? (x ) ? ? ? ? e ? ( ? ln x )? dx du dx 1 ? ? ?1 ? x ?? ? ?? x . x
27

例13 求下列函数的导数:

(1) y ? sin x; ( 2) y ? 1 ? x ;
2 2

( 3) y ? e

? x2

;

(4) y ? sin(ln( 1 ? x )).
2

解 (1) 令y ? u , u ? sin x,则有
2

dy dy du ? ? ? 2u ? cos x ? sin2 x . dx du dx
( 2) 令y ? u , u ? 1 ? x ,则有 dy dy d u 1 x ? ? ? 2x ? . 2 dx du d x 2 u 1? x
2

28

( 3) 令y ? e , u ? ? x ,则有
u 2

dy dy du u ? x2 ? ? ? e ? ( ?2 x ) ? ?2 xe . dx du dx 2 (4) 令y ? si nu, u ? l n v , v ? 1 ? x ,则有 dy dy du dv ? ? dx du dv dx 1 ? cos u ? ? 2 x v 2 2 x cos(l n1 ( ? x )) ? . 2 1? x
29

例14 求函数 y ? ln(x ? a 2 ? x 2 )的导数. 解

y? ? [l n (x ? a 2 ? x 2 )]? ? ? ? ( x ? a 2 ? x 2 )? x ? a2 ? x2 1 x? a ? x
2 2

? 2x ?1 ? 2 2 ? 2 a ?x ?

? ? ? ?

1 a ?x
2 2
30

例15 求函数 y ? ( 1 ? 2 x ) 的导数. 1 ? 2 ? ? ? 1 3 3 3 3 3 解 y? ? ( 1 ? 2x ) ( 1 ? 2 x )? ? 1 ? 2x ) ? ? ( 3 ? ?

1 3 3

1 3 ? ( 1 ? 2x ) 3

?

2 3

? ( ?6 x ) ?
2
1 sin x

? 2x
3

2 3 2

(1 ? 2 x )

例16 求函数 y ? e


的导数 . 1 ? 1 ? sin ? sin 1 ? 1 1 ? ? x x ? y ? e ? sin ? ? e ? cos ? ? ? x? ? x ? x? 1 sin 1 1 x ?? 2e ? cos . x x

31

例17 求下列函数的导数: x ? 1 (1) y ? arccos ; ( 2) y ? e 2 cos4 x; x

arctan x ( 3) y ? . 2 1? x ? 1? ? 解 (1) y? ? ? arccos ? ? ? x? ?

?1? ?? ? 1 ? x? 1? 2 x 1 1 ? 1 ? ?? ??? 2 ? ? ; 1 ? x ? x x2 ? 1 1? 2 x 1

?

32

( 2 ) y ? ? (e

?

x 2

)? cos4 x ? e (cos4 x )?
? x 2 ? x 2

?

x 2

1 ? ? e cos4 x ? 4e sin4 x 2 x ? 1 2 ? ? e (cos4 x ? 8 sin4 x ); 2

33

2 2 ? (arctan x ) (1 ? x ) ? arctan x (1 ? x )? ( 3) y ? ? (1 ? x 2 ) 2

1 1 2 ? (1 ? x ) ? 2 xarctan x 1? x 2 x ? (1 ? x 2 ) 2 1 2 xarctan x ? ? 2 2 2 (1 ? x ) 2 x (1 ? x )(1 ? x )

34

x 2 a x 2 a ? x ? arcsin 的导数 . 例18 求函数 y ? 2 2 a ? ( a ? 0) ? 2 ?a ? x x ? 2 2? 解 y? ? ? a ? x ? ?? arcsin ? ? ? 2 2 a ? ? ? ? ? 2 a 1 x? x 1 2 ? 2 2 2 ? ? a ? x ? ? ( a ? x )?? ? 2 ? ? 2 2 2 ? x? ? a ? 1?? ? 2 ?a? a 1 2 x ( ?2 x ) 2 ? a ?x ? ? ? 2 2 2 a2 ? x2 2 a2 ? x2 2 2 1 2 1 x a 2 2 2 ? a ?x ? ? 2 ? ? a ? x . 2 2 a ? x2 2 a2 ? x2 35

2

例19 设f ( x )在(??,??)内可导,求下列函数的 导数:

(1) y ? f (e ) ? e
x

f ( x)

; (2) y ? f (sin x ) ? f (cos x )
2 2



(1) y? ? [ f (e x )]? ? [e f ( x ) ]?
x x f ( x) ? ? ? f (e )e ? f ( x )e ; 2 2 ? ? ( 2) y ? [ f (sin x )] ? [ f (cos x )]? 2 ? f ?(sin2 x )(sin x )? ? f ?(cos2 x )(cos2 x )? 2 2 ? ? ? sin2 x[ f (sin x ) ? f (cos x )]
36

四、基本求导法则与导数公式
1. 常数和基本初等函数的导数公式 ? ? ?1 ? ( x ) ? ?x , (C )? ? 0,
(sin x )? ? cos x , (tan x )? ? sec2 x , (sec x )? ? sec x tan x , x x (a )? ? a ln a ,
(cos x )? ? ? sin x , (cot x )? ? ? csc2 x , (csc x )? ? ? csc x cot x ,
x ? (e ) ? e , 1 (ln x )? ? , x x

1 (log a x )? ? , x ln a

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1 1 ? (arcsin x ) ? , (arccos x )? ? ? , 2 1? x 1 ? x2 1 1 (arctan x )? ? , (arc cot x )? ? ? . 2 2 1? x 1? x

2. 函数的和、差、积、商的求导法则

设 u ? u( x ), v ? v( x ) 都可导, 则 (1) (u ? v )? ? u? ? v?, (2) (Cu)? ? Cu? (C是常数), ? u ? u?v ? uv ? ? (3) ( uv )? ? u?v ? uv ?, (4) ? ? ? (v ? 0). 2 v ?v?
38

3. 反函数的求导法则
如果函数 x ? f ( y )在区间I y 内单调、可导
?1 ? 且 f ( y ) ? 0 , 则它的反函数 y ? f ( x ) 在区间

I x ? { x | x ? f ( y ), y ? I y }内也可导 , 且有 1 [ f ( x )]? ? 或 f ?( y )
?1

dy 1 ? . dx dx dy

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4. 复合函数的求导法则

如果 u ? g ( x ) 在点 x 可导, 而 y ? f ( u) 在 点 u ? g ( x ) 可导, 则复合函数 y ? f [ g ( x )] 在点 x 可导, 且其导数为 dy dy dy du ? f ?( u ) ? g ?( x ) 或 ? ? . dx dx du dx
利用上述公式及法则,初等函数求导 问题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.
40

5. 双曲函数与反双曲函数的导数
(shx )? ? chx , (chx )? ? shx , 1 1 (arshx )? ? , (thx )? ? 2 , 2 ch x 1? x 1 1 (archx )? ? , (arthx )? ? . 2 2 x ?1 1? x ? 1 x 1 x ? ?x ? 证 (shx )? ? (e ? e ) ? (e ? e ? x ) ? chx . ? ? 2 ? ? 2 ? 1 1 x x ?x ? ?x ? (chx )? ? ? (e ? e )? ? (e ? e ) ? shx . ?2 ? 2 41

? 2 2 sh x ch x ? sh x 1 ? ? (thx )? ? ? ? 2 . ?? 2 ? chx ? ch x ch x

? ( x ? 1 ? x ) (arshx )? ? [ln( x ? 1 ? x )]? ? 2 x ? 1? x 1 x ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? . 2 2 2 x ? 1? x ? 1? x ? 1? x 1 2 x ? ( 1 , ?? ). (archx )? ? [ln( x ? x ? 1)]?? 2 x ?1 ? 1 1 ? x? 1 ? (arthx )? ? ? ln ? x ? ( ?1,1). 2 ? ?2 1 ? x ? 1 ? x
2

2

42

94页(B)-6. 设

f ( x ) ? x ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100), 求 f ?(0).
解: 方法1 利用导数定义. f ( x ) ? f ( 0) f ?(0) ? lim x ?0 x?0 ? lim ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100) ? 100!
x ?0

方法2 利用求导公式.

f ?( x ) ? ( x )?

?x
所以 f ?(0) ? 100 !
43


求导基本法则和公式

求导公式求导法则求 出. 可以推出下表列出的公式: (shx )′ = chx (chx )′ = shx (thx )′ = 1 ch 2 x (arshx)′ = 1 1+ x 2 (archx)′...

2-2和差求导法则

2-2和差求导法则 高等数学高等数学隐藏>> ·复习 导数的定义,由定义求导数的方法. ·引入 前面我们复习了根据导数定义求函数的导数的方法.但是如 果对每一个函...

求导法则及求导公式

? .利用导数的四则运算法则求导数举例: 1. f ( x ) = x 2 + sin x ; 3. f ( x ) = 2 x 2 ; 5. f ( x ) = x sin x + 7 x ; 7...

2-4导数的四则运算法则

2 tan x ? 三、 能力反馈部分 (考查学生对导数四则运算法则的掌握情况) 1、 y ? 5x 3 ? x ? 3x 2 ? 2 ,求y? (一级) (一级) (一级) 2、 ...

2-2导数的概念及基本求导公式

模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 微分学 导数的概念及基本求导 公式 极限知识内容 二级模块名称 模块编号 模块编号 教学要求 基础模块 2-2 1-5...

2-6复合函数的求导法则(链式法则)

了解复合函数的求 导法则的证明 2、掌握复合函数的求 导法则(链式法则) 计算模块 2-6 2-4 1-2 掌握程度 熟练掌握 一、正文编写思路及特点思路:先让学生犯错...

3.2 求导数的公式与法则

D. 例 3.2.2 求 的导数. 提示>> 解 = = =例 3.2.3 解 . ,求. 于是 三、反函数的求导法则反函数的求导法则可简记为:反函数的导数等于其直接函数...

一般常用求导公式

双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数, 它们的导数都可以用前面的求导公式求导 法则求出. 可以推出下表列出的公式: 1 ch x 2 ...

高等数学知识补充 2.2函数的求导法则

高等数学知识补充 2.2函数的求导法则_理学_高等教育_教育专区。本 2.1 函数的求导法则 在这里补充一下分段函数在分段点处导数的简便求法. 1/4 补充一个求反...

2.2求导法则

2.2 求导法则 教学目的:掌握导数的四则运算法则,掌握基本初等函数的求导公式,会求反函数的导数, 掌握复合函数的求导法则,熟练复合函数的求导方法. 了解高阶导数的...