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“阿波罗尼斯圆”高考现身

时间:2014-07-14


2 0 1 2年 第 2期 

数 学 基 础 精 讲 

《 数理天地 》 高 中版 

‘ ●   阿波罗尼斯 圆"高 考 现 身 
袁玉芹 ( 江苏省泰州市海陵区沈毅中学 2 2 5 3 O 0 )  
阿波 罗 尼 斯 ( 希 腊, A p o l l o n i u s   o f  P e

r g a ,  
设 A( z, 1  ) , 由 AB 一 2 AD , 得 

2 6 o ——1 9 o B . c ) 是 亚历 山大时期 的著 名 数学 家 ,  
“ 阿波罗 尼斯 圆”是他 的 主要研 究成 果之 一 :  
平 面 上 一 点 P 到 两 个 定 点 A、 B的 距 离之 比 

( 卅   )   w= = 4 [ ( z 一 , /   g )   w 
化 简 , 得( z 一 半)   +  一 - 4 3 ,   即 A 点 的 轨 迹 为 以 点 (  , o ) 为 圆 心 , √ ÷ 为  
半 径 的 圆 , 因 为 圆 心 (  , 0 ) 在 直 线 肋上 , 圆  
上 点 A 到 BD 的最大 距离 即为圆 的半径  n   ,  
√3  

满 足 嚣一   (   > 。 且   ≠ 1 ) , 则 P 点 的 轨 迹 是 圆 .  
例 1   求满足条件 : A B  


2 , A C 一√ 2 B C 的 △A BC  


面 积 的 最 大值 .  
( 2 0 0 8年 江 苏卷 )  

A/   1 D 

解  以 A B 所 在 直 线 为  z轴 , 线 段 AB 的中点 为坐 标 
因 为 
所 以 
图 1  

所以 S △ A B 。的最 大值 为 

原点 , 建 立如 图 1 所 示 的平 面直 角坐标 系 ,  
AB 一 2 ,  
A( 一1 , 0 ) , B( 1 , O ) ,  

丢 肋?   一  ×  × 去  
故  △AB C 面积 的最大 值为 2 .   例 3   在 AAB C 中, AB 一 2 AC, A D 是 
( 1 )求 k的 取 值 范 围 ;  
( 2 )若 AABC 的 面 积 为 1 , 问 k为 何 值 时  BC 最 短 ?  
( 2 0 1 1年 同济 大 学等 九 所 高校 自主 招 生试 题 )  

设 C ( x,  ) , 由A C一, / g B C, 得 


化简 , 得 

一  

二 可

(   ≠o ) ,  

A 的平分 线 , 且 AD 一 是?AC.  

(  一 3 )  + Y 。一 8 ,  

所 以 

Y  ≤ 8 , Y≤ 2 √ 2 .  

又点 c的轨迹是 以( 3 , o ) 为圆心 , 2   为半径 的圆 ,  
因为 圆心 ( 3 , 0 )在 直 线 A B上, 圆 上 的 点 C 到 

解  ( 1 )以 B C 所在 直 线 为 z轴 , B C 的 中  点 0 为 坐标原 点 , 建 立 如 图 3所示 的直 角 坐标  系, 不妨设 点 B( -3 a , O ) , C ( 3 a , O ) , A( z,  ) , 其  中 a> 0 , 则 由条 件 , 得 
/  
B D 

AB 的最 大距 离 即为半 径 2 √ 2 ,  
所 以 AA BC 的面积 的最大 值是 
1   一   一 

÷ ×2× 2   4 2— 2 √ 2 .  
例 2   已知 等腰 三 角形 腰 
l  



上 的 中线 长 为√ 3 , 求 该 三 角 形 
面积 的最 大值.  
( 2 0 1 1届 高 三 南 通 市模 拟 题 )  
/  

A 

2  

二 

干 ,  

^ \ 、一  
一  

化简 , 得 


一 

( z一 5 a ) 。 + Y 。一 1 6 a  ,  

图3  

解  如 图 2 , △A B C中, AB  


其 中 
图 2  

Y≠ 0 ,  
( z一 5 a ) 。 < 1 6 a   ,  
4 口< z一 5 a< 4 a, n< 3 2< 9 a.  

于 是 


AC, AD — DC, BD 一 √3,  

以B D 的中点 0 为原 点 , B D 所 在 直线 为 z轴 ,   建立 如 图 2所 示平 面直 角坐 标 系 ,  
因为 
所 以 

由角平 分线 定 理及  由 AD — k? AC, 得 

一2 , 得

D(  , 0 ) ,  

B D =, / g .  

B ( 一 , /   g , 0 ) 、 D ( 雩 , 0 ) .  

尼 一  

一^ 、 / /     ( x 二 而 - 丽 a ) a  ̄y a  ( T l b   4  ̄ )  
?  ? 

《 数理天地》 高 中版 

数 学 基 础 精 讲 

2 0 1 2 年第 2 期 

S i n 2 0 。 + ( 2+  ) C O s 2 0 。   ( 2+  ) c o s 2 0 。 + s i n 2 0 。   ×  

即 
又 

是   ( 2+  )一 2~  ,  
是> 0,  

2+√3  

一   —

2 一厄  

解得 

忌一 2 一 

解法 6   由解法 5 , 知 
1 0 。 + s i n 2 0 。
— ~

由( 1 )和 ( 2 ) , 得 志一 2 一  

c o s l O  ̄ + — c o s 2 0  ̄   而 
: : —


( 2 ~, / 5 ) s i n 2 0 。 +c o s 2 0 。  

由解 法 3 , 知 
s i n1 0 。上 s i n2 0 。  
— — — — — — — — —

赫 

co s

l — — — O 。    ̄ — — — — q — — - — — — — c — o — —   s ’ ’ 2 — — — 0 — —  ̄ —   ~

( 2~  ) s i n 1 0 。 + c o s 1 0 。   ( 2十  ) c o s 1 0 。 + s i n i 0 。  

( 2- -4  ̄) s i n 2 0  ̄ + c o s 2 0  ̄   2- 4 5 
— —

( 2+√ 3 ) c o s 2 0 。 +s i n 2 0 。、 2~、 /  
( 2一  ) s i n 2 0 。 + c o s 2 0 。  

一 是= 2一√3 .  
s i n 2 0  ̄ + 解法 8  i  ̄ .( 2 -4 5)


c o s 2 0  ̄


( 2 一   ) ( 2 +√  c o s 2 0 。 +( 2 一  ) s i n 2 o 。   ×   I  
一  

忌,  

( 2+ √3 ) c o s 2 0 。 + s i n 2 0 。  

c o s 2 O  + ( 2一 √ 3 ) s i n 2 O 。  


( 2- -  u / - 3 )   s i n   2 0  ̄ +  c o   s 2 0  ̄ × ( 2一 

则 

( 2 一√   ) s i n 2 0 。 +c o s 2 O 。  
一 k s i n 2 0 。 + 是 ( 2+  ) c O S 2 0 。 ,  

’  

2~  

思路 4   设元 , 方程思 想 , 曲 径 通 幽 


NP . I ( 1 ) 』 ‘ 2 一 √ 。 ) s i n 2 0 。 一k s i n 2 o 。 ,  
c o s 2 0 。=  ( 2+  ) c o s 2 O 。 ,  

解法 7   设  2


 

、  

}—

二二 二_ _

o ± 

一忌
。 

即 

k一 2一  .  

( 2+ , / 3 ) c o s ] 0  + - s i n 1 0 。  

则 

( 2 —4 5) s i n l O 。 +c o s 1 0 。  
= = = k s i n l O 。 +k ( 2+U g ) c o s l O 。 .  

或( 2 ) 』 ( 2 ~ √ 3 ) s i n 2 0 。 一k ( 2 +  ) C O S 2 0 。 ,①  
t   c o s 2 0。一 k s i n 2 0 。
.  

② 

② 代入 ① , 得

( 2 一  ) s i n 2 0 o c o s 2 O 。  

NP I ( 1 ) f ‘ 2 — 5) 4 s i n   o 。 一志 s i n 1 o 。 ,  
c o s l O 。 一k ( 2 +√   ) c o s l o 。 ,  
即   2一√ 3一 愚 ,  
1一 愚 ( 2十  ) ,  

一 是。 ( 2十  ) C O s 2 0 。 s i n2 0 。 .  

即 
又 

忌   ( 2 +  )一 2 ~  ,  
矗 > 0。  

解 得 

忌一 2一√  

解 得 

志一 2一√   .  

由( 1 )和( 2 ) , 得 志一 2 一  由解法 5 , 知 
s i nl O  ̄ + —
— —

或 ( 2 ) f  ~ √ 3 ) s i n 1 o 。 一k ( 2 +  ) c 。 s 1 0 。 , ①  
c o s l 0 。 一k s i n l O 。 .   ② 

s i n 2 0  ̄


② 代人 ① , 得

( 2 一√   ) s i n 1 0  ̄ c o s 1 0 。  

c o s l O  ̄ + — c o s 2 0  ̄ 一   砖 


( 2 一 ̄ /   ) s i n 2 0 。 +c o s 2 0 。  
.  

: = = 愚   ( 2 +√ i ) c o s 1 0  ̄ s i n 1 0 。 。  
( 上4 i -5 页 )  

k = 2一  

因为 
( z— n ) 。+ 1 6 a 。 ~ (  二  

l   y   l ≤ 4 口 ,  
a≥  1 脚   ≥ 
,  

(  一 3 a )  + 1 6 a 。一 (  一 5 a  

所 以 

√   一2 - a 2 . 2 7  
由 n < - z < 9 。 , 得志 ∈ ( o , 詈 ) .  
( 2 )由 s一   ×6 口l   I 一1 , 得 
1  

故 
此 时 

B C 的最小 值为  ,  
y一 4 a , z一 5 n。  

从 而 

k一  

从 以上几 例可 以看 出 , 在 一个 三角形 中 , 当 
含有 A B 一, U t C 这类 条件 时 , 一 般都 可 借 助 阿 
波 罗尼 斯 圆( 用解析法) 来 求解.  

。一 j - 『   ’  
?

4 ?