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湖南省十三校2015届高三第二次联考 数学(理) Word版含答案

时间:2015-05-06


湖南省 2015 届高三 十三校联考 第二次考试

数学(理)
一.选择题
2 1.集合 A ? ? x ? N x ≤ 6? , B ? x ? R x ? 3x ? 0 ,则 A I B ? (

?

?

B ) D. ?x 3 ≤ x ? 6?

A.

?3,4,5?
x

B. ?4,5,6? )

C. ?x 3 ? x ≤ 6? B. sin x ?
2

2.下列命题中,真命题是 ( D A. ?x0 ? R ,使得 e 0 ≤ 0

2 ≥ 3( x ? kπ, k ? Z ) sin x

C.函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 有两个零点

D . a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的 充 分 不 必 要 条 件

3.已知三棱柱的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,则该三棱柱的体积为( C )

A. 12 3

B. 27 3

C. 36 3

D.6 )

4. f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则( D A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 5.已知函数 f ? x ? ? cos B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数

?x
6

,集合 M ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? ,现从 M 中任取两个不同的元 ) C.

素 m, n ,则 f ? m? ? f ? n? ? 0 的概率为( A A.

5 12

B.

7 12

7 18
D )

D.

7 9

6.运行如右图所示的程序框图,则输出的结果 S 为( A.1008 B.2015 C.1007 D. ?1007

-1-

7.已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,点 P(m,0) ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点 Q ,使得

? OQP

90o ,则实数 m 的取值范围是(

B

) (B) (4, + (D) (8, +

(A) (4,8) (C) (0, 4)

)

)

? f ( x), f ( x) ? p 8. 设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义, 对于任一给定的正数 p , 定义函数 f p ( x) ? ? , ? p, f ( x ) ? p

则称函数 f p ( x) 为 f ( x) 的“ p 界函数”若给定函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1, p ? 2 ,则下列结论不成 立的是( B ) A. f p ? f (0)? ? f f p (0)

C. f p f p (2) ? f ? f (2)?
2

?

?

?

?
1 e

B. f p ? f (1)? ? f f p (1)

D. f p f p (3) ? f ? f (3)?

?

?

?

?

9. 已知函数 g ( x ) ? a ? x ( ? x ? e, e 为自然对数的底数 ) 与 h( x ) ? 2ln x 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( B )

1 A. [1, 2 ? 2] e

B. [1, e2 ? 2]

C. [

1 ? 2, e 2 ? 2] e2

D. [e2 ? 2, ??)
y

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为坐 a 2 b2 标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P, Q .若
10.如图,已知双曲线 C :

Q O P A x

?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为( B
2 3 A. 3
二.填空题 (一)选做题

)

7 B. 2

39 C. 6

D. 3

( 第 10 题 图)

11. 如图,BD 是半圆 O 的直径,A 在 BD 的延长线上,AC 与半圆相切于点 E ,AC ? BC , 若 AD ? 2 3 , AE ? 6 ,则 EC ? 3 .

12.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点 P 为

?x ? t ? 直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 上一点,点 Q 为曲线 ? 1 (t 为参数)上一点,则 | PQ | 的 y ? t2 ? ? 4
-2-

最小值为

3 2 2

.

13.已知函数 f(x)=|x-k|+|x-2k|,若对任意的 x∈R,f(x)≥f(3)=f(4)都成立,则 k 的取值范围为

? 2,3?

.

(二)必做题 14. 设a ?

?

?

0

1 ? ? c o s xd ? sin x ? ?x ,则二项式 ? a x ? ? 的展开式的常数项是____-160_____. x? ?
7 5
? ?

6

?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 15.如果实数 a , b 满足条件: ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值是 2a ? b ?a ? 1 ?
? ? ? ?
? ? ? ?



| a ? b |? 2 , 16. 平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 ,a ? e ? 1 ,b ? e ? 2 , 则 a ? b 的最小值为
三.解答题

?

?

5 4

.

17. (本题满分 12 分)一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球,其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5,4 个白球编号分别为 1,2,3,4,从袋中任意取出 3 个球. (I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率; (II)记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值,求 X 的分布列与数学期望. 解:(I)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A, “取出的 3 个球中恰有两个球编号相同” 为事件 B,则 P ( B) ?
1 1 C4 C7 28 1 2 ? ? ,? P ( A) ? 1 ? P ( B) ? ,??????4 分 3 C9 84 3 3

(II) X 的取值为 1,2,3,4

P ( X ? 1) ? P ( X ? 3) ?
X
p

1 2 2 1 1 2 2 1 C2 C7 ? C 2 C7 49 C2 C5 ? C2 C5 25 ? , P ( X ? 2 ) ? ? , 3 3 C9 84 C9 84 1 2 2 1 C2 C3 ? C2 C3 9 1 1 ? , P ( X ? 4) ? 3 ? . ???????8 分 3 C9 84 C9 84

所以 X 的分布列为: 1 2 3 4

25 9 1 49 84 84 84 84 49 25 9 1 130 65 X 的数学期望 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? ? . ………..12 分 84 84 84 84 84 42
18.已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x( m ? 0) 的最大值为 2. (1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间;
-3-

(2)△ABC 中, f ( A ? 且 C=60

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, 4 4

?

,c=3,求△ABC 的面积。

【解析】 (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m 2 ? 2=2 .
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) . 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2

?k ? Z? ,

π π 5π ? 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ,π ? . ? k ? Z ? . 所以 f ( x) 在 ?0,π ? 上的单调递减区间为 ? ? 4 4 ?4 ?

……………….5 分 (2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R ?
π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B . 由正弦定理,

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60

得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2

①…………………….8 分

由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② ……………….10 分 将①式代入② ,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

3 3 3 1 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去) . S?ABC ? ab sin C ? . ……………….12 分 4 2 2

19. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面 ABCD ,

O 为 AC 与 BD 的交点, E 为 PB ?BAD ? 60 , 底面 ABCD 是菱形,
上任意一点. (I)证明:平面 EAC ? 平面 PBD ; (II) 若 PD / / 平面 EAC ,并且二面角 B ? AE ? C 的大小为 45 ,求

PD : AD的值.
解:(I) 因为 PD ? 平面ABCD ,? PD ? AC , 又 ABCD 是菱形,? BD ? AC ,故 AC ? 平面 PBD ? 平面 EAC ? 平面 PBD. …….4 分 (II)解:连结 OE ,因为 PD / / 平面 EAC , 所以 PD / / OE ,所以 OE ? 平面 ABCD, 又 O 是 BD 的中点,故此时 E 为 PB 的中点, 以 O 为坐标原点,射线 OA, OB, OE 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系.
-4-

设 OB ? m, OE ? h, 则 OA ? 3m ,

A( 3m, 0, 0), B(0, m, 0), E(0, 0, h)
向量 n1 ? (0,1, 0) 为平面 AEC 的一个法向量……….8 分 设平面 ABE 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z ) , 则 n2 AB ? 0 且 n2 BE ? 0 , 即 ? 3mx ? my ? 0且my ? hz ? 0 ,

3m 3m ,则 n2 ? (1, 3 , ) ………10 分 h h n n h 6 3 2 , ? cos 45 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? ? , 解得 ? 2 m 2 2 | n1 | | n2 | m 1? 3 ? 3 2 h 故 PD : AD ? 2h : 2m ? h : m ? 6 : 2. ???????????12 分
取 x ? 1 ,则 y ?

3, z ?

20 (本题满分 13 分)

?1 ? an ? n, n为奇数, 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 ?an ? 3n, n为偶数. ?
(1)求证:数列 ?a2 n ? ? 是等比数列; (2)若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n. 解: (Ⅰ)设 bn ? a2 n ? 因为

? ?

3? 2?

3 , 2

3 1 1 3 1 3 1 (a2 n ? 6n) ? (2n ? 1) ? a2 n ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) ? bn ?1 2=3 2 ?1, 2=3 2?3 ? 3 3 3 3 3 bn a2 n ? a2 n ? a2 n ? a2 n ? 2 2 2 2 3 3 1 1 所以数列 {a2 n ? } 是以 a2 ? 即 ? 为首项,以 为公比的等比数列. ??? 5 分 2 3 2 6 a2 n ? 2 ?
(Ⅱ )由(Ⅰ)得 bn ? a2 n ? 由 a2 n ?

3 1 ?1? ? ? ?? ? 2 6 ?3?

n ?1

1 ?1? 3 1 ?1? ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? , 2 ?3? 2 ?3? 2

n

n

1 1 1 15 a2 n ?1 ? (2n ? 1) ,得 a2 n ?1 ? 3a2 n ? 3(2n ? 1) ? ? ? ( ) n ?1 ? 6n ? , 3 2 3 2

-5-

所以

1 1 1 1 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? [( ) n ?1 ? ( ) n ] ? 6n ? 9 ? ?2 ? ( ) n ? 6n ? 9 , 2 3 3 3

S2n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (a2n?1 ? a2n )

1 1 1 ? ?2[ ? ( ) 2 ? ? ( ) n ] ? 6(1 ? 2 ? ? n) ? 9n 3 3 3 1 1 [1 ? ( )n ] 3 ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ?2 ? 3 1 2 1? 3 1 1 ? ( ) n ? 1 ? 3n 2 ? 6n ? ( ) n ? 3( n ? 1) 2 ? 2 …………………….10 分 3 3
显然当 n ? N ? 时, {S2 n } 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 >0,当 n ? 2 时, S 4 ? ? <0,所以当 n ? 2 时, S 2 n <0; 3 9 3 1 5 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ? ? ( ) n ? ? 3n 2 ? 6n , 2 3 2

同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n ?1 >0, 综上,满足 S n ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.?????????????? 13 分

21.已知离心率为

x2 y2 2 的椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F 是圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆 2 a b

心,过椭圆上的动点 P 作圆的两条切线分别交 y 轴于 M,N(与 P 点不重合)两点 (1)求椭圆方程 (2)求线段 MN 长的最大值,并求此时点 P 的坐标 解: (1)圆心坐标(1,0) ,所以 c=1,又 ∴a ?

a 2 , ? c 2

2
x2 ? y 2 ? 1 ??? 4 分 2

故 b=1,故椭圆方程为

(2)设 P( x0 , y 0 ) , M (0, m) , N (0, n)

? x2 2 ? ? y ?1 ? x ? 2? 2 2 ? ?( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ?

x ? 2? 2 (舍去)

-6-

∴ x0 ?[? 2,0) ? (0,2 ? 2 ) 直线 PM 的方程 y ? m ?

????.. 6 分

y0 ? m x ? ( y0 ? m) x ? x0 y ? m x0 ? 0 x0



| y 0 ? m ? x0 m | ( y 0 ? m) 2 ? x 0
2

? 1 ? ( x0 ? 2)m 2 ? 2 y 0 m ? x0 ? 0

同理 ( x0 ? 2)n 2 ? 2 y0 n ? x0 ? 0 ∴m,n 是方程 ( x0 ? 2)t 2 ? 2 y0t ? x0 ? 0 两实根 由韦达定理: m ? n ?

2 y0 x0 ? 2

mn?

? x0 x0 ? 2
4 x0 ? 4 y 0 ? 8 x0 ( x0 ? 2) 2
2 2 2

???

9分

| MN |?| m ? n |? (m ? n) 2 - 4m n ? ? 2? 4 ( x0 ? 2) 2

(?

x0 2 ? y 0 ? 1) 2
?11 分

令 f ( x) ? 2 ? 4 x -2 , x ?[?4,?2) ? (?2,? 2 ) 显然由 f(x)的单调性知 f ( x) max ? 2 ? 4 ? (2 ? 2 ? 2) ?2 ∴ | MN | max ? 2

2 ? 1 ,此时 x0 ? ? 2
?????? 13 分

0) 故 P 点坐标为( - 2, ,即椭圆左顶点

22.设函数 f ( x) ?

x ? ax . ln x

(1)若函数 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

解: (Ⅰ)由已知得 x>0,x≠1.
1 ? a≤0 在 (1, 因 f (x)在 (1, ? ?) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?2 ? ?) 上恒成立.?1 分 (ln x)

所以当 x ? (1, ? ?) 时, f ?( x) max ≤0 .

-7-

1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)

? ?

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x 2 ln x

?

? a ,???2 分 ? ?1 4
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . ln x 2 4 所以 1 ? a≤0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . ?????4 分 4 4 4 (Ⅱ)命题“若存在 x1 , x2 ? [e, e 2 ], 使 f ( x1 )≤f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x)min ≤f ? ? x ?max ? a ”. ?????????5 分 由(Ⅰ) ,当 x ? [e, e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e, e2 ] 时,有 f ( x)min ≤ 1 ”. ???????6 分 4 ①当 a≥ 1 时,由(1) , f ( x) 在 [e, e2 ] 上为减函数, 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ≤ 1 ,故 a≥ 1 ? 1 2 . ???????8 分 2 4e 2 4

②当 a <

1 1 1 1 1 ? ? ' e, e 2 ? ? )2 ? ? a 在 ? 时,由于 f ( x) ? ?( 上的值域为 ? ?a, ? a ? ? ? 4 ln x 2 4 4 ? ?

2 2 ' (ⅰ) ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ( x) ? 0 在 ? ? e, e ? ? 恒成立,故 f ( x) 在 ? ? e, e ? ? 上为增函数,

于是, f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? (ⅱ) ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,矛盾.???????10 分 4

1 ' ,由 f ( x) 的单调性和值域知, 4
'

存在唯一 x0 ? (e, e2 ) ,使 f ( x) ? 0 ,且满足:
' ' 当 x ? (e, x0 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数;当 x ? ( x0 , e2 ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 为增函

数; 所以, f min ( x) ? f ( x0 ) ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? (e, e2 ) ????????12 分 ln x0 4

所以, a ? 综上得 a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4

1 1 ? ???????????????????????13 分 2 4e 2

-8-


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