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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 平面向量基本定理课件1 北师大版必修4


平面向量基本定理

一、思考引入:
问题(1): 给定平面内任意两个向量: e1 和 e2 请你作出向量: 3e1 ? 2e2 ,e1 ? 2e2

问题(2):
平面内任一向量 a 都能用形如 ?1 e1 +
?2 e2

的向量表

示吗?

二、新课讲授:
(一)、针对问题的分析讨论:

问题(1): 首先我们把向量 e1 、 e2 分成两种情 况来讨论: ①:若 e 与 e2 共线(如图a),如下图 A' B' = e1 ? 2e2 可作得 AB = 3e1 ? 2e2 ,
1

e1
A B’

e2 3e1
2e2 B

.A’

a

二、新课讲授:
(一)、针对问题的分析讨论: ② :若e 与 e2 不共线(如图a),如下 图可作得AB = 3e1 ? 2e2 , A' B' = e1 ? 2e2
1

e1
A.

e2

.B
A’

3e1

.

2e2

e1 B’

b

问题(2)
由上述可知:当向量 e1 和 e2 共线时,平面上的 任意向量 a就无法用 ?1 e1 ? ?2 e2 来表示。

当向量

e1 与 e2

不共线时(如图),已知任意向量 a。
e1
OB = e2 , OC = a , ,

在平面上任取一点O,作OA =

过点C作平行与直线OB的直线,与直线OA交 于一点M; 过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交 于一点N。 e M C
1

a

e2

O

.

A

N

B

?2,使得: 由向量的线性运算可知,存在实数 ?1、
OM =

?1 e1 , ON = ?2 e2 ,
OM

由于OC =

+ ON ,所以OC =?1 e1 +

?2 e2

即:任一向量 a都可以表示成 ?1 e1 ? ?2 e2 的形式。

由上述过程,你能得出什么结论吗?
(二)、由上述过程,可以发现:平面内任一向量都可以 由两个不共线的向量 e1 、e2 表示出来。当 e1 、 e2 确定后, 任意向量都可以由这两个向量量化表示。 由此,我们得到平面向量的基本定理: 平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, ?2 ,使 有且只有一对实数 ?1 、

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。

(三)、向量的夹角:
不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定: 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作 OA = a , = OB
b ,则 ?AOB =θ(0°《θ《180 °)叫做向量
θ

a 与 b 的夹角。

o.

b

B A

a

显然,当θ= 0°时, a 与 b 同向;当θ= 180 ° 时, a 与 b 反向。 如果 a 与 b 的夹角是90 °,我们说 a 与 b 垂直, 记作 a ⊥ b 。

三、例题:已知向量 e1、 e2 (如图),求作向量? : 2.5e1 ? 3e2
C B
e2

e1

A
? 2.5e1

.o

? 作法:1、如图在平面内任取一点O,作 OA ? ?2.5e1

作OB ? 3e2 ; 2、作平行四边形OACB; OC 就是求作的向量。 思考:例题还有其他作法吗? 三角形法!

四、练习:

3? ? 2? 1、若 a ? ? e , b ? ? e , ,则 b = 4 3

a。

2、已知两向量 e1、e2 (如图),设 a = 2e1

b = ? 2e2 ;求作:2a ? b
e1

e2

五、小结:本结通过探究,认识掌握平面向量的基本定 理,了解基底、夹角的概念,为进一步学习平面向量的

知识埋好伏笔。


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