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2015届高考二轮复习 专题三 第2讲 三角变换与解三角形


专题三 三角函数与平面向量

第 2讲

三角变换与解三角形
主干知识梳理

热点分类突破
真题与押题

1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使
用,常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.
考 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角 情 解 形的

形状、求值等,经常和三角恒等变换结合 读

进行综合考查.

主干知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan α± tan β (3)tan(α± β)= . 1? tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
2tan α (3)tan 2α= 2 . 1-tan α

3.三角恒等式的证明方法

(1) 从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁
为简. (2)等式的两边同时变形为同一个式子. (3)将式子变形后再证明.

4.正弦定理 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

5.余弦定理

a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C. 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +c -b 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac
a +b -c cos C= . 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,
2 2 2

a2+b2-c2=2abcos C.

6.面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 7.解三角形
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.
(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理

求解,解的情况可能不唯一.
(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.

(4)已知三边,利用余弦定理求解.

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 三角变换 解三角形

? 热点三

正、余弦定理的实际应用

热点一

三角变换

π 4 3 π 例 1 (1)已知 sin(α+ )+ sin α=- ,- <α <0 , 3 5 2 2π 则 cos(α+ )等于( ) 思维启迪 3 4 A.- 5 4 C. 5 3 B.- 5 3 D. 5
利用和角公式化简已 2 知式子,和cos(α+ π)进 3 行比较.

π 4 3 π 解析 ∵sin(α+ )+sin α=- ,- <α<0, 3 5 2
3 3 4 3 ∴ sin α+ cos α=- , 2 2 5
3 1 4 ∴ sin α+ cos α=- , 2 2 5 2π 2π 2π ∴cos(α+ )=cos αcos -sin αsin 3 3 3 1 3 4 =- cos α- sin α= . 2 2 5

答案 C

π π (2)(2014· 课标全国Ⅰ)设 α∈(0, ),β∈(0, ),且 tan α 2 2 1+sin β = ,则( cos β π A.3α-β= 2 π C.3α+β= 2 ) π B.2α-β= 2 π D.2α+β= 2
思维启迪 先对已知式子进行变形,

得三角函数值的式子,再
利用范围探求角的关系.

1+sin β sin α 1+sin β 解析 由 tan α= 得 = , cos β cos α cos β

即sin αcos β=cos α+cos αsin β,
π ∴sin(α-β)=cos α=sin( -α). 2 π π ∵α∈(0, ),β∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α-β∈(- , ), -α∈(0, ), 2 2 2 2

π π ∴由 sin(α-β)=sin( -α),得 α-β= -α, 2 2 π ∴2α-β= . 2

答案

B

(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、 正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记 和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现 题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用
思 过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函 维 数名的变换,防止出现张冠李戴的情况. 升 华 (2) 求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所

求角的范围尽量缩小,避免产生增解.

变式训练1

设函数f(x)=cos(2x+ π)+sin2x. 3 (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值; π 解 f(x)=cos(2x+ )+sin2x 3
π π 1-cos 2x 1 3 =cos 2xcos -sin 2xsin + = - sin 2x. 3 3 2 2 2 1+ 3 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= =π, 最大值为 . 2 2

θ cos 2θ (2)若 θ 是第二象限角, 且 f( )=0, 求 2 1+cos 2θ-sin 2θ 的值.
解 θ 因为 f( )=0, 2

1 3 3 所以 - sin θ=0,即 sin θ= , 2 2 3

又θ是第二象限角,

6 所以 cos θ=- 1-sin θ=- . 3 2 2 cos θ - sin θ cos 2θ 所以 = 1+cos 2θ-sin 2θ 2cos2θ-2sin θcos θ
2

?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ? cos θ+sin θ = = 2cos θ 2cos θ?cos θ-sin θ?
6 3 - + 6- 3 2- 2 3 3 = = = . 4 6 2 6 2×?- ? 3

热点二

解三角形

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, cos B 2a b b,c,满足a=2sin A, + + =0. cos C c c (1)求边c的大小; 例2
思维启迪

cos B 2a b + + =0中的边化成角,然后利用和差公 cos C c c 式求cos C,进而求c.


cos B 2a b 解 ∵ + + =0, cos C c c
∴ccos B+2acos C+bcos C=0, ∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, ∴sin A+2sin Acos C=0, ∵sin A≠0, 1 ∴cos C=- ,∵C∈(0,π) 2 2π a ∴C= ,∴c= · sin C= 3. 3 sin A

(2)求△ABC面积的最大值.
思维启迪
a2+b2-c2 只需求ab的最大值,可利用cos C= 和基本不 2ab 等式求解.



1 a +b -3 ∵cos C=- = , 2 2ab

2

2

∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即ab≤1.
1 3 ∴S△ABC= absin C≤ . 2 4
3 ∴△ABC 的面积最大值为 . 4

三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角” 或从“边”进行转化突破,实现“边”或“角”的 统一,问题便可突破. 几种常见变形:
思 (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; 维 (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为 升 华 △ABC外接圆的半径;

(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.

变式训练2

(1)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b b,c,asin Asin B+bcos A= 2a,则 等于( a
2

)

A. 2 C. 3

B.2 2 D.2 3

解析

因为 asin Asin B+bcos A= 2a,
2 2

2

由正弦定理得 sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B= 2sin A,

sin B b sin B 即 = 2, = = 2. sin A a sin A

答案

A

(2)(2014· 江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 π 分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C= ,则△ABC 3
2 2

的面积是( A.3 3 3 C. 2

) 9 3 B. 2 D.3 3

解析

∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①

π π 2 2 2 ∵C= ,∴c =a +b -2abcos =a2+b2-ab. ② 3 3

由①②得ab=6.
1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 答案 C

热点三

正、余弦定理的实际应用

例3 (2013· 江苏)如图,游客从某旅游景 区的景点A处下山至C处有两种路径.一 种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到 B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下 山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min 后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速 步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山 12 3 路AC长为1 260 m,经测量cos A= ,cos C= . 13 5

(1)求索道AB的长;
思维启迪 直接求sin B,利用正弦定理求AB.

12 3 解 在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5

从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C

5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65
AB AC 由正弦定理 = ,得 sin C sin B
AC 1 260 4 AB= ×sin C= × =1 040(m). 63 5 sin B 65

所以索道AB的长为1 040 m.

(2) 问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距
离最短?
思维启迪 利用余弦定理和函数思想,将甲乙距离表示为乙出发

后时间t的函数.



假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,

此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,

所以由余弦定理得
12 d = (100 + 50t) + (130t) - 2×130t×(100 + 50t)× 13
2 2 2

=200(37t -70t+50),
1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130

2

35 故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. 37

(3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分
钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解 BC AC 由正弦定理 = , sin A sin B

AC 1 260 5 得 BC= ×sin A= × =500(m). 63 13 sin B 65 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),

还需走710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min,
500 710 1 250 625 由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14

所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 ?1 250 ? 625 ? ? min,乙步行的速度应控制在 ? , ? (单位: 14 ? ? 43 m/min)范围内.

求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意, 分清已知与所求,关注应用题中的有关专业名

词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意
画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次
思 将要求解的问题归结到一个或几个三角形中, 维 通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数 升 华 学模型,从而正确求解,演算过程要简练,计

算要准确;最后作答.

变式训练3
如图,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼 作业,中国海监船在A地侦察发现,在南偏 东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每 小时13海里的速度向正西方向的 C地行驶,企图抓捕正在 C地捕鱼的中国渔民 .此时,C地位于中国海监船的南偏东 45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度 赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?( 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45)



过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.

因为∠CAD=45°,AC=10海里,
所以△ACD是等腰直角三角形.
2 2 所以 AD=CD= AC= ×10=5 2(海里). 2 2 在Rt△ABD中,因为∠DAB=60°,

所以 BD=AD×tan 60° =5 2× 3=5 6(海里).

所以 BC=BD-CD=(5 6-5 2)(海里).

因为中国海监船以每小时30海里的速度航行,某国军

舰正以每小时13海里的速度航行,

AC 10 1 所以中国海监船到达 C 点所用的时间 t1= = = (小 30 30 3 BC 时 ) , 某 国 军 舰 到 达 C 点 所 用 的 时 间 t2 = = 13

5×? 6- 2? 5×?2.45-1.41? ≈ =0.4(小时). 13 13 1 因为 <0.4,所以中国海监船能及时赶到. 3

本讲规律总结
1.求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”

的过程,具体分析如下:
(1) 首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常

用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心.
(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”.

(3)再次观察代数式的结构特点.

2.解三角形的两个关键点 (1) 正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据, a 注意定理的灵活变形,如a=2Rsin A,sin A= (其 2R 中2R为三角形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C 等,灵活根据条件求解三角形中的边与角.

(2) 三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的

作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式 A+ B C 可得到sin(A+B)=sin C,sin =cos 等,利用 2 2 “大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.
3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如 何将实际问题转化为数学问题,抽象出三角形模型.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精练

1

2

真题感悟

10 1.(2013· 浙江)已知 α∈R, sin α+2cos α= , 则 tan 2α 2 等于( ) 4 A. 3 3 C.- 4 3 B. 4 4 D.- 3

1

2

真题感悟

解析
2

10 ∵sin α+2cos α= , 2
2

5 ∴sin α+4sin α· cos α+4cos α= . 2

用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α= =- .故选 C. 4 cos 2α 答案 C

1

2

真题感悟

2.(2014· 江苏)若△ABC的内角满足sin A+ 2sin B= 2sin C,则cos C的最小值是________.
解析 由 sin A+ 2sin B=2sin C,

结合正弦定理得 a+ 2b=2c.
a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= 2ab

1
2 ? a + 2 b ? 3 2 1 2 2ab 2 2 a +b - a+ b- 4 4 2 2 = = 2ab 2ab

2

真题感悟

2 ≥

?3 ??1 ? ? 2?? 2? a b ? ?? ?- ?4 ??2 ?

2ab

2ab 6- 2 2 = , 4

6- 2 故 ≤cos C<1,且 3a2=2b2 时取“=”. 4

1

2

真题感悟

6- 2 故 cos C 的最小值为 . 4
答案 6- 2 4

1

2

押题精练

A+B 1.在△ABC 中, 已知 tan =sin C, 给出以下四个结论: 2 tan A ① =1;②1<sin A+sin B≤ 2 ;③sin2A+cos2B=1; tan B ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中一定正确的是( A.①③ B.②③ ) C.①④ D.②④

1

2

押题精练

解析

依题意,

A+ B A+ B A+ B sin 2sin cos A+ B 2 2 2 tan = = 2 A+ B 2 A+ B cos 2cos 2 2
sin?A+B? sin C = = =sin C. 1+cos?A+B? 1+cos?A+B?

1

2

押题精练

∵sin C≠0,∴1+cos(A+B)=1,cos(A+B)=0.
π ∵0<A+B<π,∴A+B= , 2

即△ABC是以角C为直角的直角三角形.
tan A 对于①,由 =1,得 tan A=tan B,即 A=B, tan B 不一定成立,故①不正确;

1

2

押题精练

π 对于②,∵A+B= , 2 π ∴sin A+sin B=sin A+cos A= 2sin(A+ ), 4 ∴1<sin A+sin B≤ 2,故②正确; π 对于③,∵A+B= , 2
∴sin A+cos B=sin A+sin A=2sin A,
2 2 2 2 2

其值不确定,故③不正确;

1

2

押题精练

π 对于④,∵A+B= , 2

∴cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C,

故④正确.
答案 D

1

2

押题精练

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b, c,q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且q∥p. (1)求sin A的值; 解 ∵q=(2a,1),p=(2b-c,cos C)且q∥p, ∴2b-c=2acos C, 由正弦定理得2sin Acos C=2sin B-sin C, 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

1

2

押题精练

1 ∴ sin C=cos Asin C. 2
1 ∵sin C≠0,∴cos A= , 2 π 又∵0<A<π,∴A= , 3
3 ∴sin A= . 2

1

2

押题精练

-2cos 2C (2)求三角函数式 +1的取值范围. 1+tan C



-2cos 2C 2?cos C-sin C? 原式= + 1= 1- sin C 1+tan C 1+ cos C

2

2

=1-2cos2C+2sin Ccos C
π =sin 2C-cos 2C= 2sin(2C- ), 4

1

2

押题精练

2 π π 13 ∵0<C< π,∴- <2C- < π, 3 4 4 12
2 π ∴- <sin(2C- )≤1, 2 4
π ∴-1< 2sin(2C- )≤ 2, 4
-2cos 2C 即三角函数式 +1 的取值范围为(-1, 2]. 1+tan C


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