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2000年全国高中数学联赛试题及点评


2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 点评:友好的选择题。等你们考试时就没有了 x2-2 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 =10x},则 A∩?RB 是( ) (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ? 参考答案:A={2},B={2,-1},故选 D. 点评:

送分题,不赘述 α α α 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( ) 3 3 3 π π 2kπ π 2kπ π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z (B)( + , + ),k?Z 6 3 3 6 3 3 5π π π 5π (C)(2k?+ ,2k?+?),k? Z (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z 6 4 3 6 π α 2kπ π 2kπ π 参考答案:满足 sin?>0,cos?<0 的 α 的范围是(2k?+ ,2k?+π),于是 的取值范围是( + , + ), 2 3 3 6 3 3 α α α π 5π π π 5π 满足 sin >cos 的 的取值范围为(2k?+ ,2k?+ ).故所求范围是(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?), 3 3 3 4 4 4 3 6 k?Z.选 D. 点评:简单的计算题。 3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形, 则△ABC 的面积是( ) 3 3 3 (A) (B) (C)3 3 (D)6 3 3 2 y 3 B 参考答案:A(-1,0),AB 方程:y= (x+1),代入双曲线方程,解得 B(2, 3), 3 ∴ S=3 3.选 C. x A O 2 2 2 2 2 2 2 2 点评: 另一种思路, 设 B 为(a,b) , 则 AB =(a+1) +b =(a+1) +1-a =4(1-a )=4b =BC C 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 2 是等差数列,则一元二次方程 bx ?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 2p+q p+2q 2 参考答案:a =pq,b+c=p+q.b= ,c= ; 3 3 1 1 2 △=a2-bc=pq- (2p+q)(p+2q)=- (p-q)2<0.选 A. 4 9 9 1 1 点评: △=a2-bc=pq-bc,我们知道 p+q=b+c,由函数 x(m-x)的性质,显然 △<0 4 4 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( ) 3 5 34 34 1 1 (A) (B) (C) (D) 170 85 20 30 |25x-15y+12| |5(5x-3y+2)+2| 参考答案:直线即 25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离= = . 5 34 5 34 ∵5x-3y+2 为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当 x=y=-1 时即可取到 2.选 B. 点评:我们知道(a,b)到该直线的距离就是

3 25a ? 12 ,因为 a,b 都是任意整数所以 25a+12 模 15 15 34

的最小值为 2,代入计算得所以答案是 B π π 6.设 ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( ) 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 4 3 2 (C) x ?x ?x +x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0
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参考答案:ω5+1=0,故?,?3,?7,?9 都是方程 x5+1=0 的根.x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1)=0.选 B. 点评:ω 为模为 1 复数,无论多少次幂也只是方向的变化。 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________. 32 33 3n 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim ( + +…+ ))=________. an n→∞ a2 a3 k 2 3 2· 3 18 2 - 参考答案:an=3n 2Cn.∴ = k-2 = ,故填 18. ak 3 n(n-1) n(n-1) 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)-(a+log83) log43-log83 1 1 参考答案:q= = = = = .填 . a+log23 a+log43 (a+log23)-(a+log43) log23-log43 3 3 点评:我们求得是公比,而不是 a 的值。记住上面的简便方法 x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率 a b 5-1 是 ,则∠ABF=_________. y 2 5-1 5+1 5+3 2 B 参考答案:c= a,∴|AF|= a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2= a. 2 2 2 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90° .填 90° . O A x F 5 - 1 2 2 2 2 或由 b =a -c = a =ac,得解. 2 A 点评:牢记各种常用曲线的公式,一试必考,且计算量较大。 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个 H 球的体积是________. O 3 D 参考答案:取球心 O 与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE= a, B 2 G E 6 6 3 AG= a,AO= a,BG= a,AB∶AO=BG∶OH. C 3 4 3 AO· BG 2 4 2 2 OH= = a.V= πr3= πa3.填 πa3.. AB 4 3 24 24 点评:要牢记四面体中心点到各个棱,顶点的距离。很重要很常用 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 参考答案:a、c 可以相等,b、d 也可以相等. ⑴ 当 a、c 相等,b、d 也相等时,有 C4=6 种; ⑵ 当 a、c 相等,b、d 不相等时,有 A3+A2=8 种; ⑶ 当 a、c 不相等,b、d 相等时,有 C3C2+C2=8 种; ⑷ 当 a、c 不相等,b、d 也不相等时,有 A3=6 种;共 28 种.填 28. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)= 的最大值. (n+32)Sn+1 1 n(n+1) 1 1 参考答案:Sn= n(n+1),f(n)= = ≤ 错误!未指定书签。.(n=8 时取得 2 (n+32)(n+1)(n+2) 64 50 n+ +34 n
-23 1 1 1 2 2 2

π 参考答案:2000° =180° ×12-160° .故填-20° 或- . 9

最大值). 点评:基础数列知识加上耐克函数的应用。 1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 1 13 1 13 参考答案:⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=- b2+ =2b.最小值为 f(a)=- a2+ =2a.即 a,b 是方 2 2 2 2 2 程 x +4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= ,得 b= . 2 4 1 2 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值,①f(a)=- a + =2a 时.a=-2± 17,但 a<0,故取 a=-2- 17.由 2 2 1 2 13 39 于|a|>|b|,从而 f(a)是最小值.②f(b)=- b + = =2a>0.与 a<0 矛盾.故舍. 2 2 32 ⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ - b2+ =2a.- a2+ =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 2 2 2 2 13 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2- 17, ]. 4 点评:答这种题没有很好的技巧,就是要细致的分类讨论。 x2 y 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2 =1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任 a b 意一点 P,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论. 参考答案:设 PQRS 是与 C0 外切且与 C1 内接的平行四边形.易 y 知圆的外切平行四边形是菱形.即 PQRS 是菱形.于是 OP⊥OQ. 设 P(r1cosθ,r1sinθ),Q(r2cos(θ+90° ),r2sin(θ+90° ),则在直角三 P 1 1 2 2 2 2 角形 POQ 中有 r1 +r2 =r1 r2 (利用△POQ 的面积).即 + =1. 2 2 r r S 1 2 2 2 O x r1cos θ r 2 sin 2 ? Q 1 cos2θ sin2θ 1 但 + =1,即 = 2 + 2 , a2 2 a b b2 r1 R 1 sin2θ cos2θ 1 1 同理, = 2 + 2 ,相加得 2+ 2=1. 2 a b a b r 2 1 1 反之, 若 2+ 2=1 成立, 则对于椭圆上任一点 P(r1cosθ, r1sinθ), 取椭圆上点 Q(r2cos(θ+90° ), r2sin(θ+90° ), a b 2 2 2 2 1 cos θ sin θ 1 sin θ cos θ 1 1 1 1 则 = 2 + 2 ,, = 2 + 2 ,,于是 + = 2+ 2=1,此时 PQ 与 C0 相切.即存在满足条件的平行 2 a b 2 a b 2 2 a b r1 r2 r1 r2 四边形. 故证.
2

点评:此题关键点在于与圆内接的平行四边形是菱形,证明方法多样。 介绍简单的一种,易知 PQ+SR=PS+QR=2PQ=2PS,所以为菱形。那么 P 和 Q 便存在简单的位置关系。我们 很容易便可以把他们表示出来。

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第二试
一、(本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC(M、 N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等. 参考答案:证明:连 MN,则由 FM⊥AM,FN⊥AN 知 A、M、F、N 四 点 共 圆 , 且 该 圆 的 直 径 为 AF . 又 ?AMN=?AFN , 但 ?FAN=?MAD , 故 A ?MAD+?AMN=?FAN+?AFN=90? . ∴ MN ⊥ AD , 且 由 正 弦 定 理 知 , M MN=AFsinA. 1 1 ∴SAMDN= AD· MN= AD· AFsinA. N 2 2 B C 连 BD,由?ADB=?ACF,?DAB=?CAF,得⊿ABD∽⊿AFC. E F ∴ AD∶AB=AC∶AF,即 AD· AF=AB· AC. 1 1 D ∴ SAMDN= AD· AFsinA= AB· ACsinA=SABC. 2 2 点评:如果想不出来证明 MN 垂直 AD 的思路。可以用下面一种方法 设?MAD=?FAC=?1,?BAF=?CAD=?2 又 FM⊥AB,FN⊥AC ∴AM=AF*cos?2,AN=AF*cos?1 1 1 SAMD= AM*ADsin?1= AD*AFsin?1cos?2 2 2 1 1 SAND= AD*ANsin?2= AD*AFsin?2cos?1 2 2 1 1 1 所以 SAMDN =SAMD+SAND= AD*AFsin?1cos?2+ AD*AFsin?2cos?1= AD*AFsinA 2 2 2 其实很多几何题都可以用三角函数的知识,思路简单,只是算的时候稍微麻烦了点 二、(本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且 ?an+1=7an+6bn-3, ? n=0,1,2,…… ?bn+1=8an+7bn-4. 证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 参考答案:证明 ⑴× 7:7an+1=49an+42bn-21, ⑵× 6:6bn+1=48an+42bn-24. 两式相减得,6bn+1-7an+1=-an-3,即 6bn=7an-an-1-3. 1 1 1 代入⑴:an+1=14an-an-1-6.故 an+1- =14(an- )-(an-1- ). 2 2 2 2 其特征方程为 x -14x+1=0,特征方程的解为 x=7±4 3. 1 1 故 an=α(7+4 3)n+β(7-4 3)n+ ,现 a0=1,a1=4,a2=49.解得 α=β= . 2 4
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1 1 1 1 1 1 ∴ an= (7+4 3)n+ (7-4 3)n+ = (2+ 3)2n+ (2- 3)2n+ 4 4 2 4 4 2 1 1 =[ (2+ 3)n+ (2- 3)n]2. 2 2 1 1 由于[ (2+ 3)n+ (2- 3)n]是整数,故知 an 是整数的平方.即为完全平方数. 2 2 点评:二试送分题,考验基本功 三、(本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数相等, 都是 3 k 次,其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值. 参考答案:由条件知,统计各 n-2 人组的通话次数都是 3k 次,共有 C
2 n-2 n =Cn个

n-2 人组,若某两人

2 2 n-4 通话 1 次,而此二人共参加了 C =C 个 n-2 人组,即每次通话都被重复计算了 C 次.即总通 n - 2 n - 2 n-2 n(n-1) 话次数应为 · 3k 次. (n-2)(n-3) 由于(n-1,n-2)=1,故 n-2|n?3k. 若 n-2|n,故 n-2|2,易得 n=4,(n=3 舍去)此时 k=0. 由 n-2|3k,n=3m+2,(m 为自然数,且 m≤k),此时 n(n-1) (3m+2)(3m+1) k 6 - · 3k = m m · 3 =[3m+4+ m ]· 3k m,即 3m-1|6. (n-2)(n-3) 3 (3 -1) 3 -1 ∴ m=0,1.当 m=0 时,n=3(舍去),当 m=1 时,n=5. 又:n=4 时,每两个人通话次数一样,可为 1 次(任何两人都通话 1 次);当 n=5 时,任何两人都通话 1 次.均满足要求. ∴ n=4,5. 点评:此题条件简单,思路是这样的,我们对于任意这两个字一般是不能直接处理的,要把他转换为我们 易处理的条件,我们知道 n 个人的通话次数是固定的。那么很容易联想到可以求出这个总的通话次数。一 这个总数来缩小 n 的可能范围。这类问题的大概思路便是从已知限定条件推到更多限定条件逐步的缩小范 围。这样即使得不到满分,也能得到一部分分。

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