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到两定点连线斜率之积为定值的轨迹


7 - 3 0  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 7 期 

到 两定 点连 线斜 率之 积 为 定值 的轨 迹 
2 0 0 0 6 2 上海市曹杨二 中  钟 谋 





提 出问 题 

在 与 教 材 配

套 的练 习册 中 有 这 样 一 题 :  
已 知 △AB   的 两 个 顶 点  、B 的 坐 标 分 别  是( 一 6 , 0 ) 、( 6 , 0 ) ,A C、BC边 所 在 直线 的斜 

上海 教 育 出版 社 出版 的高 二数 学教材 配  套练 习册 中有这样一道题 :  
己 知 △ B  的 两 个 顶 点  、B 的坐 标 分 

率之积等于 , 求顶点  的轨迹方程 .  
2   , 2  

别是 ( 一 6 , 0 ) 、( 6 , 0 ) , A C、B  边 所 在 直线 的  斜率( 假 定 直 线 的 斜 率 均 存 在 ,以下 不 再 说 

也容易求得 点  的轨迹方程是  一   1 6  1   ( Y≠ 0 ) ,点 C的轨 迹 是 以BC为 实轴 的双 曲   线( 剔 除 B、C 两 点 ) .  


明) 之积等于一 姜 , 求顶点  的轨迹方程.  
容 易 求 得 点  的轨 迹 方 程 是  +   y -=1  
X- 2    


—2

2  

问题 1 在 两道 题 中 , 若 记 轨迹 方程 为 
n ‘ 


( Y ≠0 ) , 点  的轨迹是 以 BC为长轴的椭圆 ( 剔  除 B、   两 点) .  

2  

A  

4 -   =l , 则斜率之乘积与 0   、b 0 有关系式 土  

学 生 L : 设 右 准 线 上 一 点 P ( 譬 ,   ) , 由 推  
n2  



:  

论1 得 直 线 AB 的 方 程 为  -  ' X + Y o Y


1,  

即 考 +   = 1 . 令   = 0 , 得 z = c . 即 直  
图5  

线A B过点 F( c , 0 ) , 即为椭 圆的右焦点.  
若 点 P是 椭 圆左 准 线 上 的一 点 , 同 理 可 证 

学生 K: 由推论 2 , 切线交点的轨迹方程为  +   :1 , 又 0 :c , Y o :0 得  :   . 即 
2   口 , 2  

直线 B过椭圆的左焦 点.  
5 . 结 束 语 

点 P 的轨 迹 为椭 圆 的右 准 线 .  
, r .

本 节 课 通 过 对 教 材 上 一 个 问题 的探 讨 , 使 

问题 9 如 图 6 , 过椭 圆   +   = 1 ( a>  
b >0 ) 右( 左) 准 线 上 的一 点 P作 该 椭 圆 的两 条 

学生初步 了解 “ 点线对” 反演 的基 本 的问题 , 通 
过 这 样 的探 究 过 程 , 可 以 帮 助 学 生 在 今 后 的学  习 中养 成 自我 探 索 、 自我分 析 、 自我 提 问 、 自  

切线P  、P B( A、B为切 点) , 则 直 线 AB必  过椭 圆的右 ( 左) 焦 点.  

我决策 的思维习惯, 充分发挥学 生的积 极性与  主动 性; 在发 现和创 造 的过程 中, 学生 也初步 

掌握 了质疑 、反思 、逆 向、类 比、推广等 思想 
方法.在数 学教 学中, 如果教师 能经常 根据学 
生 的 实 际情 况 , 不 断 开 发 和 设 计 出 让 学 生 经 历  高 强 度 思 考 、探 索 的课 例 , 长期 坚持 , 学 生 的 
图6  

数学思维能力 的提高是指 日可待的.  

2 0 1 4 年第 7 期 
=千   , 这 是 一 个 巧 合 还 是必 然 的结 果 ?  

数 学教 学 

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当 m >0 时, 轨 迹为 以线段 A B为 实轴 的  双 曲线 ( 剔除点 A、B ) ;  
当 一1 <m <0时 , 轨 迹 为 以 线 段 AB 为长 

推广 l   △AB   的 两 个 顶 点  、B 的 坐 标 

分别是 ( 一 a , 0 ) 、( a , 0 ) , AC、BC边 所 在 直 线 
的斜率之积等于 一  , 求顶 点 C的轨迹方程.  
解 :由 
X 
J_

轴且焦点在 X轴上的椭 圆 ( 剔除点 A 、B) ;   当 m < -1 时, 轨 迹 为 以线段 A B为 长轴  且焦 点在 Y 轴上 的椭 圆 ( 剔除点  、B) .  

. — 
a  x 
——  

=一   b 2得  x 2
a  a 
‘ 

+  b 2



 

a 

l ( y≠0 ) .  
同理得到与两个定点  、B 的坐标分别是 

这 就揭 示 了斜 率 之乘积 与椭 圆、双 曲线 
之 间 的对 应 关 系 .  

( 一 0 , 0 ) 、a , 0 ) 连线的斜率乘积 为定值  的动 

若把推广 2 中的长轴或实轴换成经过原 点  的任 意 一 条 弦 , 可 以得 到 怎 样 的结 论 ?  

点   的 轨 迹 方 程 是 吾 一   b 2 = l ( y ≠ 0 ) .  
二 、逆向演变 


问题 3 椭 圆  +   = = = 1 ( 。 >6 >0 ) 上任 
条 经过原点的弦的两个端点  、B与椭 圆上 

将推广 l 的条件与结论交换得 到: 椭圆 
0 


的任 一 点  ( 这两 个 端 点除外) 连 线 的斜 率 乘 
积k A C? k B C= 一   .  

2  

+   =i ( a>b >0 ) 长轴的两顶点 A、B与椭 
圆上 的任一 点  f 这 两个 顶 点 除外) 连 线 的斜  率乘积 为定值 一   .  
证 明:  k A  . k B G : — 
十   a 

证 明: 设 A( x i , Y 1 ) 、B(   2 ,   2 ) 、C( x ,  ) .  


.  
一 Ⅱ 

:  

{ 【   雾 +   摹   1 _ 得   1   c   +   一   +  
. 

2   口,

=   2


02‘  

. ……………………………………………一 ( 1 )   ,  


(   1 +Y ) ( Y l —Y ) =0 , 改写 为  
一  

由点  在椭 圆上 , 即  x 7 +   y 2

1 , 即 

a2 =  

]+  x  X

X   X . … … … … . . ( 3 )   】 一  ‘  

Y  :b   一  

. ……… ……………- - ( 2 )  

设 AC 的 中 点 为 D. 易 知 点 D 的 坐 标 为 

将( 2 ) 式代入 ( 1 ) 式, 则有 
A  .   B  = 一

( 字 ,   ) , O D / / B C , 于 是 ‰  。  
  =— — _ 一,   I g A C   =—二 — ,   代入 l   / \ ( l 3 J )   J   得 1 哥  A k A  .  。   I ’ C B C  
’  

三   .  




 



,:

 



同样得 到结论 : 双 曲线  一   y ; d

6 2  

1 ( 。>0 ,  



 

r 上 2‘  

b> 0 1两 顶 点与 双 曲线 上 的任 一 点 C ( 这 两 个 

类似地在双 曲线  x - 一   y - =1 ( 。>06 >0 )  


顶点除外)连线 的斜率乘积为定值  .  
三 、类 比推 广 

上任一条经过原点的弦的两个端点与双 曲线上 
的任 一 点 ( 这两 个端 点 除外) 连线 的斜 率 乘积  为定值  .  
四 、 引 申拓 展 

问题 2 椭 圆与双 曲线 中命题 的形式是相  似 的, 这 是什 么 原 因 呢 ?   推 广 2 两 个 定 点 A、B的 坐 标 分 别 是 

( 一 a , 0 ) 、( a , 0 ) , 动 点  满足 CA与 C B 的斜 率  之积 为 m( m ≠0 ) , 求动 点   的轨迹.   设动点  (   ,  ) , 由题意, 得  。   =  
m, 化简得  X x
一  

在 圆中, 我们 容易证 明, 被直 径平 分 的任  何弦 ( 弦不 为直 径) 垂直 于该直径, 那么对于椭  圆是否存在类似的性质 ?  

推广 3 椭 圆方程 为  X - 十   y - =1 ( 。 >6 >0 ) ,  


1.  

当 m = 一1 时 ,轨 迹 为 以线 段  B 为 直 径 

AB 是 过 椭 圆 中 心 的 弦 ( 称 之 为椭 圆 的直径) ,   弦 CD被 AB 平 分 , 则k A B? k C D: 一   .  

的圆 ( 剔 除点 A、B) ;  

, } 一 3 2  

数 学教 学 

2 0 1 4 年第 7 期 

半 圆 的 内切 圆作 图及 圆 心轨 迹 方程 的探 求 
2 2 1 1 1 2   江 苏省徐州 市铜 山区三堡 中学  田传 弟 

问题 l 作 已知 半 圆及 其 直 径 所 成 弓 形 的  内切圆, 并求 内切 圆的圆心轨迹 .   分析: 如图 1 , 若 圆0  为 所 求 的 内切 圆, 设  半 圆( = ) 的半径 为 r , ( 二 ) C =a ,圆( 二 )   的半径为 r   ,   则在 R t △( 二 )  ( 二 )   中,根 据 勾 股 定 理 ,O  +  
OC  = 0  0  2


( 3 )过 点 D 作DE上  B, 垂足 为 点E;   ( 4 )在 半 圆( 二 ) 内作 线 段 ( 二 )   上AB, 使0  


EC:  

( 5 )以点 0   为 圆心 , 《 = )   为半 径 作 圆.  
则 圆( 二 )   即 为所 求 .  

所以   厂  +a   =f r一 _ 厂 , ) 2 , 求 得 
f r .


— —

r 1

2  

证 明: 因为J E } J [ ) =BC=r +0 , DE上  B, 所 
以BD2 =BE . BA, 所 以BE-   =   ,  

圆0   的半 径 r   =   作法 : 如图2 ,  

.  

所 以 圆( = )   的 半径 r  = ( 二 )   =   E = B  —  
BE :  +。一   :   得证.  

探 求 轨 迹 :以 点。为 坐 标 原 点 , AB所 在 直 
A   C  0 

线为z 轴 建立平面 直 角坐标 系, 则o( 0 , 0 ) .设  ( 二 )   (   ,  ) , 半圆( 二 ) 的半径为 r , 则( 二 )   0  一 OC 0 +  

图1  
D 

( 二 )   2 即( r 一   )  =   +  , 所 以 Y= 一  
1   厶  | 。  

+  

去 r ( 一 r <   <r ) , 即是所求轨迹方程, 其轨迹 
为抛物线.  

根 据 勾 股 定 理 、两 点 间 的距 离 公 式 或 直 
A   C  E  0  B  

接 根 据 已知 的 等 量 关系 式 等 建 立 轨 迹 方 程 的 方 
法是经常用到的.  

图2  

( 1 )在直 径 B上 任 取 一 点  ;  

事 实 上 ,我 们 也 可 以 用 几 何 方 法 证 明 点  ( = )  的轨 迹 是 以点 ( = ) 为焦点, 切线 f 为 准 线 的 抛 

( 2 ) 在半圆。上作点D, 使BD =BC;  

证 明:   设 C( x l , Y 1 ) 、   D(   2 ,   2 ) ,C D 

幻 。:  5 2   A B平分 则  B.


点 M (  
2   2  

,   ) .  
2  2   2  2

n 



’得  Y l +   Y 2

Yl- -  Y2  

通 过 以上 的 分 析 研 究 , 我们知道对 于圆 、   椭 圆、双 曲线都可 以用两斜率 乘积 为定值来统 


?  

定义. 那 么 对 于 抛 物 线 能 否 统 一 为 两 斜 率 乘 

得 。 M.   。一一   b 2
: 一  





即 A B. ‰   。: 

积 为 定 值 的轨 迹 呢 ?探 索 发 现 并 不 能 统 一 , 原 

【 上 一 

¨ 

b 2  
n2 ‘  
n  

同样 得 到 :在 双 曲线  X ' 2 !





2 -1 ( n> 0 , 6  

因在于 圆 、椭 圆、双 曲线 都是 有心 圆锥 曲线.   而抛 物 线 不 是 有 心 圆锥 曲线 .   既然 抛物线不能用两 斜率乘积表 示, 那么  能否用两斜率 的其他运算来表 示呢?留给读者 
思考 .  


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