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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第3课时)2013.3.8


三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (二)
2013.3.7 朱珊珊

复习:正弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

r />
?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:

x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ( k? ,0) k ? Z

复习:余弦函数对称性
y
1

?3? 5? ? 2

P ' 3? ?? ?2? ?
2

? ? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

3.5号作业题
1 ? 求函数 y ? cos( x ? ) 的对称轴和对称中心 2 4 x ? x ? 解:设z ? ? , 则y ? cos( ? ) ? cos z 2 4 2 4 ? ? y ? cos z的对称中心为( ? k? ,0), 则z ? ? k? ,
x ? ? ? 即 ? ? ? k? ,? x ? ? 2k? , k ? Z 2 4 2 2 ? ? 对称中心为( ? 2k? ,0)k ? Z ) ( 2 2 2

x ? y ? cos z的对称轴为z ? k? , k ? Z , 则 ? ? k? 2 4

? x ? 2k? ?

?

2

,k ?Z

探究:正弦函数的最大值和最小值
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时,
k?Z

最小值:当x

??

?
2

有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,
k?Z

探究:余弦函数的最大值和最小值
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
k?Z

最小值:当

x ??

有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,
k?Z

例题
求使函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?

2 自变量的集合,并写出最大值、最小值。 y
1

) 取得最大值、最小值的

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

分析:令 z ? 2 x ?

?

化未知为已知
整体代换

2 则 y ? 3 sin z

数形结合

5.正弦余弦函数的单调性
函数 y ? f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 , x1 ? x2 ,都有: 且

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1、__________,则f(x)在这个区间上是增函数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2、__________,则f(x)在这个区间上是减函数.
函数的单调性反映了函数在一个区间上的图像走向。

增函数:图像上升

减函数:图像下降

观察正余弦函数的图象,探究其单调性

探究:正弦函数的单调性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

? 3 5 … [? 5? ,? 3? ]、 ? , ]、 ? ,? ]…上时, [? [ 当 在区间

x

2

2

2 2

2

2

曲线逐渐上升,sinα的值由 ? 1增大到 1 。
7? 5? 3? ? ? 3? 5? 7? [? ? [ [ 当x在区间 … [? , ? ]、 , ]、 , ]、 , ] … 2 2 2 2 2 2 2 2

上时,曲线逐渐下降, sinα的值由1减小到 ? 1 。

探究:正弦函数的单调性
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?

? 2k? ]( k ? Z )

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

[? 0] [? 2? 上时, 当x在区间?[?3? , ?2? ]、 ?,、 , ][3? , 4? ]?

曲线逐渐上升,cosα的值由? 1 增大到1 。
[0 [2 3? 当x在区间 ?[?2? , ?? ]、,? ]、 ?, ]? 上时,

曲线逐渐下降, sinα的值由1 减小到? 1 。

探究:余弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[k ? 2?

? ? , 2k? ]都是增函数,

其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? ,2k? ? ? ] 上都是减函数, 其值从1减小到-1。

练习:不求值,判断下列各式的符号。
23? 17? 2、 ? cos( ) ? cos( ? ) 1、 ? ) ? sin( ? ) sin( 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 ? cos( ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 3? ?
? cos

?

?

解: ? ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 1、 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。

23? 17? ? cos(? ) ? cos(? )? 0 5 4

? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 5 4

? 3.求函数的单调增区间

分析:
?
2

?? ?1 y ? sin ? x ? ? 3? ?2

y ? sin z
? ? 2k? ? z ?

?
2

y=sinz的增区间
? 2k?

1 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

?

5? ? ? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3
? ? 5? ? ? ? 4k? , ? 4k? ? , k ? Z ? 3 3 ? ?

原函数的增区间

? 求函数的单调增区间
?? ?1 y ? sin ? x ? ? , x ? [?2? ,2? ] 3? ?2
?2? 2?

? ? 5? ? ? ? 3 ? 4k? , 3 ? 4k? ? ? ?

k ? ?1,

k ? 0,
k ? 1,

? 17? 11? ? ?? 3 , ? 3 ? ? ? ? 5? ? ? ?? 3 , 3 ? ? ? ? 7? 11? ? ? 3 , 3 ? ? ?



变式练习

? 求函数的单调增区间
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2



y ? sin z 减

?

3? ? 2k? ? z ? ? 2k? 减 2 2

?

1 ? 3? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? 2 2 3 2

5? 11? ? 4k? ? x ? ? 4k? 3 3
11? ? 5? ? ? 4k? , ? 4k? ? , k ? Z ? 3 3 ? ?



? 求函数的单调增区间
为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
?? ? 1 y ? sin ? ? x ? ? 3? ? 2 ?? ?1 y ? ? sin ? x ? ? 3? ?2
y ? ? sin z


sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?


增 减

y ? sin z

? 求函数的单调增区间
为了防止出错,以及计算方便,遇到负号要提出来
?? ? 1 y ? cos ? ? x ? ? 3? ? 2


sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ?

?? ?1 y ? cos ? x ? ? 3? ?2
y ? cos z y ? cos z


增 增

小结
1.能根据图象说出函数的单调性和最值。

2. y ? A sin(?x ? ? ) ? y ? A sin z
3.化未知为已知,整体代换,数形结合
作业

41页练习5、6,周日回来交


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