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不等式选讲


考点 190 不等式选讲
1.(13 辽宁 T24)已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 . (I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? … 4 ? x ? a 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2? ,求 a 的值. 【测量目标】绝对值不等式的解法,

含参不等式的解法. 【难易程度】中等

?

??2 x ? 6,x ? 2, ? (x ) ? x ? 4 ? ?2, 2 ? x ? 4, 【试题解析】 (1)当 a ? 2 时, f ?2 x ? 6,x …4. ?
当 x ? 2 时,由 f (x) …4- x ? 4 得 ?2 x ? 6 …4 ,解得 x ? 1 ; 当 2 ? x ? 4 时, f (x ) …4 ? x ? 4 无解; (步骤 3)

(步骤 1)

(步骤 2)

当 x …4 时,由 f (x ) …4 ? x ? 4 得 2 x ? 6 …4 ,解得 x …5 .

(步骤 4) (步骤 5)

?f (x ) …4 ? x ? 4 的解集为 ? x x ? 1 或 x …5? .

??2a,x ? 0, ? (x ) ? ?4 x ? 2a, 0 ? x ? a, (步骤 6) (2)记 h 则h (x ) ?f ( 2x ? a ) ?2f (x ), ?2a,x …a. ?
由h (x )? 2 ,解得

a ?1 剟x 2

a ?1 . 2
2? ,

(步骤 7)

又? h (x )? 2 的解集为 x 1 剟x

?

? a ?1 ?1 , ? ? 2 ?? ? a ? 1 ? 2, ? ? 2

? a ? 3.

(步骤 8)

2.(13 江西 T15(2) )在实数范围内,不等式 x ? 2 ? 1 ? 1 的解集为 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】容易 【参考答案】 ? 0, 4? 【试题解析】

.

|| x ? 2 | ?1|剟 1 ? ?1 | x ? 2 | ?1 剟 1 ? 0 | x ? 2 |剟2 ? ?2

x ? 2 剟2 ? 0

x? 4.

3.(13 福建 T22(3) )设不等式 x ? 2 <a (a ? N ) 的解集为 A ,且
*

3 1 ? A, ? A. 2 2

(I)求 a 的值; (II)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值. 【测量目标】绝对值不等式,基本不等式求最值.. 【难易程度】中等 【试题解析】 (I)因为 解得

3 1 3 1 ∈A,且 ? A,所以 ? 2 <a ,且 ? 2 …a , 2 2 2 2

1 3 <a ? .又因为 a∈N*,所以 a=1.(步骤 1) 2 2 (II)因为|x+1|+|x-2| …|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2) ? 0,即-1 ? x ? 2 时取到等号.所以 f(x)的最小值为 3.(步骤 2)
4.(13 湖南 T10)已知 a, b, c ? R, a ? 2b ? 3c ? 6, 则 a ? 4b ? 9c 的最小值为
2 2 2

.

【测量目标】柯西不等式,最值问题. 【难易程度】中等 【参考答案】12 【 试 题 解 析 】 由 柯 西 不 等 式 得 (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? 4b2 ? 9c2 ) …(a ? 2b ? 3c)2 , 即

a2 ? 4 b2? 1 9c2 ?

2 2 2 1,(步骤 2 1)当 a ? 2b ? 3c ? 2 时等号成立,所以 a ? 4b ? 19c 的

最小值为 12. (步骤 2 5.(13 江苏 T21.D) a …b >0,求证: 2a ? b …2ab ? a b .
3 3 2 2

【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】较难
3 2 2 3 【试题解析】证明:∵ 2a ? b ? 2ab ? a b ? (2a ? 2ab ) ? (a b ? b ) ?
3 3 2 2

2a(a2 ? b2 ) ? b(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )(2a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(2a ? b) ,(步骤 1)
又 ∵ a …b >0, ∴ a ? b >0, a ? b …0 2a ? b ? 0 ,∴ (a ? b)(a ? b)(2a ? b) …0(步骤 2) ∴ 2a
3

? b3 ? 2ab2 ? a2b …0 ∴ 2a3 ? b3 …2ab2 ? a2b .(步骤 3)
1 ; 3

6.(13 新课标(II)T24)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac ?

a 2 b2 c 2 ? ? …1 . (2) b c a
【测量目标】不等式证明,均值不等式. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)由 a2+ b …2ab,b2+c2 …2bc,c2+a2 …2ca, 得 a2+b2+c2 …ab+bc+ca.(步骤 1)
2

由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca) ? 1,即 ab+bc+ca ? (2)因为

1 .(步骤 2) 3

a2 b2 c2 ? b …2a , ? c …2b , ? a …2c , b c a 2 2 2 a b c ? ? ? (a ? b ? c) …2(a+b+c), 故 (步骤 3) b c a a 2 b2 c 2 ? ? …a+b+c. 即 b c a a 2 b2 c 2 ? ? …1.(步骤 4) 所以 b c a
7.(13 重庆 T16)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是 ________. 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】较难 【参考答案】(-∞,8] 【试题解析】由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,(步骤 1) ∴不等式|x-5|+|x+3|<a 无解时,a 的取值范围为(-∞,8].(步骤 2)

3]上随机取一个数 x ,使得 x ?1 ? x ? 2 … 8.(13 山东 T14)在区间[-3, 1 成立的概率为
______. 【测量目标】解绝对值不等式、几何概型. 【难易程度】中等. 【参考答案】

1 3

x …2, ?3, ? 【试题解析】设 y ? x ? 1 ? x ? 2 = ? 2 x ? 1, ?1 ? x ? 2, 利用函数图象可知 ??3, x ? ?1, ?
+∞). 而在[-3,3] 上满足不等式的 x 的取值范围为[1,3], x ?1 ? x ? 2 … 1的解集为 [1, 3 ?1 1 ? . 故所求概率为 3 ? ??3? 3 9.(13 新课标(1) ) f ( x ) = 2x ?1 ? 2x ? a ,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f ( x ) <g(x)的解集; ? a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ? , ? 时,f(x) ? g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2? 【测量目标】绝对值的意义,分段函数及其图象,恒成立问题. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3< 0 .(步骤 1) 设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, 剟x 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?

1, (步骤 2)

其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (步骤 3)

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2? 不等式 f(x) ? g(x)化为 1+a ? x+3. ? a 1? 所以 x …a-2 对 x∈ ? ? , ? 都成立. (步骤 4) ? 2 2? a 4 故 ? …a-2,即 a ? . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? .(步骤 5) 3? ?
(2)当 x∈ ? ?

SYY92 10. ( 13 湖北 T13 )设 x, y, z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则
2 2 2

x? y?z?

.

【测量目标】柯西不等式的应用. 【难易程度】容易 【参考答案】

3 14 7
2 2 2 2 2 2 2

【试题解析】由柯西不等式可得 ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 3 ) …( x ? 2 y ? 3z) ,即 (步骤 1)因此 x ? 2 y ? 3z ? ( x ? 2 y ? 3z)2 ? 14 , 2)所以 x ? (步骤 14 ,因为 x ? 2 y ? 3z ? 14 ,

y z 3 14 14 14 3 14 ? ,解得 x ? ,于是 x ? y ? z ? (步骤 3) ,y? ,z ? 2 3 7 14 7 14
2 2 2

2 2 2 11. ( 12 湖 北 T6 ) 设 a, b, c, x, y, z 是正 数, 且 a +b +c =10 , x ? y ? z ? 40 , 则

a?b?c ? x? y?z
( A. )

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

【测量目标】柯西不等式. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】由于 (a2 ? b2 ? c2 )( x2 ? y 2 ? z 2 ) …(ax ? by ? cz)2 等号成立当且仅当

a b c ? ? ? t ,则 a ? tx,b ? ty,c ? tz , x y z

t 2 ( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 (步骤 1) 1 a b c a?b?c 所以由题知 t ? , 又 ? ? ? (步骤 2), 2 x y z x? y?z a?b?c 1 所以 ? t ? ,答案选 C.(步骤 3) x? y?z 2
12.(12 陕西 T15.A)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 【测量目标】绝对值不等式的性质及其运用. 【参考答案】 ?2 剟a 4 【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可,根据不等式的性质得. 13.(12 江苏 T22.D)已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . , | 2 x ? y |? , 3 6 18

【测量目标】不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用. 【难易程度】容易 【试题解析】? 3 y ? 3 y ? 2 ? x ? y ? ? ? 2 x ? y ? ? 2 x ? y ? 2 x ? y 由题意知 x ? y ?

1 1 2 1 5 , 2 x ? y ? ,从而 3 y ? ? ? , (步骤 1) 3 6 3 6 6

?y ?

5 . (步骤 2) 18

(x ? a) ? ( x ?1) 剟3,? a ?1

3, ?2 剟a

4.

) … 0 的解集为 ??1,1? . 14. (12 福建 T21 (3) ) 已知函数 f ( x) ? m ? x ? 2 , m ? R , 且 f ( x ?2
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ,且

1 1 1 ? ? ? m ,求证: a ? 2b ? 3c …9 . a 2b 3c

【测量目标】绝对值不等式,柯西不等式. 【难易程度】中等

【试题解析】 (Ⅰ)? f ( x ? 2) ? m ? x 厔0,? x

(步骤 1) m,

m > 0 ? ?m < x < m, f ( x ? 2) 厔0 ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

x ? 1, ? m ? 1 .(步骤 2)

1 1 1 ? ? ? 1 , a, b, c ? R ,由柯西不等式得: a 2b 3c
2

1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? …? a ? ? 2b ? ? 3c ? ? ?9. a 2b 3c ? ? a 2b 3c ? ?
15.(12 新课标 T24)24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ? x ? …3 的解集; (2)若 f ? x ? ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围. 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】中等

??2 x ? 5, x ? 2 ? 【试题解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? ?1, 2 ? x ? 3 (步骤 1) ?2 x ? 5, x …3 ?
当 x ? 2 时,由 f ( x) …3 得 ?2 x ? 5 …3 ,解得 x ? 1 ;(步骤 2) 当 2 ? x ? 3 时,由 f ( x) …3 得 1 …3 ,无解;(步骤 3) 当 x …3 时,由 f ( x) …3 得 2 x ? 5 …3 ,解得 x …4 ;(步骤 4)

1} ? {x | x 所以 f ( x) …3 的解集为 {x | x 剠

4}

| x ? 4 |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | | x ? a | (2) f ( x) 剠 | x?a| 当 x ? [1, 2] 时, | x ? 4 | ? | x ? 2 |… ? 4 ? x ? (2 ? x) … | x?a|
? ?2 ? a 剟x 2 ? a ? 2 ? a ? 1 且 2 ? a …2 ,即 ?3 剟a 由条件得
故满足条件的 a 的取值范围为 [?3, 0] 16.(12 湖南 T10)不等式 2x ? 1 ? 2 x ?1 ? 0 的解集为_______. 【测量目标】绝对值不等式.

0

【难易程度】中等 【参考答案】 ? x x ?

? ?

1? ? 4?

1 ? ? ?3, ( x ? ? 2 ) ? 1 ? ? 【试题解析】令 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2 x ?1 ,则由 f ( x ) ? 4 x ? 1, ( ? 剟x 1) (步骤 1) 2 ? 3, ( x ? 1) ? ? ?
得 f ( x) ? 0 的解集为 ? x x ?

? ?

1? (步骤 2) ?. 4?

17.(12 广东 T9)不等式 x ? 2 ? x ? 1 的解集为_____. 【测量目标】含有绝对值不等式的解法. 【难易程度】容易 【参考答案】 ? x x ? ? ? 【试题解析】当 x …0 时,原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 解得 x 无解;

? ?

1? 2?
1 ? ; 2

1 0 时,原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 解得 x ? ? , 所以 ?2 剟x 2 当 x ? ?2 时,原不等式可化为 ? x ? 2 ? x ? 1 解得 x ? ?2 (步骤 1) 1 综上知 x ? ? 2
当 ?2 剟x 故原不等式的解集为 ? x x ? ? ? .(步骤 2)

? ?

1? 2?

18. (12 江西 T15(2) )在实数范围内,不等式 2x ?1 ? 2x ? 1 ? 6 的解集为___________. 【测量目标】绝对值不等式的解法. 【难易程度】中等 【参考答案】 ? x ?

? ?

3 剟x 2

3? ? 2?

1 1 ? ? 1 ?x ? ? , ?? ? x ? , ②或 【试题解析】原不等式可化为 ? ①或 ? 2 2 2 ? ? ?1 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 6, ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6 1 ? 3 ?x … , ③由①得 ? 剟x 2 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 6,
1 1 1 1 ? ;由②得 ? ? x ? ;由③得 剟 x 2 2 2 2 3 , 2

综上,得原不等式的解集为 ? x ?

? ?

3 剟x 2

3? ?. 2?

19.(12 辽宁 T24)已知 f ? x ? = ax+1 ? a ? R ? ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 x ? 2 剟x (1)求 a 的值 (2)若 f ? x ? ? 2 f ?

?

1?

? x? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围 ?2?

【测量目标】不等式恒成立问题. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)由 ax+1 ? 3 得 ?4 剟ax 当 a ? 0 时,不合题意 当 a >0 时, ?

2 ,又 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x ? 2 剟x

1? ,所以

4 剟x a

2 ,得 a =2 (步骤一) a

? ?1,x ? ?1 ? 1 ? ? x? (2)记 h ? x ? =f ? x ? ? 2 f ? ? ,则 h ? x ? = ??4 x ? 3, ? 1<x < ? , 2 ?2? ? 1 ? ?1,x …? ? ? 2
所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k …1 (步骤二). 20.(11 辽宁 T24) 已知函数 f ( x) =|x ? 2| ? | x ? 5|. (I)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3; (II)求不等式 f ( x) …x2 ? 8 x+15 的解集. 【测量目标】不等式的证明,分段函数. 【难易程度】中等

x ? 2, ??3, ? 【试题解析】 (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, (步骤 1) ?3, x …5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 剟 f ( x)

3.

(步骤 2)

(II)由(I)可知, 当 x 剠2时, f ( x)

x2 ? 8x ? 15 的解集为空集;

当 2 ? x ? 5时, f ( x) 厔x2 ? 8x ?15的解集为 {x | 5 ? 3

x ? 5} ;

当 x 厖5时, f ( x)

x2 ? 8x ? 15的解集为{x | 5 剟x

6} .(步骤 3)

综上,不等式 f ( x) 厔x2 ? 8x ?15的解集为 {x | 5 ? 3 21.(11 福建 T21(3) )设不等式 2x ?1 ? 1 的解集为 M . (Ⅰ)求集合 M ; (Ⅱ)若 a, b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. 【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】中等

x ? 6}. (步骤 4)

【试题解析】 (Ⅰ)由 2x ?1 ? 1 得 ?1 ? 2 x ? 1 ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 , 所以 M ? x 0 ? x ? 1 . (步骤 1) (Ⅱ)因为 a, b ? M ,则 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , (步骤 2)

?

?

? ab ?1? ? ? a ? b? ? ? a ?1??b ?1? ? 0 ,
所以 ab ? 1 ? a ? b . (步骤 3) 22.(11 湖南 T10)如图, A, E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC ? 4 ,

AD ? BC ,垂足为 D, BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为

.

第 11 题图 zjj37 【测量目标】几何证明选讲. 【难易程度】容易 【参考答案】

2 3 3
?

【试题解析】由题可知, ?AOB ? ?EOC ? 60 , OA ? OB ? 2 ,得

OD ? BD ? 1 , DF ?

3 , 3 2 3 . 3

CD ? 3 ,所以 AF ? AD ? DF ? 又 AD ? BD?
2

23.(11 江西 T15(2) )对于实数 x, y 若 x ? 1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值



.

【测量目标】解对值不等式. 【考查方式】利用绝对值不等式直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】? x ?1 ? 1 ? 0 剟x

2 , 又? y ? 2 ? 1 ? 1 剟 y

3,

综上: ( x ? 2 y ? 1) ???5,1? ,因为取绝对值最大,即为 5.

| x ? 1| ? | x ? 2 | 存在实数解,则实数 a 的取值 24.(11 陕西 T15.A)若关于 x 的不等式 | a |…
范围是 .

【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】中等 【参考答案】 (??, ?3] ? [3, ??) . 【试题解析】当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; (步骤 1) 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ; (步骤 2) 当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; (步骤 3) 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 , 即实数 a 的取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) . (步骤 4) 25.(11 广东 T9)不等式 x ? 1 ? x ? 3 …0 的解集是 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】容易 【参考答案】 [1,??) 【试题解析】∵ x ? 1 … x ? 3 ,∴ ( x ? 1) …( x ? 3) ,解得 x …1 .
2 2



26.(11 山东 T4)不等式 x ? 5 ? x ? 3 ≥10 的解集是 A. [?5, 7] B. [4, 6] C. (??, ?5] ? [7, ??)





D. (??, ?4] ? [6, ??)

【测量目标】绝对值不等式.

【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】当 x ? 5 时,原不等式可化为 2 x ? 2 ≥ 10 ,解得 x ≥ 6 ; (步骤 1) 当 ?3 ≤ x ≤ 5 时,原不等式可化为 8 ≥ 10 ,不成立; (步骤 2) 当 x ? ?3 时,原不等式可化为 ?2 x ? 2 ≥ 10 ,解得 x ≤ ?4 .综上可知 x ≥ 6 ,或 x ≤ ?4 , 答案应选 D.(步骤 3) 另解 1:可以作出函数 y ? x ? 5 ? x ? 3 的图象, (步骤 1) 令 x ? 5 ? x ? 3 = 10 可得 x = ?4 或 x ? 6 , (步骤 2) 观察图象可得 x ≥ 6 ,或 x ≤ ?4 可使 x ? 5 ? x ? 3 ≥10 成立,答案应选 D.(步骤 3) 另解 2:利用绝对值的几何意义, x ? 5 ? x ? 3 表示实数轴上的点 x 到点 x ? ?3 与 x ? 5 的 距离之和,要使点 x 到点 x ? ?3 与 x ? 5 的距离之和等于 10,只需 x = ?4 或 x ? 6 ,于是当

x ≥ 6 ,或 x ≤ ?4 可使 x ? 5 ? x ? 3 ≥10 成立,答案应选 D.
27.(11 新课标 T24) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) …3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) …3x ? 2 可化为

? ,求 a 的值.

| x ? 1|…2 , (步骤 1)
由此可得

x …3 或 x ? ?1 ,

故不等式 f ( x) …3x ? 2 的解集为

{x | x …3 或 x ? ?1} .(步骤 2)
( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 , (步骤 3) 此不等式化为不等式组

? x …a, ? x ? a, 或? ? ? x ? a ? 3x ? 0, ?a ? x ? 3x ? 0,

? x …a, ? ? a 即 x? , ? ? 4

? x ? a, ? 或? a (步骤 4) a? ? , ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?.

a = ?1 ,故 a ? 2 .(步骤 5) 2

28.(11 天津 T13)已知集合 A ? x ? R x ? 3 ? x ? 4 ? 9 ,

?

?

? 1 ? B ? ? x ? R x ? 4t ? ? 6, t ? ? 0, ?? ?? ,则集合 A ? B ? t ? ?
【测量目标】不等式的求解和集合间的基本运算. 【难易程度】中等 【参考答案】 {x ?2 剟x



5}

【试题解析】解集合 A : 当 x ? ?3 时,不等式化为 ?3 ? x ? 4 ? x ? 9 ,解得 x …?4 .所以解为 ?4 ? x ? ?3 ; 当 ?3 剟x 4 时,不等式化为 x ? 3 ? 4 ? x ? 9 ,即 7 ? 9 .所以解为 ?3 剟x 4 ; 当 x ? 4 时,不等式化为 x ? 3 ? x ? 4 ? 9 ,解得 x ? 5 ,所以解为 4 ? x ? 5 . 综合以上, A ? x ?4 剟x

?

5? .

解集合 B :因为 t ? 0 ,所以 x ? 4t ? ? 6 …2 4t ? ? 6 ? 4 ? 6 ? ?2 , 所以 B ? x x …?2 ,因而 A ? B ? x ?2 剟x

1 t

1 t

?

?

?

5? .
2
2 2

? 1 1 1? 29. (10 辽宁 T24) 已知 a, b, c 均为正数, 证明: a +b +c + ? ? ? ? … 6 3 , 并确定 a, b, c ?a b c?
2

为何值时,等号成立. 【测量目标】均值不等式,基本不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】证明:(证法一) 因为 a, b, c 均为正数,由均值不等式得

a ? b ? c …3(abc) ,
2 2 2 1 ? 1 1 1 ? ? … 3(abc) 3 , a b c

2 3



所以 ?

2 ? ? 1 1 1? 3 … . (步骤 1) 9( abc ) ? ? ? ?a b c? 2 2 ? ? 1 1 1? ? ? ? … 3(abc) 3 ?9(abc) 3 .(步骤 2) ?a b c? ? 2 3

2



2

故 a2+b2+c2+ ?
2

又 3( abc ) 3 ?9(abc)

… 2 27 ? 6 3 ,
2 2



所以原不等式成立.(步骤 3) 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立.当且仅当 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 时, ③式等号成立. 即当且仅当 a=b=c= 3 时,原式等号成立.(步骤 4) (证法二):因为 a, b, c 均为正数,由基本不等式得
1 4
?

a 2 ? b2 …2ab , b2 ? c2 …2bc , c2 ? a 2 …2ac
所以 a2+b2+c2 … ab ? bc ? ac 同理 (步骤 1) ① ②

1 1 1 1 1 1 ? 2? 2 … ? ? 2 a b c ab bc ac 1 a

故 a2+b2+c2+ ( ?

1 1 2 ? ) b c 1 1 1 … ab ? bc ? ac +3 +3 +3 ab bc ac


…6 3 .

所以原不等式成立(步骤 2) 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,( ab )2=( bc )2=(ac)2=3 时,③式等号 成立.即当且仅当 a=b=c= 3 时,原式等号成立. (步骤 3) 30.(10 陕西 T15.A)不等式 x ? 3 ? x ? 2 …3 的解集为 __________ __ . 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】中等 【参考答案】 x x …1
1 4

?

?
3,

【试题解析】 (方法一)当 x ? ?3 时,∵原不等式即为 ? ? x ? 3? ? ? x ? 2? 厖3 ? ?5 这显然不可能,∴ x ? ?3 不适合.(步骤 1) 当 ?3 剟x

2 时,∵原不等式即为 ? x ? 3? ? ? x ? 2? 厖3 ? x 1,又 ?3 剟x

2 ,∴

1 剟x

2 适合. (步骤 2)

当 x ? 2 时,∵原不等式即为 ? x ? 3? ? ? x ? 2? 厖3 ? 5 适合.(步骤 3) 故综上知,不等式的解集为 x 1 剟x

3 ,这显然恒成立,∴ x ? 2

?

2或x ? 2? ,即 ? x x …1? .(步骤 4)

? ?5, x ? ?3, ? (方法二)设函数 f ?x? ? x ? 3 ? x ? 2 ,则∵ f ? x ? ? ?2 x ? 1, ?3 剟x 2, ∴作函数 f ?x ? ? 5, x ? 2, ?
的图象,如图所示,并作直线 y ? 3 与之交于点 A . 又令 2 x ? 1 ? 3 ,则 x ? 1 ,即点 A 的横坐标为 1 . 故结合图形知,不等式的解集为 x x …1 .

?

?

第 15 题 A 图

ZJJ4

31.(10 江苏 T21.D)设 a、 b 是非负实数,求证: a3 ? b3 … ab (a2 ? b2 ) . 【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】较难 【试题解析】 (方法一) 证明:a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a )

? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? ( a ? b )2[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] (步骤 1)
因为实数 a、b …0 , ( a ? b )2 …0,

[( a )4 ? ( a )3 ( b ) ? ( a )2 ( b )2 ? ( a )( b )3 ? ( b )4 ] …0 (步骤 2)
所以上式≥0.即有 a3 ? b3 … ab (a2 ? b2 ) .(步骤 3) (方法二)证明:由 a、 b 是非负实数,作差得

a3 ? b3 ? ab (a2 ? b2 ) ? a2 a ( a ? b ) ? b2 b ( b ? a ) ? ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ]

当 a …b 时, a … b ,从而 ( a )5 …( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] …0 ; (步骤 1) 当 a ? b 时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b )5 ,得 ( a ? b )[( a )5 ? ( b )5 ] ? 0 ; (步骤 2) 所以 a3 ? b3 … ab (a2 ? b2 ) .(步骤 3) 32.(10 福建 T21(3) )已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1剟x

5? ,求实数 a 的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) …m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 【测量目标】绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 剟x 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1剟x

a?3, (步骤 1)

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 .(步骤 2) 5? ,所以 ? ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是(步骤 3)

? ?2 x ? 1,x < ? 3 ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3| = ?5, ? 3 剟x 2 , ( 步骤 4 )所 以当 x ? ?3 时 , g ( x ) ? 5; 当 ? 2 x ? 1,x >2 ?
?3 剟x 2 时, g ( x) ? 5 ;当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 ,?m 的取值范围为 ? ??,5? .(步骤 5)

33.(10 广东 T15)在极坐标系 ? ?,? ?? 0 ? ? ? 2π ? 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos ? ? ?1 的 交点的极坐标为______. 【测量目标】坐标系与参数方程. 【难易程度】中等

【参考答案】 ( 2,

3π ) 4

【试题解析】由极坐标方程与普通方程的互化式 ?

? x ? ? cos ? , 知, (步骤 1) ? y ? ? sin ?

? ? 2sin ? ? x2 ? y 2 ? 2 y ;

? cos ? ? ?1 ? x ? ?1 .(步骤 2)
解得 ?

? x ? ?1, ? x ? ? cos ? , 3π 由? (步骤 3) ? ? ?1,1? 的极坐标为 ( 2, ) . 4 ? y ? ? sin ? ? y ? 1.

34.(10 宁夏 T24)设函数 f ? x ? ? 2x ? 4 ? 1(Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图象 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围. 【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)由于 f ? x ? ? ?

??2 x ? 5, x ? 2 ,函数 y ? f ( x) 的图象如图所示. (步骤 1) ? 2 x ? 3, x …2

第 24 题图 xy58 (Ⅱ)由函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? ax 的图象可知,当且仅当 a … 或 a ? ?2 时,函数

1 2

y ? f ? x ? 与函数 y ? ax 的图象有交点. (步骤 2)故不等式 f ? x ? ? ax 的解集非空时,a 的取
值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? .(步骤 3) 35.(09 福建 T21(3) )解不等式 2x ?1 ? x ? 1 . 【测量目标】不等式选讲. 【难易程度】中等 【试题解析】当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? ? x ? 1 ,解得 x ? 0 又? x ? 0,? x 不存在;

?1 ?2

? ?

1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 0 . 2 1 1 又? 0 ? x ? ,? 0 ? x ? ; 2 2
当0? x ?

当 x 厔 ,?

1 2

1 2

x?2

综上,原不等式的解集为 x 0 ? x ? 2 .

?

?

36.(09 广东 T14)不等式

x ?1 x?2

…1 的实数解为



【测量目标】解一元二次不等式 【难易程度】中等

3 且 x ? ?2 } 2 ? x ?1 … x ? 2 x ?1 ?( x ? 1)2 …( x ? 2) 2 ?2 x ? 3 ? 0 ? 【试题解析】 ?? …1 ? ? ?? x?2 ? ? x ? ?2 ?x ? 2 ? 0 ? x ? ?2 3 3 解得 x ? ? 且 x ? ?2 .所以原不等式的解集为{ x | x ? ? 且 x ? ?2 }. 2 2 2 3 2 2 37.(09 江苏 T21.D) a …b ? 0 ,求证: 3a ? 2b …3a b ? 2ab .
【参考答案】{ x | x ? ? 【测量目标】不等式比较大小. 【难易程度】中等 【试题解析】证明:

3a2 ? 2b3 ? (3a2b ? 2ab2 ) ? 3a2 (a ? b) ? 2b2 (b ? a) ? (3a2 ? 2b2 )(a ? b) .(步骤 1)
因为 a …b ? 0 ,所以 a ? b …0,3a ? 2b ? 0 (步骤 2)
2 2

,从而 (3a2 ? 2b2 )(a ? b) …0 .(步骤 3) 即 3a ? 2b …3a b ? 2ab .
2 3 2 2

38.(09 辽宁 T24)设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) …3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) …2 ,求 a 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【测量目标】不等式. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ?1 ? x ?1 . 由 f ( x) …3 得 x ?1 ? x ?1 …3 (步骤 1) 1 当 x ? ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x …3 即 ?2 x …3 (步骤 2) ○

(1) 当 x ? 1 时, 联立不等式组 ?

? x ?1 ?3 ? 解得其解集为 ? , 综上得 f ( x) …3 的 +? ? , ?2 ? ? f ( x) …3

解集为 ? ??, ?

? ?

3 ? ?3 ? ? ? ? , ?? ? .(步骤 3) 2 ? ?2 ?

(2)若 a ? 1, f ( x) ? 2 x ?1 ,不满足题设条件.

? ?2 x ? a ? 1, x ? a, ? ①若 a ? 1 , f ( x) ? ? 1 ? a, a ? x ? 1, f ( x ) 的最小值为 1 ? a (步骤 4) ? 2 x ? (a ? 1), x …1 ? ? ?2 x ? a ? 1, x ? 1, ? ②若 a ? 1, f ( x ) ? ? 1 ? a,1 ? x ? a, f ( x ) 的最小值为 a ? 1 (步骤 5) ?2 x ? (a ? 1), x …a ?
)… 2的 充 要 条 件 是 a ?1 …2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为 所 以 ?x ? R, f( x
.(步骤 6) (-?, ?1? ? ?3, ? ?) 39.(09 山东 T13)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 【测量目标】解绝对值不等式. 【难易程度】中等 【参考答案】 {x | ?1 ? x ? 1} .

?1 ? ? x …2 ? ?x?2 【试题解析】原不等式等价于不等式组① ? 或② ? 2 ? ?2 x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 0 ? ?2 x ? 1 ? ( x ? 2) ? 0 1 ? ?x ? 或③ ? , (步骤 1) 2 ? ??(2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 0
不等式组①无解,由②得

1 1 ? x ? 1 ,由③得 ?1 ? x ? ,(步骤 2) 2 2

综上得 ?1 ? x ? 1 ,? 原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} .(步骤 3)


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