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高中数学立体几何习题精选精讲


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例谈立体几何中的转化 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富,其中最重要的就是转化的思想方法,它 贯穿立体几何教学的始终,在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是 空间问题向平面问题的转化,具体从以下几个方面入手。 1、 位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几

何中的一个重点内容,其精髓就是 平行与垂直位置关系的相互依存及转化,平行与垂直问题不但能横向转化,而且可以纵向转 化。 例 1 已知三棱锥 S-ABC 中, ∠ABC=90° , 侧棱 SA⊥底面 ABC, 点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是点 E、F。求证 EF⊥SC。 S 分析:∵A、E、F 三点不共线,AF⊥SC, F ∴要证 EF⊥SC,只要证 SC⊥平面 AEF, 只要证 SC⊥AE(如图 1)。 E 又∵BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面 SAB, A ∴SB 是 SC 在平面 SAB 上的射影。 ∴只要证 AE⊥SB(已知),∴EF⊥SC。 例 2 设矩形 ABCD,E、F 分别为 AB、CD 的中点,以 EF 为棱将矩形 B 折成二面角 A-EF-C1(如图-2)。求证:平面 AB1E∥平面 C1DF。 图-1 分析一(纵向转化):

C

B E A ∵AE∥DF,AE ? 平面 C1DF, ∴ AE∥平面 C1DF.同理,B1E∥平面 C1DF, D1 又 AE∩B1E=E,∴平面 AB1E∥平面 C1DF。 分析二(横向转化): ∵AE∥EF, B1E⊥EF, 且 AE∩B1E=E, ∴EF⊥平面 C1DF。 D C F 同理,EF⊥平面 C1DF 。平面 AB1E∥平面 C1DF。 C1 2、降维转化 图-2 由三维空间向二维平面转化,是研究立体几何问题的重要 数学方法之一。 降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一 个平面中去,用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明 就是转化为三角形全等的平面问题。
例 3 如图-3,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BC= 2 ,BB1=2,

?ABC ? 90? ,E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E
到 F 两点的最短路径的长度为 .

3 2 2

分析:这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。 又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算,最终都是转化为平面上两 相交直线成的角来进行的。

图-3

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例 4 如图-4 直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 ,底面 ABCD 是直角梯形,∠ A 是直角,AB||CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小.(结果用 反三角函数值表示) 解:由题意 AB//CD,

? ?C1 BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角.
连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得 AC ? 5 , 又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH//AD 交 AB 于 H, 得 ?CHB ? 90?, CH ? 2, HB ? 3,?CB ? 13 又在 Rt?CBC1 中,可得 BC1 ? 17 ,

图-4

AB2 ? BC12 ? AC12 3 17 3 17 在 ?ABC1中, cos?ABC1 ? ? ,? ?ABC1 ? arccos . 2 AB ? BC1 17 17
∴异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为。 实现空间问题向平面问题转化的方法很多,常用的就有:平移法、射影法、展开法和辅 助面法等等。 3、割补转化 “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一,通过“割”或“补”可化复 杂图形为已熟知的简单几何体,从而较快地找到解决问题的突破口。 例 5 如图 5,三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=n, PA 与 BC 的公垂线 ED=h, 1 求证:三棱锥 P-ABC 的体积 V= n2h. 6 此题证法很多,下面用割补法证明如下: 分析一:如图 5,连结 AD、PD,∵BC⊥DE,BC⊥AB, ∴BC⊥平面 APD,又 DE⊥AP,
E A B 图—5 D C P

C1 B1 C B

P

1 1 2 n h 3 6 ∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD= BC·S⊿APD=

E


A
图-6

分析二:如图 6,以三棱锥 P-ABC 的底面为底面,侧棱 PA 为 侧棱,补成三棱拄 PB1C1-ABC,连结 EC、EB,则易证 AP⊥平面 EBC,

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1 ∴V 三棱拄=AP·S⊿EBC= 2 n2h。 1 ∴VP-ABC = 3 V 三棱拄 =

A B A1

D C D1 C1 图-9
A1 B1 D1

1 2 n h 6 。

4、等积转化 B1 “等积法”在初中平面几何中就已经有所应用,是一种很 实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化” (或称等积 变换)是以面积、体积(尤其是四面体的体积)作为媒介,来沟通有 关元素之间的联系,从而使问题得到解决。 例 6 如图 7,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,E、 F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1-EBFD1 的体积。 略解:易证四边形 EBFD1 是菱形, 连结 A1C1、EC1、AC1、AD1, 则 VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=2VC1- A1ED1

C1
E F D A1 B C

1 1 =2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1= 6 V 正方体 AC1= 6 a3。
5、抽象向具体转化 例 7 A、B、C 是球 O 面上三点,弧 AB、AC、BC 的度 数分别是 90° 、90° 、60° 。求球 O 夹在二面角 B-AO-C 间部 分的体积。 分析: 此题难点在于空间想象, 即较抽象。 教师 引 导学生读题:条件即∠AOB=∠AOC=90° ,∠BOC=60° ,然 后给出图形(如图 8),则可想象此题意即为用刀沿 60° 二面 角,以直径为棱将一个西瓜切下一块,求这一块西瓜的体积,
图-7 O B C

A

图-8

2?r 3 (答: 9 )。问题于是变得直观具体多了。
例 8 三条直线两两垂直, 现有一条直线与其中两条直线都成 60° 角, 求此直线与另外一 条直线所成的角。 分析:由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直,于是问题可以转化为如下问题:长 方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是 60° 、60° 、α ,求α 的大小。 根据长方体的性质,有 cosα +cos60° +cos60° =1,可求得α =45° 。 立体几何的教学,关键是要调动学生的学习兴趣,让他们学会联想与转化。立体几何 的许多定理、结论源自生活实际,源自平面几何,要教会学生联想实际模型,联想平面几何 中已经熟悉的东西, 借助可取之材来建立空间想象, 加强直观教学, 这样就容易让学生接受, 让他们喜欢上这一门学科,从而更有效地培养他们的空间想象力,提高他们解决立体几何问 题的能力。 立方体在高考题中 立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体. 首先:其本身中
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的点、 线、 面的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系. 其次: 它与代数(如: 不等式、 函数与数列、排列组合等)、三角、解析几何有着密切联系. 因而它是高考命题的热点. 下面 从数学思想方法方面探究其重要性. 一.体现数形结合思想 1.2004 年天津卷(6)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的 中心,E、F 分别是 CC1 、AD 的中点.那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角 ? 的余弦值等于. (A)

10 5

(B)

15 5

(C)

4 5

(D)

2 3
Z
D1 B1 C1

分析:可建立空间直角坐标系(如图),转化为空间向量的数量关系 运用数量积来求解,可得 OE =(-1,1,1), FD1 =(-1,0,2)

OE = 3 ,
有 又

FD1 = 5 ,
A1

E

OE 〃 FD1 =(-1,1,1) 〃(-1,0,2)=3
D C O B

Y

OE 〃 FD1 = 3 〃 5 cos ?
X
A

F

∴ 3 〃 5 cos ? =3 即 cos ? =

15 .故选(B) 5

B A

注:立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法 求解(将形和数很好地结合起来)是个好方法. 2.2003 年全国卷(12)一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( (A) 3? (B)4 ? (C) 3 3? ) (D) 6?

D C

分析:本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体. 如图,将正四面体 ABCD 补成立方体,则正四面体、立方体的中心 与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为 2 , 所以正方体棱长为 1,从而外接球半径 R=

3 ,得 S球= 3? .故选(A). 2

注: “补形割体”构造模型,进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到 顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段. 二.体现转化与化归思想

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3.2003 年全国(理)(16).下列 5 个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 l ? 面 MNP 的图形的序号是 (写出所 有符合要求的图形序号)__________.
P M P N l M l l N M N M P M l N l N P

P

① ② ③ ④ ⑤ 分析:易知①是合要求的,由于五个图形中的 l 在同一位置,只要观察图②③④⑤ 中的平面 MNP 哪一个和①中的平面 MNP 平行(转化为面面平行) 即可. 故为: ①④⑤ 注:本题中选①中平面 MNP 作为“参照系”,可清淅解题思路,明确解题目标. 4.2004 年北京卷(4)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B) 圆 D1 C1 (C) 双曲线 A1 B1 (D) 抛物线
P

分析:易知 P 到直线 C1D1 的距离为: PC1 .

D

由 C1 是定点, BC 是定直线. A B 条件即动点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离.符合抛物线的定义 ,化归为抛物 线问题.故选(D) 注:立几中的解几问题是近年来才露脸的题型,要求熟练掌握立体几何和解析几何所有知识 内容,更要有跳跃的思维,较强的转换能力. 三.体现分类讨论思想 5.2000 年全国卷(16)如图,E、F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、 面 BCC1 B1 的中心,则四边形 BFD1 E 在该正方体的面上的射 影可能是______。 (要求:把可能的图的序号都填上)

C

分析: 因正方体是由三对平行面所组成,所以只要将四边形 BFD1 E 在三个方向上作投影即可, 因而可分为三类情况讨论.
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⑴在面 ABCD 上作投影可得②(平行四边形). ⑵在面 ADD1 A1 上作投影可得③(线段). ⑶在面 ABB 1A 1 上作投影可得②(平行四边形). 故可填为:②③ 注:截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型 ,象本题一样的定性分 析题一定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析. 6. 2004 年湖南卷(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的 个数为 (A)56 (B) 52 (C)48 (D)40 分析:可将合条件的直角三角形分为两类:
3 第一类:三个顶点在正方体的同一个面上时有:6 C 4 =24 个.

第二类:三个顶点在正方体的相对的两个面上时,直角三角形所在的平面一定是正方体的 对角面,因而有:6×4=24 个. 故共有:24+24=48 个.从而选 (C) 注:以几何体为载体考查排列与组合的有关问题是高考的传统题型 ,要做到不重复不遗漏地 分类并且注意几何体的结构特点去求解. 四.体现函数与方程思想 7. 2002 全国卷(18) 如图, 正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1, 而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动, 若 CM ? BN ? a (0 ? a ?

2) .
D M

C

(1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时, MN 的长最小; 分析:将图形补成为正方体(如图)运用函数思想求解. (1)作 MK⊥AB 于 K,连 KN.由面 ABCD⊥面 ABEF 得 MK⊥KN.从而 MN = MK 2 ? KN 2 ……① 又由

K A

B

N F

E

BK CM BN ? ? 得 KN∥AF. KA MA NF

从而 KN = BK =

2 2 BN = a ……② 2 2

MK ?

2 2 AM ? ( 2 ? a) ……③ 2 2

将②③代入①有 MN =

1 1 ( 2 ? a) 2 ? a 2 = a 2 ? 2a ? 1 为所求. 2 2

(2)运用函数配方法,由(Ⅰ)知 MN = a 2 ? 2a ? 1 .

(0 ? a ? 2 ) .

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配方有 MN = (a ?

2 2 2 1 ) ? ≥ 2 2 2

即当 a =

2 2 时, MN 取最小值 . 2 2

注:对空间图形中含有一些“动态”因素(象距离、角度等)的问题,可考虑能否把这一动源作 为自变量,构造目标函数,用函数的思想来处理. 8.2004 年湖北(18)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中 点,点 F 是棱 CD 上的动点.试确定点 F 的 使得 D1E⊥平面 AB1F. Z 分析:以 A 为坐标标原点,建立如图所未的空间直角坐标系. D1 A1 运用方程思想(借助向量的数量积)求解. C1 设 DF= x ,则 A(0,0,0) ,B1(1,0,1), B1 ╃ ╃ D1(0,1,1) ,E ?1,

? 1 ? ,0 ? ,F( x ,1,0) ? 2 ?

┽ ╃╃ ┽ B X A

1



╃╃ ┽ F C ╃┽ D Y

∴ D1 E ? ?1,?

? ?

1 ? ,?1? , AF ? ( x,1,0) . 2 ? ? ?

E

于是 D1E⊥平面 AB1 F ∴ D1 E ? AF ? 0 ? ?1,? 既x ?

1 1 ? ,?1? . ( x,1,0) =0 ? x ? ? 0 2 2 ?

1 .故当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥平面 AB1F. 2

在近几年的高考试题中,立方体不仅包涵了所有的数学思想方法,密切了与中学数学中其它 内容的联系,更体现着从静到动 ,从单一到多方面 ,从立方体本身应用问题到利用立方体去解 决问题的发展变化.仔细研究这些变化对学好空间几何无疑是有裨益的. 几点思考: 1.加强对立方体的研究,对空间图形的研究以培养学生的空间想象能力,数形转换能力与逻辑 思维能力. ⑴对立方体本身的研究:如:立方体的内切球,外接球,球与立方体的棱相切等;立方体与正 四面体的联系;以正方体各面的中点为顶点可构成正八面体等. ⑵对空间图形问题中解题方法的研究:以立方体为载体的方法有:平移求角法,割体补形法, 面积射影法,体积相等法,侧面展形法,转化化归法,空间向量法等. ⑶构造立方体以解决有关问题(第二册下 B P 19 3)“已知三个平行平面α、β、γ与两条直线 ? 、

m 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F(图 1),求证:

AB DE ? .”解答此题时学生很容 BC EF

易误将 ? 与 m 共面去理解造成错误.其实构造正方体(图 2)可加强直观性以帮助学生理解.

图1

图2

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通过对立方体及空间图形的研究可培养学生的认识空间图形的能力,建立起空间概念,准 确地理解并熟练运用概念、性质、公理、定理进行判断、推理与转化(如:①线线、线面、 面面垂直关系的转化及平行关系的转化,②把空间距离和角向平面距和平面角的转化,③文 字语言、符号语言、图形语言三者的相互转化.)等 2.加强立方体与其它内容的渗透的研究:立方体与排列组合的结合 ,象染色问题,计数问题; 立方体与解析几何的结合,象轨迹问题;立方体与函数方程的结合,象最值问题;立方体与 代数三角的结合,象角度距离问题;立方体与其它学科的结合,象化学晶体问题等.这样有助 于对正方体的深刻认识与实际应用. 3.通过对立方体及空间图形的研究挖究高考解答题的模式. 高考解答题往往是要解决两大问题:一是证明题,二是计算题.处理方式有两种:⑴在证明 中要以典型的三段论的形式,严格按照演绎推理的步骤完成推理的论证;计算时并非单纯的 数字计算,而是与作图与证明相结合的,立体几何计算题的主要步骤可归纳为: “画—证—算” 三步.“画”是画图,添加必要的辅助线,或画出所要求的几何量,或进行必要的转换化,“证” 是证明,证明所画的几何量即为所求,然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连,环环相扣, 相互制约,是解决立体几何题的思维程序 .⑵由垂直关系建立空间直角坐标系 ,运用向量处理 即可.

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