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高中圆的方程典型例题[1]


高中新课标 数学必修 2

高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关 系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P 与圆的位置关系, 只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系

,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径, 则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . ∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 . ∴圆的方程为 ( x ? a) ? y ? r .
2 2 2

又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点.
2 2 ? ?(1 ? a ) ? 16 ? r 2 2 ? ?(3 ? a ) ? 4 ? r

∴?

解之得: a ? ?1 , r ? 20.
2

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 20 .
2 2

解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因 为圆 过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两 点, 所以圆 心 C 必 在线段 AB 的 垂 直平分 线 l 上 ,又因 为

k AB ?

4?2 ? ?1 ,故 l 的斜率为 1 ,又 AB 的中点为 (2 , 3) ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为: 1? 3

y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ?1 ? 0 .
又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0) ∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .
2 2

故所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 20 . 又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为

d ? PC ? (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .
∴点 P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何 来判定直线与圆的位置关系呢?
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求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 分析: 欲确定圆的方程. 需确定圆心坐标与半径, 由于所求圆过定点 A , 故只需确定圆心坐标. 又 圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上. 解:∵圆和直线 x ? 2 y ? 0 与 2 x ? y ? 0 相切, ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 的距离相等.



x ? 2y 5

?

x ? 2y 5



∴两直线交角的平分线方程是 x ? 3 y ? 0 或 3x ? y ? 0 . 又∵圆过点 A(0 , 5) , ∴圆心 C 只能在直线 3x ? y ? 0 上. 设圆心 C (t , 3t ) ∵ C 到直线 2 x ? y ? 0 的距离等于 AC ,



2t ? 3t 5

? t 2 ? (3t ? 5) 2 .
2

化简整理得 t ? 6t ? 5 ? 0 . 解得: t ? 1 或 t ? 5 ∴圆心是 (1 , 3) ,半径为 5 或圆心是 (5 , 15) ,半径为 5 5 . ∴所求圆的方程为 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ?15) ? 125.
2 2 2 2

说明:本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到 圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4? 与圆 O 相切的切线. 例 5 已知圆 O:x ? y ? 4 ,求过点 P?2,
2 2

解:∵点 P?2, 4? 不在圆 O 上, ∴切线 PT 的直线方程可设为 y ? k ?x ? 2? ? 4 根据 d ? r

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? 2k ? 4 1? k 2
k?

?2

解得 所以 即

3 4 3 y ? ?x ? 2? ? 4 4

3x ? 4 y ? 10 ? 0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为 x ? 2. 说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决(也要注意漏 解) .还可以运用 x0 x ? y0 y ? r 2 ,求出切点坐标 x0 、 y0 的值来解决,此时没有漏解. 例 6 两圆 C1:x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两
2 2 2 2

点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程. 分析:首先求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线 AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程 太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧. 解:设两圆 C1 、 C2 的任一交点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有:

x0 ? y0 ? D1x0 ? E1 y0 ? F1 ? 0 x0 ? y0 ? D2 x0 ? E2 y0 ? F2 ? 0
2 2

2

2

① ②

①-②得: ( D1 ? D2 ) x0 ? ( E1 ? E2 ) y0 ? F1 ? F2 ? 0 . ∵ A 、 B 的坐标满足方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 . ∴方程 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 是过 A 、 B 两点的直线方程. 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的. ∴两圆 C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 . 说明:上述解法中,巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去 求它,而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧, 从知识内容的角度上说,还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本 质认识.它的应用很广泛. 例 7、过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求
2 2

直线 AB 的方程。

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练习: 1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相切的直线 l 的方程. 解:设切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 , ∵圆心 (1, 0) 到切线 l 的距离等于半径 2 , ∴

| k ? 3k ? 1| k 2 ? ? ?1?
2

3 ? 2 ,解得 k ? ? , 4

3 ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 13 ? 0 , 4 当过点 M 的直线的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,圆心 (1, 0) 到此直线的距离等于半径 2 , 故直线 x ? 3 也适合题意。 所以,所求的直线 l 的方程是 3x ? 4 y ? 13 ? 0 或 x ? 3 . 5 2 2 2、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? ? 0 相切的直线的方程为 2 5 解:设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ,∴圆心为(2, 2
∴切线方程为 y ? 1 ? ? -1 ) ,半径为

2k ? 1 10 10 1 . 依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 ? 2 2 2 3 k ?1

y?

1 x. 3
.

2 2 3、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为

解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴

5?a 5 2 ? 122

? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 .

类型三:弦长、弧问题
2 2 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

解:依题意得,弦心距 d ?

3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故截

得的劣弧所对的圆心角为 ?AOB ?
2 2

?
3

.
2 2

例 10、求两圆 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 5 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2
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例 13 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的圆心为 O1 (3 , 3) ,半径 r ? 3 . 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3.

如图,在圆心 O1 同侧,与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点,这两 个交点符合题意.

又 r ? d ? 3 ? 2 ? 1. ∴与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有 3 个. 解法二:符合题意的点是平行于直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点.设 所求直线为 3x ? 4 y ? m ? 0 ,则 d ?

m ? 11 32 ? 42

? 1,

∴ m ? 11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .
设圆 O1: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 ,则
2 2

d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

? 3 , d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

? 1.

∴ l1 与 O1 相切,与圆 O1 有一个公共点; l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的 点共 3 个. 说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解: 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ? ∴圆 O1 到 3x ? 4 y ? 11 ? 0 距离为 1 的点有两个.

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3.

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显然,上述误解中的 d 是圆心到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离, d ? r ,只能说明此直线与圆有 两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1. 到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所 求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关 系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.

2 2 练 习 2 : 若 直 线 y ? kx ? 2 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围



.

解:依题意有

2k ? 1 k 2 ?1

? 1 ,解得 0 ? k ?

4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3

4、 过点 P?? 3, ? 4? 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 与圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 4 有公共点,如
2 2

图所示. 分析:观察动画演示,分析思路. 解:设直线 l 的方程为

y

y ? 4 ? k ?x ? 3?
即 O x

kx ? y ? 3k ? 4 ? 0
根据 d ? r 有 E

k ? 2 ? 3k ? 4 1? k 2
整理得

?2

P

3k 2 ? 4k ? 0
解得

0?k ?

4 . 3

2 2 2:求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

解:设所求圆的圆心为 O1 (a, b) ,则所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 20 .∵两圆外切于点 P ,
2 2

1 1 2 2 ∴ OP ? OO1 , ∴ (?1,2) ? (a, b) , ∴ a ? ?3, b ? 6 , ∴所求圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20 . 3 3
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类型七:圆中的最值问题 例 18:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 解 : ∵ 圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ? 3 2 ,∴圆心到直线的距离

d?

10 2

? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 .

例 19 (1)已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最 小值. (2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,P( x , y) 为圆上任一点.求

y?2 的最大、 最小值, 求 x ? 2y 的 x ?1

最大、最小值. 分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 解:(1)(法 1)由圆的标准方程 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 .
2 2

可设圆的参数方程为 ?
2 2

? x ? 3 ? cos? , ( ? 是参数) . ? y ? 4 ? sin ? ,
2

则 d ? x ? y ? 9 ? 6 cos? ? cos

? ? 16 ? 8 sin ? ? sin 2 ?
4 ) . 3

? 26 ? 6 cos? ? 8 sin ? ? 26 ? 10cos(? ? ? ) (其中 tan ? ?
所以 d max ? 26 ? 10 ? 36 , d min ? 26 ? 10 ? 16 .

(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离 的最小值 d 2 等于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1. 所以 d1 ? 32 ? 42 ? 1 ? 6 .
'

'

d 2 ? 32 ? 42 ? 1 ? 4 .
所以 dmax ? 36 . d min ? 16 . (2) (法 1)由 ( x ? 2) ? y ? 1 得圆的参数方程: ?
2 2

? x ? ?2 ? cos? , ? 是参数. ? y ? sin ? ,



y ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 ? ?t, .令 x ? 1 cos ? ? 3 cos ? ? 3
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得 sin ? ? t cos ? ? 2 ? 3t , 1 ? t 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 3t

?

2 ? 3t 1? t2

? sin(? ? ? ) ? 1 ?

3? 3 3? 3 . ?t ? 4 4

所以 tmax ?

3? 3 3? 3 , tmin ? . 4 4



y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

此时 x ? 2 y ? ?2 ? cos? ? 2 sin? ? ?2 ? 5 cos( ? ??) . 所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . (法 2)设 图所示,

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x , y) 是圆上点,当直线与圆有交点时,如 x ?1

两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

? 2k ? k ? 2 1? k
2

? 1 ,得 k ?

3? 3 . 4

所以

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

令 x ? 2 y ? t ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值. 由d ?

?2?m 5

? 1 ,得 m ? ?2 ? 5 .

所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 .
2 2 2 设点 P( x , y) 是圆 x ? y ? 1 是任一点,求 u ?

y?2 的取值范围. x ?1 分析一:利用圆上任一点的参数坐标代替 x 、 y ,转化为三角问题来解决.
2 2 解法一:设圆 x ? y ? 1 上任一点 P(cos? , sin ? )

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则有 x ? cos ? , y ? sin ? ? ?[0 , 2? ) ∴u ?

sin ? ? 2 ,∴ u cos ? ? u ? sin ? ? 2 cos ? ? 1

∴ u cos? ? sin ? ? ?(u ? 2) . 即 u 2 ? 1 sin(? ? ? ) ? u ? 2 ( tan ? ? u ) ∴ sin(? ? ? ) ?

(u ? 2) u2 ?1



又∵ sin(? ? ? ) ? 1



u?2 u2 ?1

?1

解之得: u ? ?

3 . 4 y?2 分析二: u ? 的几何意义是过圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一动点和定点 ( ?1 , 2) 的连线的斜率,利用 x ?1
2 2

此直线与圆 x ? y ? 1 有公共点,可确定出 u 的取值范围. 解法二:由 u ? 直线的距离 d ? 1 . ∴

y?2 得: y ? 2 ? u( x ? 1) ,此直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,故点 (0 , 0) 到 x ?1

u?2 u2 ?1

?1
3 . 4
2 2

解得: u ? ?

另外,直线 y ? 2 ? u( x ? 1) 与圆 x ? y ? 1 的公共点还可以这样来处理: 由?

? y ? 2 ? u( x ? 1) ?x ? y ? 1
2 2

消去 y 后得: (u ? 1) x ? (2u ? 4u) x ? (u ? 4u ? 3) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

此方程有实根,故 ? ? (2u ? 4u) ? 4(u ? 1)(u ? 4u ? 3) ? 0 , 解之得: u ? ?

3 . 4

说明:这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量 u 的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便.

例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB
2 2
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的中点 M 的轨迹方程.

练习: 1、由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =600,则动点 P
2 2

的轨迹方程是

.

解:设 P ( x, y ) .∵ ?APB=600,∴ ?OPA =300.∵ OA ? AP ,∴ OP ? 2 OA ? 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 , 化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2 2 2

类型九:圆的综合应用 例 25、 已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且

OP ? OQ ,求实数 m 的值.
分析:设 P 、Q 两点的坐标为 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) ,则由 kOP ? kOQ ? ?1 ,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为 程构造以

y ,由直线 l 与圆的方 x

y 为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出 kOP ? kOQ 的值,从而使问题得以解决. x

解法一:设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) .一方面,由 OP ? OQ ,得

kOP ? kOQ ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 ,也即: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2



另一方面, ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 是方程组 ? 程 5x ? 10x ? 4m ? 27 ? 0
2

?x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

的实数解,即 x1 、 x2 是方



的两个根. ∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ?

4m ? 27 . ③ 5

又 P 、 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,

1 1 1 (3 ? x1 ) ? (3 ? x2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] . 2 2 4 m ? 12 将③代入,得 y1 y 2 ? . ④ 5 将③、④代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立, ∴m ?3.
∴ y1 y2 ?
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解法二:由直线方程可得 3 ? x ? 2 y ,代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ,有

1 m x 2 ? y 2 ? ( x ? 2 y )( x ? 6 y ) ? ( x ? 2 y ) 2 ? 0 , 3 9
整理,得 (12 ? m) x 2 ? 4(m ? 3) xy ? (4m ? 27) y 2 ? 0 . 由于 x ? 0 ,故可得

y y (4m ? 27 )( ) 2 ? 4(m ? 3) ? 12 ? m ? 0 . x x
∴ kOP , kOQ 是上述方程两根.故 kOP ? kOQ ? ?1 .得

12 ? m ? ?1 ,解得 m ? 3 . 4m ? 27 经检验可知 m ? 3 为所求.
说明:求解本题时,应避免去求 P 、 Q 两点的坐标的具体数值.除此之外,还应对求出的 m 值 进行必要的检验,这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在. 解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于

y 的二次 x

齐次方程,虽有规律可循,但需一定的变形技巧,同时也可看出,这种方法给人以一种淋漓酣畅, 一气呵成之感.

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高中新课标 数学必修 2 高中数学圆的方程典型例题类型一:圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并...

高中圆的方程典型例题[1]

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高中圆的方程典型例题

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高中数学圆的方程典型例题

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