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2014届高三数学一轮复习 第69讲 随机抽样、用样本估计总体、正态分布课件 理 新人教版

时间:2014-05-06


第69讲 随机抽样、用样本估计总体、

正态分布

1. (2012· 湖南省张家界市第一次模拟)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的 中位数和平均数分别是 和 .

解析:由茎叶图可知,这组数据从小到大排列是 87,89,90,91,92,93,94,96, 91+92 1 所以中位数是 =91.5,平均数是 (87+89+90+ 2 8 91+92+93+94+96)=91.5.

2 . 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s2= .

1 - 解析:因为 x = (10+6+8+5+6)=7, 5 1 所以 s = [(10-7)2+(6-7)2+(8- 7)2+ (5-7)2+ (6- 5
2

7)2]=3.2.

3.(2012· 广东省汕头市质量测评)对某校 400 名学生的 体重(单位: kg)进行统计, 得到如图所示的频率分布直方图, 则学生体重在 60 kg 以上的人数为( B ) A.300 B.100 C.60 D.20

解析:体重在 60 kg 以上的频率为(0.040+0.010)×5= 0.25, 所以体重在 60 kg 以上的学生人数为 0.25×400=100, 故选 B.

4.一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为 .

21 解析:抽取男运动员的人数为 ×48=12. 48+36

5.(2012· 四川省眉山市第一次诊断)在对我市普通高中 学生某项身体素质的测试中, 测量结果 ξ 服从正态分布 N(1, σ2)(σ>0),若 ξ 在(0,2)内取值的概率为 0.8,则 ξ 在(0,1)内取 值的概率为( B ) A.0.2 C.0.6 B.0.4 D.0.3

解析: 因为正态分布曲线关于 μ=1 对称, 所以 ξ 在(0,1) 与(1,2)内的概率相等,即为 0.4,故选 B.



用样本估计总体

【例 1】在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?,6)的同学所得成绩, 且前 5 位同学的成绩如下:

(1)求第 6 位同学的成绩 x6,以及这 6 位同学成绩的标 准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位 同学成绩在区间(68,75)中的概率.

解析:(1)因为这 6 位同学的平均成绩为 75 分, 1 所以 (70+76+72+70+72+x6)=75,所以 x6=90, 6 即第 6 位同学的数学成绩为 90 分. 这 6 位同学成绩的方差为 1 s = ×[(70 - 75)2 + (76 - 75)2 + (72 - 75)2 + (70 - 75)2 6
2

+(72-75)2+(90-75)2]=49, 所以标准差 s=7.

2 (2)从前 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有 C5 =10 种

结果,恰有一位同学的成绩在(68,75)中有(x1,x2),(x2,x4), 4 (x3,x2),(x5,x2)共 4 种结果,故所求概率为 P= =0.4. 10

【拓展演练 1】 现从甲、 乙两种树苗中随机各抽测了 10 株树苗的高度, 量出它们的高度(单位:cm)的茎叶图如下图.

(1)根据茎叶图,对甲、乙两种品种的树苗的高度作比 较,写出两个统计结论;

(2)设抽测的 10 株甲种树 苗高度的平均值为- x ,将 这 10 株树苗的高度依次 输入如下程序框图进行运 算,问输出的 S 的大小为多 少?并说明 S 的统计意义.

解析:(1)由茎叶图可知乙的平均高度比甲的大,但甲 的稳定性(方差)比乙的小. 1 - (2)由题设, x = (10+5×20+3×40+9+9+5+3+ 10 1+0+7+3+2+1)=27, 1 S = [(27 - 19)2 + (27 - 20)2 + (27 - 21)2 + (27 - 23)2 + 10 (27- 25)2+ (27 -29)2+ (27- 31)2+ (27- 32)2+ (27-33)2+ (27-37)2]=35,S 为甲种树苗的方差,表示其整齐状态.



茎叶图及应用
【例 2】 (2013· 丰台二模)某地区农科所为了选择更适应本

地区种植的棉花品种,在该地区选择了 5 块土地,每块土地 平均分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品种的棉 花,收获时测得棉花的亩产量如图所示:

(1)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由; (2)求从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地,这两 块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平均亩 产量的概率.

解析:(1)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为: 95+102+105+107+111 =104, 5 1 方差为:s甲= [(95-104)2+(102-104)2+(105-104)2 5
2

+(107-104)2+(111-104)2]=28.8, 乙种棉花的平均亩产量为: 98+103+104+105+110 =104, 5

1 方差为:s乙= [(98-104)2+(103-104)2+(104-104)2 5
2

+(105-104)2+(110-104)2]=14.8,
2 因为 s2 甲>s乙,所以乙种棉花的平均亩产量更稳定.

(2)从种植甲种棉花的 5 块土地中任选 2 块土地的所 有选法有(95,102), (95,105), (95,107), (95,111), (102,105), (102,107),(102,111),(105,107),(105,111),(107,111)共 10 种, 设“亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块土地的总平 均亩产量 ” 为事件 A ,包括的基本事件为 (105,107) , 3 (105,111),(107,111)共 3 种,所以 P(A)= . 10 答:两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的 5 块 3 土地的总平均亩产量的概率为 . 10

【拓展演练 2】 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的 身高(单位:cm),获得身高数据如下: 甲班:182,158,162,170,179,163,168,179,171,168 乙班:159,168,162,170,173,165,181,176,178,179 (1)根据甲、乙两班身高的数据画出对应的茎叶图,并 依据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.

解析:(1)茎叶图如下:

由茎叶图可知:甲班同学的身高集中于 160 cm~179 cm 之间,而乙班同学的身高集中于 170 cm~180 cm 之间, 因此,乙班同学的平均身高高于甲班.

(2)

- x



158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 10 =170(cm). 1 甲 班 的 样 本 方 差 为 [(158 - 170)2 + (162 - 170)2 + 10 (163 - 170)2 + (168 - 170)2 + (168 - 170)2 + (170 - 170)2 + (171 - 170)2 + (179 - 170)2 + (179 - 170)2 + (182 - 170)2] = 57.2.

(3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A. 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同 学有: (181,173), (181,176), (181,178), (181,179), (179,173), (179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173),共 10 个基本事件. 而事件 A 含有 4 个基本事件, 4 2 所以 P(A)= = . 10 5



直方图及应用

【例 3】(2012· 广东省东莞市模拟)某高校在 2012 年的 自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩, 按成 绩分组,得到的频率分布表如下表所示.

(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再 在下图中完成频率分布直方图;

(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩 高的第 3、 4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试, 求第 3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求第 4 组至少有一名学生被 考官 A 面试的概率.

解析:(1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35, 30 第 3 组的频率为 =0.300. 100 频率分布直方图如下:

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽 样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的学生分别为: 30 第 3 组: ×6=3 人, 60 20 第 4 组: ×6=2 人, 60 10 第 5 组: ×6=1 人, 60 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.

(3)设第 3 组的 3 名学生为 A1、A2、A3,第 4 组的 2 名 学生为 B1、B2,第 5 组的 1 名学生为 C1,则从 6 名学生中 抽取 2 名学生有 15 种可能情况,如下:(A1,A2),(A1,A3), (A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2, B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2), (B1,C1),(B2,C1).

其中第 4 组的 2 名学生 B1、B2 至少有 1 名学生被抽到 接受 A 考官进行面试的情况有:(A1,B1),(A1,B2),(A2, B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1), (B2,C1),共 9 种. 所以第 4 组至少有 1 名学生被抽到接受 A 考官进行面 9 3 试的概率为 = . 15 5

【拓展演练 3】 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的 一种量)共有 100 个数据,数据分组如下表:

(1)完成频率分布表, 并在给定的坐标系中画出频率分布 直方图;

(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于 1.40 的 概率是多少? (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值 (例 如区间[1.30,1.34)的中点值是 1.32)作为代表.据此,估计纤 度的期望.

解析:(1)频率分布表为:

(2)纤度落在 [1.38,1.50)中的概率约为 0.30 +0.29+0.10 1 =0.69,纤度小于 1.40 的概率约为 0.04+0.25+ ×0.30= 2 0.44. (3) 总 体 数 据 的 期 望 约 为 1.32×0.04 + 1.36×0.25 + 1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088.

1.(2013· 湖南卷)某学校有男、女学生各 500 名,为了解 男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查, 则宜采用的抽样 方法是( D ) A.抽签法 C.系统抽样法 B.随机数法 D.分层抽样法

2.(2012· 安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )

2.(2012· 安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( C ) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

1 - 解析: x 甲= (4+5+6+7+8)=6, 5 1 - x 乙= (5×3+6+9)=6, 5 1 2 甲的成绩的方差为 (2 ×2+12×2)=2, 5 1 2 乙的成绩的方差为 (1 ×3+32×1)=2.4, 5 故选 C.

3.(2012· 陕西卷)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自 动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示 (如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 - x 甲 ,- x 乙, 中位数分别为 m 甲,m 乙,则( B ) A.- x 甲<- x 乙 ,m 甲 >m 乙 B.- x 甲<- x 乙 ,m 甲 <m 乙 C.- x 甲>- x 乙 ,m 甲 >m 乙 D.- x 甲>- x 乙 ,m 甲 <m 乙

解析:根据平均数的概念易计算出- x 甲<- x 乙,又 m 18+22 27+31 = =20,m 乙= =29,故选 B. 2 2



4.(2013· 重庆卷)以下茎叶图记录了甲、 乙两组各有五名学 生在一次英语听力测试中的成绩(单位: 分) , 已知甲组数据的 中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为 ( C ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8

9+15+18+10+y+24 解析:显然 x=5,由 =16.8, 5 得 y=8,故选 C.

5.(2012· 全国新课标卷)某个部件由三个元件按下图 方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常 工作, 则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布 N(1000,502),且各个元件能否正常 相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率 为 .

解析:因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,502), 所以三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时 1 的概率为 p= .超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作 2 3 的概率 p1 =1 - (1 -p) = ,那么该部件的使用寿命超过 4
2

3 1000 小时的概率为 p2=p1×p= . 8