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高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑


高三数学第二轮复习——集合与简易逻辑

高三数学第二轮复习——集合与简易逻辑

典型例题精讲
【例1】 设 x, y ? R, A ? {a | a ? x 2 ? 3x ? 1}, B ? {b | b ? y 2 ? 3 y ? 1} ,求集合 A 与 B 之间的关系。
3 5 5 5 3 5 5 解: a ? x

2 ? 3x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? ? , A= {x | x ? ? } b ? y 2 ? 3 y ? 1 ? ( y ? ) 2 ? ? ? 由 得 2 4 4 4 2 4 4 ∴A=B

【例2】 已知集合 A= {x | x 2 ? 3x ? 10 ? 0} ,集合 B= {x | p ? 1 ? x ? 2 p ? 1} ,若 B ? A,求实数 p 的取 值范围。 解:若 B=Φ 时, p ? 1 ? 2 p ? 1 ? p ? 2 若 B≠Φ 时,则 ?? 2 ? p ? 1
?2 p ? 1 ? 5 ? ? p ?1 ? 2 p ?1 ? ?2? p?3

综上得知: p ? 3 时,B ? A。
y ?3 集合 B= {( x, y) | (a 2 ?1) x ? (a ?1) y ? 30} 。 如果 A ? B ? ? , ? a ? 1} , x?2

【例3】 已知集合 A ? {( x, y) |

试求实数 a 的值。 解:注意集合 A、B 的几何意义,先看集合 B; 当 a=1 时,B=Φ ,A∩B=Φ 当 a=-1 时,集合 B 为直线 y=-15,A∩B=Φ 当 a≠±1 时,集合 A: y ? 3 ? (a ? 1)( x ? 2) , (2,3) ? A ,只有 (2,3) ? B 才满足条件。 故 (a 2 ?1) ? 2 ? (a ?1) ? 3 ? 30 ;解得:a=-5 或 a= ∴a=1 或 a=
7 或 a=-1 或 a=-5。 2 7 2

【例4】 若集合 A= {3 ? 2 x,1,3} ,B= {1, x 2 } ,且 A ? B ? {3 ? 2 x,1,3} ,求实数 x。 解:由题设知 A ? B ? A ,∴ B ? A ,故 x 2 ? 3 或 x 2 ? 3 ? 2 x 即 x ? ? 3 或 x ? 1 或 x ? ?3 ,但当 x ? 1 时, 3 ? 2x ? 1 不满足集合 A 的条件。 ∴实数 x 的值为 ?3 或 ? 3 。 【例5】 已知集合 A= {x | 10 ? 3x ? x 2 ? 0} ,B= {x | x 2 ? 2x ? 2m ? 0} ,若 A ? B ? B ,求实数 m 的值。 解:不难求出 A= {x | ?2 ? x ? 5} ,由 A ? B ? B ? B ? A ,又 x 2 ? 2 x ? 2m ? 0 , ? ? 4? 8m

高三数学第二轮复习——集合与简易逻辑
①若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ? ②若 4 ? 8m ? 0 ,即 m ?
1 ,则 B ? ? ? A 2 1 , B ? {x | 1 ? 1 ? 2m ? x ? 1 ? 1 ? 2m} , 2

?1 ? 1 ? 2m ? ?2 1 ? ∴? ? ?4 ? m ? 2 ?1 ? 1 ? 2m ? 5 ?

故由①②知:m 的取值范围是 m ? [?4,??) 注:不要忽略空集是任何集合的子集。 【例6】 已知集合 A={ x | x 2 ? ax ? a 2 ?19 ? 0 },B= {x | log2 ( x 2 ? 5x ? 8) ? 1} ,C= {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} , 若 A ? B ?? 与 A ? C ? ? 同时成立,求实数 a 的值。
?

解:易求得 B= {2,3} ,C= {2,?4} ,由 A ? B ? ? 知 A 与 B 的交集为非空集。 故 2,3 两数中至少有一适合方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0 又 A ? C ? ? ,∴ 2 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 得,a=5 或 a=-2 当 a=5 时,A= {2,3} ,于是 A ? C ? {2} ? ? ,故 a=5 舍去。 当 a=-2 时,A= {2,5} ,于是 A ? B ? {3} ? ? ,∴a=-2。

【例7】 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | 2x 2 ? ax ? 2 ? 0} ,A∪B=A,求 a 的取值构成的集合。 解:∵A∪B=A,∴ B ? A ,当 B ? ? 时 a 2 ? 16 ? 0 ,∴-4<a<4,
A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} ? {1,2} ,当 1∈B 时,将 x=1 代入 B 中方程得 a=4,此时 B={1},当

2∈B 时,将 x=2 代入 B 中方程得 a=5,此时 B ? { ,2}?A ,a=5 舍去,∴-4<a≤4。 【例8】 已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | ax ? 2 ? 0} 且 A ? B ? A ,求实数 a 组成的集合 C 。 解:由 A={1,2},由 A∪B=A,即 B ? A ,只需 a×1-2=0,a=2 或 a×2-2=0,a=1。 另外显然有当 a=0 时, B ? ? 也符合。所以 C={0,1,2}。 【例9】 某车间有 120 人,其中乘电车上班的 84 人,乘汽车上班的 32 人,两车都乘的 18 人,求: (1)只乘电车的人数; (2)不乘电车的人数; (3)乘车的人数; (4)不乘车的人数; (5)只乘一种车的人数。 解:本题是已知全集中元素的个数,求各部分元素的个数,可用 图解法。设只乘电车的人数为 x 人,不乘电车的人数为 y 人,乘车的 人数为 z 人,不乘车的人数为 u 人,只乘一种车的人数为 v 人 如图所示(1)x=66 人, (2)y=36 人, (3)z=98 人, (4)u=22 人, (5)v=80 人。

1 2

【例10】已知 M 是关于 x 的不等式 2x ? (3a ? 7) x ? (3 ? a ? 2a ) ? 0 的解集, M 中的一个元 且
2 2

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素是 0,求实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集. 解:原不等式即 (2 x ? a ? 1)(x ? 2a ? 3) ? 0 , 由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)(2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ? 若 a ? ?1 ,则 ? 2a ? 3 ?

3 . 2

a ?1 a ?1 5 ? (?a ? 1) ? 5 ,∴ 3 ? 2a ? , 2 2 2 a ?1 ? x ? 3 ? 2a} ; 此时不等式的解集是 {x | 2 a ?1 3 a ?1 5 5 ? (?a ? 1) ? ? ,∴ 3 ? 2a ? 若 a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , 2 2 2 2 4 a ?1 }. 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? 2
【例11】已知 a ? 1 ,设命题 P : a( x ? 2) ? 1 ? 0 ,命题 Q : ( x ? 1) 2 ? a( x ? 2) ? 1 .试寻求使得

P、Q 都是真命题的 x 的集合.
解:设 A ? {x | a( x ? 2) ? 1 ? 0} B ? {x | ( x ? 1) 2 ? a( x ? 2) ? 1} , , 依题意,求使得 P、Q 都是真命题的 x 的集合即是求集合 A ? B ,

1 1 ? ? ?a( x ? 2) ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? 2 ? ∵? ?? ?? a a 2 ?( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 ?( x ? a)( x ? 2) ? 0 ? ? 1 ? ?x ? 2 ? 1 ? a ? 2 时,则有 ? ∴若 , a ? x ? 2或x ? a ?
而 a ? (2 ?

1 1 1 ) ? a ? ? 2 ? 0 ,所以 a ? 2 ? , a a a 1 ? x ? a} ; a

即当 1 ? a ? 2 时使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? 2或2 ? 当 a ? 2 时易得使 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ?

3 , 且x ? 2} ; 2

1 ? ?x ? 2 ? a ? 2 ,则有 ? 若 , a ? x ? a或x ? 2 ?
此时使得 P、Q 都是真命题的 x ? {x | x ? a或2 ? 综合略. 【例12】已知条件 p :| 5 x ? 1 |? a 和条件 q :

1 ? x ? 2} . a

1 ? 0 ,请选取适当的实数 a 的值,分别利用 2 x ? 3x ? 1
2

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所给的两个条件作为 A、B 构造命题: “若 A 则 B” ,并使得构造的原命题为真命题,而 其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求 的命题. 分析: 本题为一开放性命题, 由于能得到的答案不唯一, 使得本题的求解没有固定的模式, 考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的 a , 也能先猜后证,所找到的实数 a 只需 满足

1? a 1 1? a ? ,且 ? 1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同时也是对于 5 2 5

四个命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力,符合当 今倡导研究性学习的教学方向. 解:已知条件 p 即 5 x ? 1 ? ? a ,或 5 x ? 1 ? a ,∴ x ? 已知条件 q 即 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 令 a ? 4 ,则 p 即 x ? ?

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5

1 ,或 x ? 1 ; 2

3 ,或 x ? 1 ,此时必有 p ? q 成立,反之不然. 5 故可以选取的一个实数是 a ? 4 ,A 为 p ,B 为 q ,对应的命题是若 p 则 q ,
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 【例13】 已知 p :|1 ?

x ?1 |? 2,q : x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ;? p 是? q 的必要不充分条件,求实 3 x ?1 得 |? 2, ? 2 ? x ? 10 , 3

数 m 的取值范围. 解:由 | 1 ?

由 x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m(m ? 0) , ∴? p 即 x ? ?2 ,或 x ? 10 ,而? q 即 x ? 1 ? m ,或 x ? 1 ? m ( m ? 0) ; 由? p 是? q 的必要不充分条件,知? q ? ? p , 设 A= {x | x ? ?2,或x ? 10} ,B= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ,

?1 ? m ? ?2, ? 则有 A ? B ,故 ?1 ? m ? 10, 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号, ? ? m ? 0, ?
解得 0 ? m ? 3 ,此即为“? p 是? q 的必要不充分条件”时实数 m 的取值范围. 【例14】 已知函数 f ( x) ? loga x ,其中 a ?{a | 20 ? 12a ? a } .
2

(1)判断函数 f ( x) ? loga x 的增减性; (2) (文)若命题 p : | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 为真命题,求实数 x 的取值范围. (2) (理)若命题 p : | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 为真命题,求实数 x 的取值范围.
2 2 解: (1)∵ a ?{a | 20 ? 12a ? a } ,∴ a ? 12a ? 20 ? 0 ,

即 2 ? a ? 10 ,∴函数 y ? loga x 是增函数;

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(2) (文) | f ( x ) |? 1 ? f (2 x ) 即 | loga 当 0 ? x ? 1 , loga

x | ? loga 2 x ? 1 ,必有 x ? 0 ,

x ? 0 ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1 ,

∴ loga 2 ? 1 ,这显然成立,此时 0 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时, loga

x ? 0 ,不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 a }. 2

∴ loga 2 x ? 1 ,故 x ?

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x | 0 ? x ? (2) (理) | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 即 | loga 当0 ? x ?

x | ? | loga 2 x |? 1 ,必有 x ? 0 ,

1 时, loga 4

x ? loga 2 x ? 0 ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1,
1 1 1 ?x? ; ,此时 2a 2a 4

∴ ? loga 2 x ? 1 ,故 loga 2x ? ?1 ,∴ x ? 当

1 ? x ? 1 时, loga 4

x ? 0 ? loga 2 x ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1 ,
1 ? x ?1; 4

∴ loga 2 ? 1 ,这显然成立,此时 当 x ? 1 时, 0 ? loga ∴ loga 2 x ? 1 ,故 x ?

x ? loga 2 x ,不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 1 a ? x ? }. 2a 2

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x |

课后专题练习
一、选择题

1. 已知 I 为全集,集合 M 、N ? I ,若 M ? N ? M ,则有: (D)
?

A. M ? ?CI N ?

B. M ? ?CI N ?
?

C.(CI M ) ? (CI N )

D.(CI M ) ? (CI N )

2. 若非空集合 A、B 适合关系 A ? B , U 是全集,下列集合为空集的是: (D)
A. A ? B B. (CU A) ? (CU B) C. (CU A) ? B D. A ? (CU B)

1,3,, 2,8} 3. 已知集合 A ? {0,2,4} B ? {0,4, ,那么 A ? B 子集的个数是: (C)
A.6 个
?

B.7 个

C.8 个

D.9 个 ( B )

4. 满足 ?a? ? X ? ?a, b, c? 的集合 X 的个数有

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(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 适 Q 合

5. 已 知 集 合

U、 、 P

U?

? P

Q , ? ? , 3 ? ?1, 2 ,, 4? 5 P? , Q 则 ?

1

2

? P ? Q? ? ?CU P ? CUQ?
(A) {1,2,3}

为( C ) (D) {1,4,5}

(B) {2,3,4} (C) {3,4,5}

6. 已知 U 为全集,集合 M , N 是 U 的子集 M ? N ? N ,则 ( B )
(A)(CU M ) ? (CU N ) (B)(CU M ) ? (CU N ) (C)M ? ?CU N ? (D)M ? ?CU N ?

7. 设 P ? x | x ? ?2} ? x | x ? 3 ,则 P ? Q 等于 { ,Q { }
(A)? (B) R (C) P (D) Q

( D )

8. 设 集 合 E ? n| n? 2 k , k }, { ? Z
( B ) (A) E ? F
?

{ F ?

n ? 4 k , ?k, 则 E、F 的 关 系 是 | n } Z

(B) E ? F
?

(C) E ? F

(D) E ? F ? ? ( B )

9. 已知集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2} , N ? ?x | x ? 1 ? 2? ,则 M ? N 等于
(A) {x | ?2 ? x ? 3} (C) {x | ?2 ? x ? ?1} (B) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | 2 ? x ? 3}

1 1 ? ? ? ? 10. 已知集合 U ? R ,集合 M ? ? x | x ? n ,n ? N ? , P ? ? x | x ? n ,n ? N ? ,则 2 4 ? ? ? ?
M 与P 的关系是 ( B )
(A)M ? P=? (B)(CU M ) ? P=? (C)M ? (CU P) =? (D)(CU M ) ? (CU P) =?

11. 已知集合 A ? ? y | y ? 2 x , x ? R?, B ? ? y | y ? x 2 , x ? R? ,则 A ? B 等于 ( C )
(A){2,4} (B){(2,4)(4,16)} (C){ y|y ≥0} (D){ x| x<0} ,

12. 设全集 U ? R , 集合 P= P ? ?x | ( x ? 4)(2 ? x) ? 0? , 集合 Q ? ?x | x ? 4 ? 0?, ( D ) 则
(A)P ? Q ? ? (B)P ? Q ? R (C)(CU P) ? Q ? (CU P) (D)(CU P) ? (CUQ)=??4? 二、解答题

13. 设 A ? x | 4 x ? x 2 ? ax , B ? ?x | 0 ? x ? 1?;若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。
解:由图象法解得: 当 a>0 时, A ? {x | 0 ? x ?
4 1? a 2 当 a≤0 时, A ? {x | 0 ? x ? 4} };
o y

?

?

x

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∴要使得 A ? B,必须且只须
4 1? a 2 ? 1 ,解得 a ? 3

1 1 ? ? 14. 已知 A ? ? x | x ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ? ,B= B ? ?x | x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 ? 。 2 2 ? ?
若 A ? B,求实数 a 的取值范围。 解:易得 A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,由 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 得 ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0 ⑴当 3a+1>2,即 a ?
1 时, B ? {x | 2 ? x ? 3a ? 1} 3

? ?2a ? 2 要使 A ? B,必须 ? 2 ?1? a ? 3, ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?

⑵当 3a+1=2,即 a ? 当 3a+1<2,即 a ?

1 时, B ? {2} ;要使 A ? B,a=1 3

1 时, B ? {3a ? 1 ? x ? 2} 3

?2a ? 3a ? 1 ? ⑶要使 A ? B,必须 ? 2 ? a ? ?1 ?a ? 1 ? 2 ?

综上知: a ? ?1或 a ? [1,3]

? ? 2 15. 已 知 集 合 A= A ? { y | y ? x2 ? 2mx ? 4, x ? R} , B ? ? x | log 3 x ? log 1 x ? 0 ? , 且 ? ? 3
A ? B ? ? ,求实数 m 的值。
解: B ? {x | 1 ? x ? 3} , A ? {x | x ? 4 ? m 2 } ,由 4 ? m 2 ? 3 得: m ? (??,?1] ? [1,??)

1 5 ? ? 16. 已知集合 A ? ? y | y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a (a 2 ? 1) ? 0? , B ? ? y | y ? x 2 ? x ? ,0 ? x ? 3? ; 2 2 ? ?
若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。 解:B= {x | 2 ? x ? 4} ,由 y 2 ? (a 2 ? a ? 1) y ? a(a 2 ? 1) ? 0 得: ( y ? a)( y ? a 2 ?1) ? 0 因为 a 2 ?1 ? a ,所以 A= {x | x ? a 2 ? 1或x ? a} 。 由 A ? B ? ? 得: a 2 ? 1 ? 4 或 a ? 2 所以 a ? (? 3, 3 ) ? (2,??)

17. 已知集合 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | qx2 ? px ? 1 ? 0} 同时满足
① A ? B ? ? ,② A ? C u B ? {?2} ,其中 p、q 均为不等于零的实数,求 p、q 的值。

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解:条件①是说集合 A、B 有相同的元素,条件②是说-2∈A 但 ? 2 ? B ,A、B 是两个方 程的解集,方程 x 2 ? px ? q ? 0 和 qx2 ? px ? 1 ? 0 的根的关系的确定是该题的突破口。
2 2 设 x 0 ? A , x0 ? 0 , 则 否则将有 q=0 与题设矛盾。 于是由 x0 ? px0 ? q ? 0 , 两边同除以 x0 ,

得 q( 知

1 2 1 ) ?p ?1 ? 0 , x0 x0

1 ? B ,故集合 A、B 中的元素互为倒数。 x0 1 1 ,得 x0 ? 1 或 x0 ? ?1 。 ? B ,且 x0 ? x0 x0

由①知存在 x0 ? A ,使得

由②知 A={1,-2}或 A={-1,-2}。
1 若 A={1,-2},则 B ? {1,? } , 2

有?

? p ? ?(1 ? 2) ? 1; ? q ? 1 ? ( ?2 ) ? ? 2 .

1 同理,若 A={-1,-2},则 B ? {?1,? } ,得 p=3,q=2。 2

综上,p=1,q=-2 或 p=3,q=2。

18. 已 知 关 于 x 的 不 等 式 x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? , x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 的 解 集 依 次 为 A 、 B ,且 2 2

A ? B ? ? 。求实数 a 的取值范围。
解: A ? {x | 2a ? x ? a 2 ? 1} ,B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0} ∵ A? B ? φ ①当 3a+1≥2 时,B={x|2≤x≤3a+1}
2 ∴3a+1<2a 或 a ? 1 ? 2 ,∴ ? a ? 1

1 3

②当 3a+1<2 时,B={x|3a+1≤x≤2}
2 ∴2a>2 或 3a ? 1 ? a ? 1,∴ 0 ? a ?

1 3

19. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R} ,若 B ? {x | x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0, x ? R} ,且 A ? B ? A ,求实数 a。
解:∵A∪B=A,∴ B ? A 。 ∵A={1,2},∴ B ? ? 或 B={1}或 B={2}或 B={1,2}。 若 B ? ? ,则由△<0 知,不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1},则由△=0 得,a=2,此时 1 是方程的根; 若 B={2},则由△=0 得,a=2,此时 2 不是方程的根, ∴不存在实数 a 使原方程有解; 若 B={1,2},则由△>0,得 a∈R,且 a≠2,

高三数学第二轮复习——集合与简易逻辑
此时将 x=1 代入方程得 a∈R,将 x=2 代入方程得 a=3。 综上所述,实数 a 的值为 2 或 3。


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