nbhkdz.com冰点文库

第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图

时间:


2016 高考导航

知识点

空间几何 体的结构 及三视图 和直观图

考纲下载 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用 这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的 简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型, 会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三 视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基 础上,尺寸、线条等不作严格要求). 了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式.(不 要求记忆公式) 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位 置关系的简单命题. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面平行的判定定理与有关性质. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中 线面垂直的判定定理与有关性质. 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量 积判断向量的共线与垂直. 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定 理.(包括三垂线定理) 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面 的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用.

空间几何 体的表面 积与体积 空间点、 线、面的位 置关系

空间中的 平行关系 空间中的 垂直关系

空间向量 及其运算

立体几何 中的向量 方法

第 1 讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1.多面体的结构特征 ?底面:互相平行 (1)棱柱?侧面:都是四边形,且每相邻两个侧面的公

?

? ? 共边都平行且相等

? ?底面:是多边形 (2)棱锥? ?侧面:都是有一个公共顶点的三角形 ? (3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分. 2.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 3.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直, 直观图中, x′轴, y′轴的夹角为 45°(或 135°), z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线. [做一做] 1.(2014· 高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 解析:选 A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形, 而圆柱的正视图不可能为三角形,故选 A. 2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 解析:选 C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满 足任意截面都是圆面.

1.辨明三个易误点 (1)台体可以看成是由锥体截得的,但一定要强调截面与底面平行. (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响. (3)几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系. 2.由三视图还原几何体的方法

3.斜二测画法中的“三变”与“三不变” ?坐标轴的夹角改变, “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,

?

? ?图形改变. 平行性不改变, ? ? “三不变”?与x,z轴平行的线段的长度不改变, ? ?相对位置不改变.

[做一做] 3. (2014· 高考江西卷)一几何体的直观图如图, 下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

解析:选 B.该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且 五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边 距离相等,因此选 B. 4.如图所示的直观图,其表示的平面图形是( )

A.正三角形 C.钝角三角形 答案:D

B.锐角三角形 D.直角三角形

考点一__空间几何体的结构特征________________ 给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;

③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的 上、 下底面是相似且对应边平行的多边形, 各侧棱延长线交于一点, 但是侧棱长不一定相等. [答案] B [规律方法] 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法: (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型, 在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判 定. (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即 可. 1.给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱; ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱. 其中错误的命题的序号是________. 解析: 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析, 故 ①③都不准确,②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确,④平行六面体的 两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④也不正确. 答案:①②③④ 考点二__空间几何体的三视图(高频考点)________ 空间几何体的三视图是每年高考的热点,题型为选择题或填空题,难度适中,属于中档 题. 高考对三视图的考查常有以下三个命题角度: (1)根据几何体的图形,识别三视图; (2)三视图还原直观图; (3)根据几何体三视图中的两个视图,判断第三个视图. (1)(2013· 高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可 以是( )

(2)(2015· 济宁模拟)点 M,N 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1B1,A1D1 的中点,用 过点 A,M,N 和点 D,N,C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1 所示, 则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图 2 中的( )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④③ [解析] (1)由俯视图是圆环可排除 A,B,C,进一步将已知三视图还原为几何体,可 得选项 D. (2)由正视图的定义可知:点 A,B,B1 在后面的投影点分别是 D,C,C1,线段 AN 在 后面的投影面上的投影是以 D 为端点且与线段 CC1 平行且相等的线段, 即正视图为正方形, 另外线段 AM 在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段 DC1 要画成虚线,正视图为②; 同理可得侧视图为③,俯视图为④. [答案] (1)D (2)B [规律方法] (1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平 齐、宽相等”的原则; (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几 何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;② 分部分,想整体;③综合起来,定整体. 2. (2015· 河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选 项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析:选 C.注意到在三视图中,俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等,而在选项 C 中, 3 其宽度为 ,与题中所给的侧视图的宽度 1 不相等. 2 考点三__空间几何体的直观图__________________ 已知平面△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积. [解] 如图所示,△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,作 C′D′∥A′B′交 y′轴于点 D′, 3 则 D′到 x′轴的距离为 a. 2 ∵∠D′A′B′=45°, 6 ∴A′D′= a. 2 由斜二测画法的规则知, 1 在△ABC 中,AB=A′B′=a,AB 边上的高是 A′D′的二倍,即为 6a,∴S△ABC= a· 6a 2 6 2 = a. 2

若将本例中△A′B′C′是边长为 a 的正三角形改为△ABC 是边长为 a 的正三

角形,求直观图△A′B′C′的面积. 解:如图所示的实物图和直观图. 1 3 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a. 2 4 在图中作 C′D′⊥A′B′交 x′轴于点 D′, 2 6 则 C′D′= O′C′= a. 2 8 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= A′B′·C′D′= ×a× a= a2. 2 2 8 16

[规律方法] 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多 边形顶点的位置一旦确定, 依次连接这些顶点就可画出相应的多边形, 因此平面多边形的直 观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.

考题溯源——由三视图还原几何体 (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画 出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥 [解析] 如图,几何体为三棱柱.

B.三棱柱 D.四棱柱

[答案] B [考题溯源] 本考题是由教材人教 A 版必修 2P15 练习题第 4 题“如图是一个几何体的三 视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.”演变而来.

已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该 几何体的俯视图的图形有( )

A.①②③⑤ C.①②④⑤ 答案:D

B.②③④⑤ D.①②③④

1. (2015· 青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后, 得到的几何体的直观图如图所示, 则该 几何体的俯视图为( )

解析:选 C.长方体的侧面与底面垂直,所以俯视图是 C. 2.给出下列几个命题: ①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱; ②对角面是全等矩形的六面体一定是长 方体;③长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 A.反例:①直平行六面体底面是菱形,满足条件但不是正棱柱;②底面是等 腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;③显然错误,故选 A. 3.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱 锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

解析:选 B.由于球与侧棱不相交,因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相 切,排除 A、D,又圆锥的高一定过球心,因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心, 排除 C,故选 B. 4. (2015· 山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图, 则图 中 x 的值为( )

A.2

B.3

C.4 D.5 解析:选 A.根据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的 1 组合体,∴几何体的体积 V=3×2×1+ ×3×2×x=10,解得 x=2. 3 5. (2015· 昆明三中、 玉溪一中统考) 如图, 三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形, 侧面 VAC 2 与底面垂直且 VA=VC,已知其正视图的面积为 ,则其侧视图的面积为( ) 3

3 2 3 C. 4 A.

3 3 3 D. 6 B.

4 解析:选 B.设三棱锥 V-ABC 的底面边长为 a,侧面 VAC 边 AC 上的高为 h,则 ah= , 3 其侧视图是由底面三角形 ABC 边 AC 上的高与侧面三角形 VAC 边 AC 上的高, 还有 VB 组成 1 3 4 3 的直角三角形,其面积为 × × = ,故选 B. 2 2 3 3 6.如图所示的 Rt△ABC 绕着它的斜边 AB 旋转一周得到的图形是________.

解析:过 Rt△ABC 的顶点 C 作线段 CD⊥AB,垂足为 D,所以 Rt△ABC 绕着它的斜边 AB

旋转一周后应得到是以 CD 作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体. 答案:两个圆锥的组合体 7.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形 的有________个.

解析:由三视图知该几何体是一个四棱锥,它的一个侧面与底面垂直,且此侧面的顶点 在底面上的射影为对应底边的中点,易知其有两个侧面是直角三角形. 答案:2 8 . (2014· 高考北京卷 ) 某三棱锥的三视图如图所示 ,则该三棱锥最长棱的棱长为 ________.

解析:根据三视图还原几何体,得如图所示的三棱锥 PABC.由三视图的形状特征及数 据,可推知 PA⊥平面 ABC,且 PA=2.底面为等腰三角形,AB=BC,设 D 为 AC 中点,AC =2, 则 AD=DC=1, 且 BD=1, 易得 AB=BC= 2, 所以最长的棱为 PC, PC= PA2+AC2 =2 2. 答案:2 2 9. 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直,图为该四棱锥 的正视图和侧视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形.

(1)根据图所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解: (1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形, 如图, 其面积为 36 cm2.

(2)由侧视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2 cm. 由正视图可知 AD=6 cm,且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= (6 2)2+62=6 3 (cm). 10.如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积. 解:(1)正六棱锥. (2)其侧视图如图:其中 AB=AC,AD⊥BC,且 BC 的长是俯视图中的正六边形对边的 1 距离,即 BC= 3a,AD 的长是正六棱锥的高,即 AD= 3a,∴该平面图形的面积 S= 3 2 3 2 a· 3a= a . 2


赞助商链接

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第七章 第1讲 空间...

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第七章 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图_数学_高中教育_教育专区。2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第七章...

...第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图课时...

2014高考数学 第七章 第一空间几何体的结构特征及三视图和直观图课时提升作业 文 北师大版_数学_高中教育_教育专区。【全程复习方略】 (陕西专用)2014 高考...

...第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 理(含...

2016届高考数学5年真题备考题库 第七章 第1空间几何体的结构特征及三视图与直观图 理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第7章 第1节 立体几何 空间几何...

...第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 含解...

2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 第七章 第一空间几何体的结构特征及三视图和直观图 含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届高考数学(...

第七章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图

第七章 第一空间几何体的结构三视图和直观图_数学_高中教育_教育专区。...旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到. (2)圆锥...

...第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

2010~2014年高考真题备选题库-第7章 第1空间几何体的结构特征及三视图与直观图_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2010~2014年高考真题备选题库空间几何体的...

...第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

2010~2014年高考真题备选题库第7章 第1空间几何体的结构特征及三视图与直观图_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2010~2014 年高考真题备选题库 第7章...

第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

第一空间几何体的结构特征及三视图与直观图_数学_自然科学_专业资料。第一节编写:叶伟基础知识梳理: 1.简单几何体 空间几何体的结构特征及三视图与直观图审核...

...:7.1 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图 Word...

2014高考数学(理,浙江专版)轮复习限时集训:7.1 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图 Word版含答案]_高中教育_教育专区。2014高考数学(理,浙江专版)轮复...

...第七章 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图训...

【创新设计2018高考数学一轮复习 第七章 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图训练 理 新人教A版 精品_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2014 高考数学一...