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面面平行的性质2016

时间:2016-11-29


平面与平面平行的性质

两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那 么这两个平面平行。

图形语言:

符号语言:
b a

?
?

A

a ?? b?? a?b=P a // ?


?// ?

b // ?

线面平行

?面面平行

思考: 面面平行的判定定理解决了面面平行的条件;反之,在 面面平行的条件下,会得到什么结论?

观察长方体ABCD-?A1B1C1D1的两个面:平面AC、平面A1C1
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都 平行于平面ABCD吗?

性质一、两个平面平行,其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面
符号语言:α∥β,a ? α ?a∥β

思考2 平面A1B1C1D1中的直线与平面 ABCD的直线有何位置关系?

如何找到两个平面内的平行线?
平行直线确定一个平面,于是我们引入第三个平面思考

探究1:当第三个平面和两个平行 平面都相交时,两条交线有什么 关系?为什么?

性质二、如果两个平行平面同时和第 三个平面相交,那么它们的交线平行
符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b

探究2:夹在两个平行平面间的两 条平行线段有何关系,为什么? 性质三、夹在两个平行平面间的两 条平行线段相等 符号语言:平面α∥平面β , AB//CD, A , D∈α ,B , C∈β ?AB=CD

A

D

?

?

B

C

探究3:过平面外一点做平面的平 行平面有几个,为什么? 性质四、经过平面外一点只有一个 平面和已知平面平行
?

?
A

符号语言:平面α,A?α,则存在唯一的平面α ∥平面β

探究4:如果两个平面分别平行于 第三个平面,那么这两个平面什么 位置关系? 性质五、如果两个平面分别平行于 第三个平面,那么这两个平面平行
?

?
?

符号语言:如果平面α∥平面γ ,平面β ∥平面γ
则α ∥β

小结

性质一、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 符号语言:α∥β,a ? α ?a∥β 性质二、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行 符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 性质三、夹在两个平行平面间的两条平行线段相等

符号语言:平面α∥平面β , AB//CD,A , D∈α ,B , C∈β ?AB=CD
性质四、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行 符号语言:平面α,A?α,则存在唯一的平面α ∥平面β 性质五、如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面平行 符号语言:如果平面α∥平面γ ,平面β ∥平面γ 则α ∥β

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例1 如图所示,平面α ∥平面β ,△ABC,△A′B′C′分别在 α ,β 内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在平面α 和平 面 β 之间,若 AB = 2 , AC = 2 ,∠BAC = 60°, OA∶OA′ =3∶2,则求△A′B′C′的面积.

练 1 平面 α ∥β , A 、 C∈α , B 、 D∈β ,直线 AB 与CD交于S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS.

例 2 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD-?A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD , AB = 2CD , E , E1 分别 是棱 AD , AA1 上的点 . 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面FCC1.

练2 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧 面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E= C1F.求证:EF∥平面ABCD.

例3 如图,已知平面α ∥平面β ,AB,CD是夹在这两个 平面之间的线段,且AE=EB,CG=GD,AB与CD不平行, 求证:EG∥平面α ,EG∥平面β .
证明 过点A作AH∥CD交平面β 于点H,设F 是AH的中点,连接EF,FG和BH,HD. 因为E,F分别是AB,AH的中点, 所以EF∥BH,且BH?β .所以EF∥β . 又F,G分别是AH,CD的中点,且AH∥CD ,所以FG∥HD. 又HD?β ,所以FG∥β . 因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥β , 又α ∥β ,所以平面EFG∥α . 因为EG?平面EFG,所以EG∥α ,EG∥β .

练3 已知平面α ∥平面β ,点A∈α ,C∈α ,点B∈β ,D∈β ,点 E∈AB 、F∈CD,且AE∶EB=CF∶FD.求证:EF∥β ,EF∥α .
证明 ①当AB,CD在同一平面内时,如图由α ∥β ,α ∩平面ABDC =AC,β ∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EF?β ,BD?β ,∴EF∥β . ②当AB 与 CD异面时,如图,设平面ACD∩β = l ,在 l 上取一点 H, 使DH=AC. ∵α ∥β , α ∩平面 ACDH = AC ,∴AC∥DH ,∴四边形 ACDH 是平 行四边形. 在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH, 又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β . ∵EF?平面EFG,∴EF∥β . 综上①②知,EF∥β . ∵α ∥β ,EF∥β 且EF?α ,∴EF∥α .

本课结束


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