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高中数学2015新课标步步高2.6


§ 2.6

对数与对数函数

1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中__a__ 叫做对数的底数,__N__叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(M

N)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN; N n ③logaMn=nlogaM (n∈R);④logamMn= logaM. m (2)对数的性质 ①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba 3.对数函数的图象与性质

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)=log3(log2y)=0,则 x+y=5. (2)2log510+log50.25=5. (3)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=2. (4)log2x2=2log2x. (5)当 x>1 时,logax>0. (6)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. 2.(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 1 解析 a=log36=1+log32=1+ , log23 1 b=log510=1+log52=1+ , log25 1 c=log714=1+log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 3.(2013· 浙江)已知 x,y 为正实数,则 A.2lg x
+lg

( √ ( × ( √ ( × ( × ( × (

) ) ) ) ) ) )

B.b>c>a D.a>b>c

( B.2lg(x
+y)

)

y

=2lg x+2lg y

=2lg x· 2lg y

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

答案 D 解析 2lg x· 2lg y=2lg x =2lg(xy) 故选 D.
. +lg

y

4.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1 答案 (- ,+∞) 2 1 解析 函数 f(x)的定义域为(- ,+∞), 2 令 t=2x+1(t>0). 因为 y=log5t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, 1 t=2x+1 在(- ,+∞)上为增函数, 2 1 所以函数 y=log5(2x+1)的单调增区间是(- ,+∞). 2 1? 1 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在[0, +∞)上为增函数, f? ?3?=0,则不等式 f(log8x)>0 的解集为________________. 1 0, ?∪(2,+∞) 答案 ? ? 2? 解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴它的图象关于 y 轴对称. ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0]上为减函数, 1? ? 1? 由 f? ?3?=0,得 f?-3?=0. 1 1 1 1 1 ∴f(log x)>0?log x<- 或 log x> 8 8 3 8 3 1 ?x>2 或 0<x< , 2 1 ? ∴x∈? ?0,2?∪(2,+∞).

题型一 对数式的运算 例1 (1)若 x=log43,则(2x-2 x)2 等于 9 5 10 4 A. B. C. D. 4 4 3 3 ?log2x,x>0, ? 1 (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f(log3 )的值是 2 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 7 A.5 B.3 C.-1 D. 2


(

)

(

)

思维启迪 (1)利用对数的定义将 x=log43 化成 4x=3;

(2)利用分段函数的意义先求 f(1),再求 f(f(1)); 1 f(log3 )可利用对数恒等式进行计算. 2 答案 解析 (1)D (2)A

(1)由 x=log43,得 4x=3,即 2x= 3, 3 2 32 4 - - 2 x= ,所以(2x-2 x)2=( )= . 3 3 3 (2)因为 f(1)=log21=0,所以 f(f(1))=f(0)=2. 1 1 1 因为 log3 <0,所以 f(log3 )=3-log3 +1 2 2 2 =3log32+1=2+1=3. 1 所以 f(f(1))+f(log3 )=2+3=5. 2 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公 式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式. 1 ? ??2?x,x≥4, 已知函数 f(x)=? 则 f(2+log 3)的值为________.

? ?f?x+1?,x<4,

2

答案

1 24

解析 因为 2+log23<4, 所以 f(2+log23)=f(3+log23), 而 3+log23>4, 1 1 1 所以 f(3+log23)=( )3+log23= ×( )log23 2 8 2 1 1 1 = × = . 8 3 24 题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是 ( )

(2)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47), - b=f(log 1 3),c=f(0.2 0.6),则 a,b,c 的大小关系是 ( )
2

A.c<a<b C.b<c<a

B.c<b<a D.a<b<c

思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象; (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小,利用函数的单调性或中间值可达到目的. 答案 解析 (1)C (2)B (1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;

又函数 y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除 D.选 C. (2)log 1 3=-log23=-log49,
2

b=f(log 1 3)=f(-log49)=f(log49),
2

log47<log49,0.2

-0.6

1? 3 5 5 =? ?5?-5= 125> 32=2>log49,

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, 故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减的, - ∴f(0.2 0.6)<f(log 1 3)<f(log47),即 c<b<a.
2

思维升华 式等;

(1)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小,解不等

(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系,充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想. 1?-0.8 (1)已知 a=21.2,b=? ?2? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a C.b<a<c B.c<a<b D.b<c<a )

(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 a=________, b=________. 答案 解析 (1)A (2)2 2 1?-0.8 0.8 1.2 (1)b=? ?2? =2 <2 =a,

c=2log52=log522<log55=1<20.8=b, 故 c<b<a. (2)f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1). 则 f(-1)=loga(-1+b)=0 且 f(0)=loga(0+b)=1, ?b-1=1 ?b=2 ? ? ∴? ,即? . ?b=a ?a=2 ? ? 题型三 对数函数的应用 例3 已知函数 f(x)=loga(3-ax).

(1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 思维启迪 f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题,分离参数 a 来解决;探究 a 是否存在, 可从单调性入手. 解 (1)∵a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax,

则 t(x)=3-ax 为减函数, x∈[0,2]时,t(x)最小值为 3-2a, 当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a< . 2 3? 又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪? ?1,2?. (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)为减函数, ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数, ∴y=logat 为增函数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), 3 a< ? 2 3 - 2 a >0 ? ∴? ,即 , 3 ?loga?3-a?=1 ? a= 2

? ? ?

故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 思维升华 解决对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义 域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 (3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2 解 (1)由 4x-1>0,解得 x>0,

因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0<4x1-1<4x2-1, 因此 log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(0,+∞)上递增.

1 (3)f(x)在区间[ ,2]上递增, 2 1 又 f( )=0,f(2)=log415, 2 1 因此 f(x)在[ ,2]上的值域为[0,log415]. 2

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(15 分)(1)设 a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.b<a<c B.a<b<c D.a<c<b

)

A.a>b>c C.a>c>b

B.b>a>c D.c>a>b

(3)已知函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,a= (20.2)· f(20.2),b=(logπ3)· f(logπ3),c=(log39)· f(log39),则 a,b,c 的大小关系是( A.b>a>c C.c>b>a B.c>a>b D.a>c>b )

思维启迪 (1)利用幂函数 y=x0.5 和对数函数 y=log0.3x 的单调性,结合中间值比较 a,b,c 的大小; 10 (2)化成同底的指数式,只需比较 log23.4、log43.6、-log30.3=log3 的大小即可,可以利用 3 中间值或数形结合进行比较; (3)先判断函数 φ(x)=xf(x)的单调性,再根据 20.2,logπ3,log39 的大小关系求解. 解析 (1)根据幂函数 y=x0.5 的单调性,可得 0.30.5<0.50.5<10.5=1,即 b<a<1; 根据对数函数 y=log0.3x 的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1. 所以 b<a<c.

方法一 在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y= log4x 的图象,如图所示. 由图象知: 10 log23.4>log3 >log43.6. 3 10 10 方法二 ∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3

10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3 10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3

(3)因为函数 y=f(x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数. 因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),且当 x∈(-∞,0)时, [xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,则函数 y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减; 因为 y=xf(x)为奇函数,所以当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减. 因为 1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2, 所以 0<logπ3<20.2<log39, 所以 b>a>c,选 A. 答案 (1)C (2)C (3)A 温馨提醒 法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而 底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1. (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方

方法与技巧 1.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=logax 的定义域应为{x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进 行分类讨论. 2.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 3. 多个对数函数图象比较底数大小的问题, 可通过图象与直线 y=1 交点的横坐标进行判定. 失误与防范 1.在运算性质 logaMα=αlogaM 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMα= αloga|M|(α∈N+,且 α 为偶数). 2.指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数,应从概念、 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底 数的取值

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.函数 y= 2-x 的定义域是 lg x B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2} ( )

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} 答案 D

2-x≥0 ? ? 解析 要使函数有意义只需要?x>0 , ? ?lg x≠0 解得 0<x<1 或 1<x≤2, ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 2.函数 y=lg|x-1|的图象是 ( )

答案 A
?lg?x-1?,x>1 ? 解析 ∵y=lg|x-1|=? . ?lg?1-x?,x<1 ?

∴A 项符合题意. 3.已知 x=ln π,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x 答案 D 解析 ∵x=ln π>ln e,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 ∵z=e
? 1 2 ? 1 2

,则 B.z<x<y D.y<z<x

(

)



1 1 1 1 > = ,∴ <z<1. 2 e 4 2

综上可得,y<z<x.

4.

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 答案 C

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

?a>1 或-1<a<0. 5.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 A.(1,+∞) 1? C.? ?0,3? 答案 D 解析 由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数, ∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数, 因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即 a>3,故选 D. 二、填空题
? 1 6.计算(lg -lg 25)÷ 100 2 =________. 4 1

(

)

B.(0,1) D.(3,+∞)

答案 -20 解析
? 1 1 - (lg -lg 25)÷ 100 2 =(lg )÷ 10 1 4 100 1

=-2×10=-20. + ?3x 1,x≤0, ? 7.已知函数 f(x)=? 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围是 ? ?log2x,x>0, ________________. 答案 {x|-1<x≤0 或 x>2}


解析 当 x≤0 时,3x 1>1?x+1>0,∴-1<x≤0; 当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2. 综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2. 1+a2 8.若 log2a <0,则 a 的取值范围是____________. 1+a

1 ? 答案 ? ?2,1? 1+a2 解析 当 2a>1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a 1+a2 ∴ <1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1+a 1 ∴a2-a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2 1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a 1+a2 ∴ >1.∵1+a>0,∴1+a2>1+a, 1+a ∴a2-a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意. 1 ? 综上所述,a∈? ?2,1?. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 解 (1)要使函数 f(x)有意义. ?x+1>0, ? 则? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ? 故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 1 1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- , 2 8 求 a 的值. 1 由题意知 f(x)= (logax+1)(logax+2) 2 1 1 3 1 2 = (loga x+3logax+2)= (logax+ )2- . 2 2 2 8 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 解 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数,

∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 1 3 1 1 若 (loga2+ )2- =1,则 a=2- , 2 2 8 3

= 2?[2,8],舍去. 1 3 1 1 若 (loga8+ )2- =1,则 a= , 2 2 8 2 1 3 此时 f(x)取得最小值时,x=( )- 2 2 =2 2∈[2,8],符合题意, 1 ∴a= . 2 B 组 专项能力提升 2 1.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ? ? A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案 A 解析 由 f(x)是奇函数可得 a=-1, 1+ x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1- x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x 2.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3 答案 C 2-x+x 解析 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称,又当 x≥1 时,f(x)=ln 2 x,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大, 1 1 1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|,∴f( )<f( )<f(2). 3 2 2 3 3.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2 ________. 答案 16 解析 f(x1x2?x2 015)=loga(x1x2?x2 015)=8,
015)=8,则 2 2 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 015)=

(

)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

2 2 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 015)

2 2 =logax2 1+logax2+?+logax2 015

=loga(x1x2?x2 015)2=2loga(x1x2?x2 015)=16. 4.设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b. (1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关于 b 的方程 g(b)=0,存在 2 b0∈(3,4),使 g(b0)=0. (1)解 由 f(x)=1 得,lg x=± 1, 1 所以 x=10 或 . 10 (2)证明 结合函数图象,由 f(a)=f(b)可判断 a∈(0,1),b∈(1,+∞),

从而-lg a=lg b,从而 ab=1. 1 1 +b 2 · b b a+b b 1 又 = > =1(因 ≠b). 2 2 2 b a+b 2 (3)证明 由已知可得 b=( ), 2 1 得 4b=a2+b2+2ab,得 2+b2+2-4b=0, b 1 2 g(b)= 2+b +2-4b, b 因为 g(3)<0,g(4)>0,根据零点存在性定理可知,函数 g(b)在(3,4)内一定存在零点,即存 在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0. 5.已知函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2



函数 y=log 1 (x2-ax+a)是由函数 y=log 1 t 和 t=x2-ax+a 复合而成.
2 2

因为函数 y=log 1 t 在区间(0,+∞)上单调递减,
2

a 而函数 t=x -ax+a 在区间(-∞, )上单调递减, 2 a 故函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, ]上单调递增. 2
2

2

又因为函数 y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,
2

a ? ? 2≤2, 所以? ? ?? 2?2- 2a+a≥0,

?a≥2 2, 解得? 即 2 2≤a≤2( 2+1). ?2- 2a+a≥0,


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