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06109-华东师大二附中2005高考数学模拟试卷(2)


高三数学模拟测试题
一、 填空题
1、 函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ( x ? ?1) 的反函数是________________。 2、 已知集合 M ? {x x ? a ? 0}, N ? {x ax ? 1}, 若 M ? N ? N 则实数 a 的值为________。 3、 已知数列 1, a1 , a2 ,4 成等差数列, 1, b1

, b2 , b3 ,4 成等比数列,则 4、 函数 f(x)=sinx+ sin x 的最小正周期是_______________。 5、 若不等式

a1 ? a2 的值为 b2

ax ? 1的解集是 {x | x ? 1或x ? 2} ,则实数 a 的值为 x ?1

6、 (新)某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1000 人、600 和 480 人,现采用 按年级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高三年级抽查了 24 人,则这次调查三 个 年 级 共 抽 查 了 __ 人 . (老)某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1000 人、600 和 480 人,为了解 学生的视力状况, 随机抽查了 24 人, 则每个年级各 8 人的概率是________ (写出表达式) 7、 已知奇函数 f(x)在(-∞,0)为减函数,且 f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0 的解集为______________。 8、 已知复数 Z=x-2+yi,x,y∈R 的模是 3 ,则

y 的最大值是______________。 x

9、 如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是___________。 10、

将圆 x 2 ? y 2 ? 2 按向量 v =(2,1)平移后,与直线 x ? y ? ? ? 0 相切, 。
2x 2 f ( x) ? 1? x2
那 么

则λ 的值为
11、 已 知 函 数

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?

1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( =_____________。 2 3 4 5
12、

过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F(c,0)的直 a2 b2

线交双曲线于 M、N 两点,交 y 轴于 P 点,若
2a 2 PM ? ? MF, PN ? ? NF 则有 2 . 类比双曲线这一 b

结论,在椭圆
二、选择题

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)中,λ+μ = a2 b2



13、已知 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

1 , 则方程 x 2 sin ? ? y 2 cos ? =1 表示 2
( )

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线

B.焦在点 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ( )

14、 (新)条件 p :| x |? 1, 条件q : x ? ?2, 则 p 是 q 的 A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.既不是充分条件又不是必要条件

(老)条件 p :| x |? 1, 条件q : x ? ?2, 则 p 是 q 的 A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.既不是充分条件又不是必要条件

(

)

15、已知 tan1100=a,求 tan500 的值(用 a 表示) ,甲的到结果是

a? 3 1 ? 3a

,乙得到的结

果是

1? a2 ,对此你的判断是 2a
B 乙对甲不对
2

( C 甲乙均不对 D 甲乙都对



A 甲对乙不对

16、直线 ? :y=kx+1(k?0),椭圆E:

y2 x ? ? 1 ,若直线 ? 被椭圆E所截弦长为 d,则下列直 m 4
( D.kx+y=0
? ? 3? ,且 a · b =-2, 4

线中被椭圆E截得弦长不是 d 的直线是 A.kx+y+1=0 三、解答题 17.、已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为 (1)求向量 b ; (2)若 t ? (1,0)且 b ? t , c ? (cos A,2 cos
? ? ? ? 2
?
? ? ?



B.kx-y-1=0

C.kx+y-1=0

C ) ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形 2
?

的三内角 A、B、C 依次成等差数列,试求| b + c |的取值范围. 18、在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,SA=AC=CB=3. (1)判断 SC 和 CB 的位置关系,并给出证明; (2)求点 A 到平面 SBC 的距离; (3)求二面角 C—SB—A 的大小.

?

19、 (新)医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐. 已知甲种药片每片含 5 单位的 蛋白质和 10 单位的铁质,售价为 3 元;乙种药片每片含 7 单位的蛋白质和 4 单位的铁质, 售价为 2 元. 若病人每餐至少需要 35 单位的蛋白质和 40 单位的铁质,应使甲、乙两种药片 各几片才能既满足营养要求又使费用最省? (老)某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说: “如果校长买全 票一张,则其余学生可享受半价优待。 ”乙旅行社说: “包括校长在内,全部按全票价的 6 折(即按全票价的 60%收费)优惠。 ”若全票价为 240 元. (I)设学生数为 x,甲旅行社收费为 y甲 ,乙旅行社收费为 y乙 ,分别计算两家旅行社的 收费(建立表达式); (II)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样; (III)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠. 20、 (新)甲乙俩人,按下列规则掷骰子,第一次,如果掷出 1 点,下一次还由同一人继续 掷;如果出现其他点数则换另一人掷。第一次甲先掷,设第 n 次是甲掷的概率为 Pn (1)用 Pn 表示 Pn+1,并求数列{Pn}的通项; (2)求 lim Pn
n ??

(老)已知函数 f ( x) ?

2 x2 ? 1,( x ? 0) ,数列{an}满足:a1=1,且 an ? f (an?1 ),

(n ? 2, n ? N )
(1)求数列{an}的通项; (2)求 lim
2 3n ? an ; n ?? 3 n ? 2

21、已知两个动点 A、B 和一个定点 M ( x0 , y0 ) 均在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上.设 F 为抛 物线的焦点, Q 为对称轴上一点, 若 (QA ? 差数列. (1)求 OQ 的坐标; (2)若|| OQ =3, | FM |? 2, 求 | AB | 的取值范围.

1 AB ) ? AB ? 0, 且 | FA |,| FM |,| FB | 成等 2

22、若集合 A1、A2 满足 A1 ? A2 ? A ,则称(A1,A2)是集合 A 的一个分拆,当且仅当 A1=A2 时, (A1,A2)与(A2,A1)为集合 A 的同一种分拆。 (1) 、当集合 A={a1},求分拆总数 S1 (2) 、当集合 A={a1,a2}时,求分拆总数 S2 (3)当集合 A={a1,a2……an}时,求分拆总数 Sn (4)证明 Sn>2n2+1(n>3)

参考答案: 1、 f
?1

( x) ? ? 1 ? x ( x ? 0) ,2、0,-1,1 3、

5 2

4、2π 5、0.5 6、

8 8 8 C1000 C600 C480 ,7、 24 C2080

(?1,1) ? (2,3) 8、 3

9、2 10、-5 或-1 11、9 12、-

2a 2 13、B、14、B 15、D 16、D b2
? 1 ? x2 ? y2 .

17、 (1)设 b =(x,y) ,则 2 x ? 2 y ? ?2, 且 | b |?

a ?b 3? | a | cos 4

∴解得 ?

(2) B ? ? ,? b ? t , 且t ? (1,0), ? b ? (0,?1) .∴ b ? c ? (cos A,2 cos 2 C ? 1) ? (cos A, cos C ), 2 3

?x ? ?1 ?x ? 0 或? , b ? (?1,0)或b ? (0,?1) y ? 0 y ? ? 1 ? ?

1 (cos 2 A ? cos 2C ) 2 1 2? 2? ?? ? A?C ? , =1+ cos( A ? C ) cos( A ? C ) ? 1 ? cos( A ? C ), 2 3 3 1 2 5 ∴ ? ? cos( A ? C ) ? 1, ∴ ?| b ? c |? . 2 2 2
∴ | b ? c | ? cos A ? cos C ? 1 ?
2 2 2

18、 (1)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 则 C(

3 2 3 2 , ,0), B(0,3 2 ,0), S (0,0,3) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 , ,0) 则 SC ? CB ? 0 ,所以直线 SC ? CB ,? ,3) ,CB ? (? 2 2 2 2

则向量 SC ? (?

(2)设 n ? ( x, y, z) 是平面 SBC 的法向量则有:

? 3 2 3 2 x? y ? 3z ? 0 ?? AC ? n 3 ? 2 2 ? 2 , 设 x=1 , 则 , 则点 A 到平面 SBC 的距离为: n ? ( 1 , 1 2 ) ? 2 ? 3 2 3 2 n ? x ? y ? 0 ? 2 ? 2
(3) 、平面 ASB 的法向量 n1 ? (1,0,0) ,则 cos? ? 19、(1) y甲 =120x+240,

n ? n1 n n1

?

1 ,所以 C-SB-A 的大小为 600 2

y乙 =240·60%(x+1)=144x+144.

(2)根据题意,得 120x+240=144x+144, 解得 x=4. 答:当学生人数为 4 人时,两家旅行社的收费一样多. (3)当 y甲 > y乙 ,120x+240>144x+144, 解得 x<4;

当 y甲 < y乙 , 120x+240<144x+144,

解得 x>4.

答:当学生人数少于 4 人时,乙旅行社更优惠;当学生人数多于 4 人时,甲旅行社更优惠. 20 、 解 :

1 2 1 1 5 5 2 Pn ? (1 ? Pn ) ? ? Pn , Pn ?1 ? = ? ( Pn ? ) , P1=1 , 2 3 2 6 6 6 3 1 1 2 1 1 2 1 Pn ? ? (? ) n ?1 , Pn ? ? (? ) n ?1 ,所以 lim Pn ? n ? ? 2 2 3 2 2 3 2

Pn ?1 ?

21、解: (1)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 | FA |? x1 ? p , | FM |? x0 ? p , | FB |? x 2 ? p .
2 2 2

由 | FA |, | FM |, | FB | 成等差数列,有 2( x0 ?

x ?x p p p ) ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? x0 ? 1 2 . 2 2 2 2

2 2 ∵ y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 , 两式相减,得 k AB ?

y1 ? y 2 2p ? . x1 ? x2 y1 ? y 2

设 AB 的中点为 N ( x0 ,

y1 ? y 2 1 ),? (QA ? AB) ? AB ? 0, ∴NQ 是 AB 的垂直平分线, 设 Q( xQ ,0). 2 2

∴ k NQ

y1 ? y 2 y1 ? y 2 ?0 ?0 2p 2 2 ? ,由k NQ ? k AB ? ?1, 得 ? ? ?1. ∴ xQ ? x0 ? p, ∴ Q( x0 ? p,0). x 0 ? xQ x0 ? xQ y1 ? y 2
p ? 2 ? x0 ? 1, p ? 2. 2

(2)由 | OQ |? 3, | FM |? 2, 得x0 ? p ? 3, 且x0 ? ∴抛物线为 y ? 4 x.又直线AB为 : y ? y N ?
2

2 ( x ? 1)( y N ? 0) yN

∴有 y ? y N ?

2 y2 2 ( ? 1) ? y 2 ? 2 y N y ? 2 y N ? 4 ? 0. yN 4
1
2 k AB 2 2 4 ? 4 yN ? 4( 2 y N ? 4) ? 16 ? y N ,

∴ | AB |? 1 ?

由 ? ? 0 ? ?2 ? y N ? 2, 且y N ? 0, | AB | 的取值范围为(0,4) 22、 (1)S1=3, (2)S2=9 (3) 、A1 有 C n 个 k 元子集,每个 k 元子集对应的 A2= A1 ? C 其中 C 是 A1 的所有可能子集
k

共有 2k 个,所以 Sn= Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn 2 ? ? ? Cn 2 ? 3
0 0 1 1 k k n n

n

(4) 3 ? C n 2 ? C n 2 ? ? ? C n 2 ? ? ? C n 2 ? 1 ? 2n ? 4
n 0 0 1 1 k k n n

n(n ? 1) ? 2n 2 ? 1 2


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