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北师大版数学必修二1.3.1 (28)


1.2.4

平面与平面的位置关系 两平面平行

第 1 课时
明目标、知重点

1.了解平面与平面的位置关系,掌握面面平行的判定定理、性质定理;

2.会进行“线线平行”、“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化,来证明“线线平 行”、“线面平行”及“面面平行”等问题;3.了解两个平面间的

距离的概念.

1.两个平面的位置关系 位置关系 平面 α 与平面 β 平行 图形表示 符号表示 α∥β 公共点 没有公共点

平面 α 与平面 β 相交

α∩β=l

有一条公共直 线

2.平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行. 用符号表示为 若 a?α,b?α,a∩b=A,且 a∥β,b∥β,则 α∥β. 3.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. (1)符号表示为:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b. (2)性质定理的作用:利用性质定理可证线线平行,也可用来作空间中的平行线. 4.面面平行的其他性质 (1)两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一平面,即 明线面平行; (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等; (3)平行于同一平面的两个平面平行. 5.两平行平面间的距离 (1)与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面 间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段.
? α∥β? ? a?α? ??a∥β,可用来证

(2)两个平行平面的公垂线段都相等.我们把两平行平面公垂线段的长度叫做两个平行平面 间的距离.

[情境导学] 前面我们研究了空间直线与直线、直线与平面的位置关系,那么,空间两个平 面可能有哪几种位置关系? 探究点一 平面与平面之间的位置关系 思考 1 拿出两本书, 看作两个平面, 上下、 左右移动和翻转, 它们之间的位置关系有几种? 答 从实验中可以看出,两个平面之间的位置关系只有平行或相交. 思考 2 如图所示,围成长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面,两两之间的位置关系有 几种?

答 这六个面中相对的任意两个面平行, 相邻的任意两个面相交. 因此六个面只有两种位置 关系,即平行和相交. 小结 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线. 思考 3 平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 答 平面与平面平行的符号语言是:α∥β; 图形语言是:

例1

α、β 是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是________.

①平面 α 内有两条直线 a、b 都与平面 β 平行,那么 α∥β; ②平面 α 内有无数条直线平行于平面 β,那么 α∥β; ③若直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行,那么 α∥β; ④平面 α 内所有的直线都与平面 β 平行,那么 α∥β. 答案 ④ 解析 ①、②都不能保证 α、β 无公共点,如图 1 所示;③中当 a∥α,a∥β 时 α 与 β 可能 相交,如图 2 所示;只有④说明 α、β 一定无公共点.

反思与感悟 判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的 意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断. 跟踪训练 1 两平面 α、β 平行,a?α,下列四个命题: ①a 与 β 内的所有直线平行; ②a 与 β 内无数条直线平行; ③直线 a 与 β 内任何一条直线都不垂直; ④a 与 β 无公共点. 其中正确命题有________个. 答案 2 解析 ①中 a 不能与 β 内的所有直线平行而是与无数条平行,有一些是异面;②正确;③中 直线 a 与 β 内的无数条直线垂直;④根据定义 a 与 β 无公共点,正确. 探究点二 平面与平面平行的判定 思考 1 生活中有没有平面与平面平行的例子? 答 教室的天花板与地面给人平行的感觉,前后两块黑板也是平行的. 思考 2 三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行, 这个三角板或课本所在平面与桌面平 行吗? 答 通过试验得出不一定平行. 思考 3 因为两条相交直线确定一个平面, 这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平 行问题.当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢? 答 当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行时, 这个三角板或课本所在平面与 桌面平行. 小结 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那 么这两个平面平行. 这个定理可简单记为线面平行,则面面平行. 思考 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理? 答 符号表示:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β 图形表示:

思考 5 在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,对吗?

答 不对.在一个平面内的无数条直线是一组平行线时,这两个平面有可能相交,必须是这 个平面内所有的直线才行. 例 2 如图所示,在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,求证:平面 C′DB∥平面 AB′D′.

证明 AB 綊 DC 綊 D′C′?ABC′D′是平行四边形 ?BC′∥AD′

? ? BC′?平面AB′D′ ? AD′?平面AB′D′? ? ? ? 同理,C′D∥平面AB′D′? ? BC′∩C′D=C′ ?
?BC′∥平面AB′D′

(

?平面 C′DB∥平面 AB′D′. 反思与感悟 两个平面平行的判定或证明是将其转化为一个平面内的两条相交直线与另一

个平面平行的问题.即“若线面平行,则面面平行”. 跟踪训练 2 如图,已知三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别是 PA,PB,PC 的中点,求证: 平面 DEF∥平面 ABC.

证明 在△PAB 中,因为 D,E 分别是 PA,PB 的中点,所以 DE∥AB, 又知 DE?平面 ABC,因此 DE∥平面 ABC,同理 EF∥平面 ABC, 又因为 DE∩EF=E,所以平面 DEF∥平面 ABC. 探究点三 平面与平面平行的性质 思考 1 如何判断平面和平面平行? 答 有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判 定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行. 思考 2 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系? 答 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 思考 3 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关

系? 答 平行或异面. 思考 4 在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,平面 AC 内哪些直线与 B′D′平行呢?如何 找到它们? 答 平面 AC 内的直线只要与直线 B′D′共面都满足. 思考 5 当第三个平面和两个平行平面都相交时, 两条交线有什么关系?如何证明它们的关 系? 答 两条交线平行.下面我们来证明这个结论. 已知 如图,平面 α,β,γ 满足 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b. 求证 a∥b.

证明 ∵α∩γ=a,β∩γ=b, ∴a?α,b?β. 又∵α∥β, ∴a,b 没有公共点, 又∵a,b 同在平面 γ 内, ∴a∥b. 小结 平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的 交线平行. 思考 6 如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理?这个定理的作用是什么? 答 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.定理的作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线

平行. 例 3 求证: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 那么它也垂直于另一个平面. 已知 α∥β,l⊥α(如图所示).

求证 l⊥β. 证明 设 l∩α=A,在平面 β 内任取一条直线 b.

因为点 A 不在 β 内,所以点 A 与直线 b 可确定平面 γ. 设 γ∩α=a.

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ? ?l⊥b.
α∥β l⊥α ? ? ??l⊥a ? a?α?

? ? ? ? ?

由于直线 b 是平面 β 内的任意一条直线,所以 l⊥β. 反思与感悟 面面平行的性质定理是证明线线平行的重要方法,在面面平行关系的学习中, 要善于对线线、 线面平行的概念、判定和性质进行类比、 探索、 总结, 特别要注意相互转化. 跟踪训练 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、

F,且 B1E=C1F.求证:EF∥平面 ABCD.

证明 过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于点 G,连结 GF, B1E B1G 则 = . B1A B1B

∵B1E=C1F,B1A=C1B, C1F B1G ∴ = . C1B B1B ∴FG∥B1C1∥BC, 又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴平面 EFG∥平面 ABCD,而 EF 在平面 EFG 内, ∴EF∥平面 ABCD.

1.平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,下面四种情形: ①a∥b.②a⊥b.③a 与 b 异面.④a 与 b 相交,其中可能出现的情形有________种. 答案 3 解析 因为平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β, 所以直线 a 与直线 b 无公共点. 当直线 a 与直线 b 共面时,a∥b; 当直线 a 与直线 b 异面时,a 与 b 所成的角大小可以是 90° . 综上知,①②③都有可能出现,共有 3 种情形. 2.直线 a,b 为异面直线,关于过直线 a 与直线 b 平行的平面的情况,下列说法正确的是 ________. ①有且只有一个 ②有无数多个 ③至多一个 ④不存在 答案 ① 解析 在直线 a 上任选一点 A,过点 A 作 b′∥b,则 b′是唯一的,因 a∩b′=A,所以 a 与 b′确定一平面并且只有一个平面,故①正确. 3.下列说法中正确的是________. ①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行. 答案 ③④ 解析 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而 是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在. 对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,同①. 对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平 行的定义. 对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个 平面平行的判定定理. 所以只有③④正确. 4.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,

求证:(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. [呈重点、现规律] 1.证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行; (3)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (4)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 2.常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. 3.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

一、基础过关 1.已知平面 α∥平面 β,过平面 α 内的一条直线 a 的平面 γ,与平面 β 相交,交线为直线 b, 则 a、b 的位置关系是_______________________________________________________. 答案 平行 解析 两平行平面 α,β 被第三个平面 γ 所截,则交线 a、b 平行. 2.已知 a,b 是两条相交直线,a∥α,则 b 与 α 的位置关系是________. 答案 b∥α 或 b 与 α 相交 解析 由题意画出图形,当 a,b 所在平面与平面 α 平行时,b 与平面 α 平行,当 a,b 所在 平面与平面 α 相交时,b 与平面 α 相交. 3.已知两条直线 m,n,两个平面 α,β.给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α?n⊥α; ②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m∥α?n∥α; ④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β. 其中真命题的序号是________. 答案 ①④ 解析 对于①, 由于两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直, 则另一条直线也与该平面 垂直,因此①是真命题;对于②,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但不 能确定它们一定平行,因此②是假命题;对于③,直线 n 可能位于平面 α 内,因此③是假命 题;对于④,由 m⊥α 且 α∥β 得 m⊥β,又 m∥n,故 n⊥β,因此④是真命题. 4.已知 a,b 表示两条不同的直线,α,β 表示两个不重合的平面,则给出下列四个命题: ①若 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b; ②若 a∥b,a∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,a?α,则 a∥β;

④若 a∥α,a∥β,则 α∥β. 其中,正确的个数为________. 答案 1 解析 对于①,a∥b 或 a 与 b 是异面直线,故①错误;对于②,也可能是 α 与 β 相交,故 ②错误;对于④,同样 α 与 β 也可能相交,故④错误;只有③正确. 5.已知 a,b 表示两条不同的直线,α,β,γ 表示三个不重合的平面,给出下列命题: ①若 α∩γ=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥β; ②若 a,b 相交,且都在 α,β 外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则 a∥β; ③若 a?α,a∥β,α∩β=b,则 a∥b. 其中,正确命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①错误,α 与 β 也可能相交;②正确,依题意,由 a,b 确定的平面 γ,满足 γ∥α,γ ∥β;③正确,由线面平行的基本性质可知. 6.

如图所示,P 是三角形 ABC 所在平面外一点,平面 α∥平面 ABC,α 分别交线段 PA、PB、 PC 于 A′、B′、C′,若 PA′∶AA′=2∶3,则 S△A′B′C′∶S△ABC=________. 答案 4∶25 解析 面 α∥面 ABC,面 PAB 与面 α,面 ABC 的交线分别为 A′B′,AB,∴AB∥A′B′, 同理 B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′, A′B′ 2 PA′ 2 4 S△A′B′C′∶S△ABC=( ) =( )= . AB PA 25

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的 中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

证明 (1)如图,连结 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点, ∴EG∥SB.

又∵SB?平面 BDD1B1, EG?平面 BDD1B1, ∴EG∥平面 BDD1B1. (2)连结 SD, ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1, 由(1)知 EG∥平面 BDD1B1, 且 EG?平面 EFG, FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1. 二、能力提升 下列说法中正确的个数是________. ①平面 α 与平面 β,γ 都相交,则这三个平面有 2 条或 3 条交线; ②如果平面 α 外有两点 A,B 到平面 α 的距离相等,则直线 AB∥α; ③如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; ④直线 a 不平行于平面 α,则 a 不平行于 α 内任何一条直线; ⑤如果 α∥β,a∥α,那么 a∥β. 答案 0 解析 ①错误.平面 α 与平面 β,γ 都相交,则这三个平面有可能有 2 条或 3 条交线,还有 可能只有一条交线. ②错误.如果两点 A,B 在平面 α 的同一侧,则直线 AB∥α;如果两点 A,B 在平面 α 的两 侧,则直线 AB 与平面 α 相交. ③错误.如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么直线 a 有可能在经过 b 的平面内. ④错误.直线 a 不平行于平面 α,则 a 有可能在平面 α 内,此时可以与平面内无数条直线平

行. ⑤错误.如果 α∥β,a∥α,那么 a∥β 或 a?β.

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足________时, 有 MN∥平面 B1BDD1. 答案 M∈线段 FH 解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1, HN∩HF=H,BD∩DD1=D, ∴平面 NHF∥平面 B1BDD1, 故线段 FH 上任意一点 M 与 N 连结, 有 MN∥平面 B1BDD1.

10. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 P 是面 AA1D1D 的中点, 点 Q 是面 A1B1C1D1 的对角线 B1D1 上一点,且 PQ∥平面 AA1B1B,则线段 PQ 的长为________. 答案 2 2

解析 当且仅当点 Q 为 B1D1 的中点时,PQ∥平面 AA1B1B,取 A1D1 中点 O,连结 OQ,OP, 则 OQ∥A1B1,OP∥A1A. 1 故易证平面 OPQ∥平面 ABB1A1,则 PQ∥平面 ABB1A1,在 Rt△POQ 中,OQ=OP= ,∴ 2 PQ= 2 . 2

11.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中点,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,连结 PQ,易证四边形 PQBA 为平行四边形,∴QB ∥PA. 又∵AP?平面 APO,QB?平面 APO. ∴QB∥平面 APO. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 同理可得 D1B∥平面 PAO,又 D1B∩QB=B, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

12.如图所示,B 为△ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的 重心. (1)求证:平面 MNG∥平面 ACD; (2)求 S△MNG∶S△ADC. (1)证明 连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于点 P、F、H. ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心, BM BN BG ∴ = = =2. MP NF GH 连结 PF、FH、PH,有 MN∥PF. 又 PF?平面 ACD,∴MN∥平面 ACD. 同理 MG∥平面 ACD.又 MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD. MG BG 2 (2)解 由(1)可知 = = , PH BH 3 2 ∴MG= PH. 3

1 1 又 PH= AD,∴MG= AD. 2 3 1 1 同理 NG= AC,MN= CD. 3 3 ∴△MNG∽△ADC,其相似比为 1∶3. ∴S△MNG∶S△ADC=1∶9. 三、探究与拓展

13.如图直线 AC、DF 被三个平行平面 α,β,γ 所截. (1)问是否一定有 AD∥BE∥CF; (2)求证: AB DE = . BC EF

(1)解 若 AB,DE 异面,则 A,B,D,E 不在同一个平面上,则 AD 不平行于 BE.所以不一 定有 AD∥BE∥CF.

(2)证明 如图所示,过点 A 作 DF 的平行线,交 β,γ 于 G,H 两点,AH∥DF.过两条平行 线 AH,DF 的平面,交平面 α,β,γ 于 AD,GE,HF.根据两平面平行的性质定理,有 AD ∥GE∥HF.
? AG∥DE? ??四边形 AGED 为平行四边形. ? AD∥GE?

所以 AG=DE.同理 GH=EF. 又过 AC, AH 两相交直线的平面与平面 β, γ 的交线为 BG, CH.根据两平面平行的性质定理, 有 BG∥CH. AB AG 在△ACH 中, = . BC GH AB DE 而 AG=DE,GH=EF,故 = . BC EF


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