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数学竞赛教案讲义(11)——圆锥曲线


第十一章
一、基础知识

圆锥曲线

1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的 距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点 的轨迹(其中定点不

在定直线上) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出 发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线 的交点的轨迹即为椭圆。 2 椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义 可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

y2 y2 ? ?1 a2 b2

(a>b>0)。

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ?

a2 , c

a2 c 与右焦点对应的准线为 x ? ; 定义中的比 e 称为离心率, e ? , c2+b2=a2 知 0<e<1. 且 由 c a
椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。

4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, a2 b2

y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b
2)斜率为 k 的切线方程为 y ? k x ?

a2k 2 ? b2 ;

3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab 2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan ?

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1。 a2 b2
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2
a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为

a2 a2 c ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2+b2=c2 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为 x ? ? c c a
知 e>1。两条渐近线方程为 y ? ?

x2 y2 x2 y2 k x ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1 有相同的渐近 a a b a b

线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它 a2 b2

的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P (x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.

2ab 2 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是 2 。 a ? c 2 cos2 ?
10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为

p p ( ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 2 2
11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

p ; 2 2p 。 1 ? cos2 ?

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴,这 样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯一 确定点 P 的位置, ,θ )称为极坐标。 (ρ 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1, 则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛 物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 ? ? 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A(2,1) ,F 是椭圆

ep 。 1 ? e cos?

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 25 16

3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 例 2 已知 P, P' 为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 右支上两点, PP' 延长线交右准线于 K,PF1 延 a2 b2

长线交双曲线于 Q, 1 为右焦点) (F 。求证:∠ P' F1K=∠KF1Q.

2.求轨迹问题。 例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。

例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此动 圆圆心 P 的轨迹。

例 5 在坐标平面内,∠AOB= 方程。

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨迹 3

3.定值问题。 例 6 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ? x 轴,交双曲线于 B1,B2 两点, a2 b2

B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。

例7

设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准

2

线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。

例 8 椭圆 为定值。

x2 y2 1 1 ? ? 2 ? 1 上有两点 A,B,满足 OA ? OB,O 为原点,求证: 2 2 | OA | | OB | 2 a b

4.最值问题。 例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与最
2 2

小值。

例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 3 2 2 ,若圆 C: x ? ( y ? ) ? 1 2 2

上点与这椭圆上点的最大距离为 1? 7 ,试求这个椭圆的方程。 5.直线与二次曲线。 例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。
2

例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 求 b 的值。

x2 (1)求 b 的范围; (2)当截得弦长最大时, ? y 2 ? 1 相交, 4

三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________.
2

x2 y2 3. 椭圆 它到右焦点的距离是________. ? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离是 10, 100 36
4.双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | ?2 5 ? k

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=600,则Δ F1PF2 的面积是 100 64

________. 6. 直线 l 被双曲线

x2 ? y 2 ? 1 所截的线段 MN 恰被点 (3, 平分, l 的方程为________. A -1) 则 4
2

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8) ,且Δ ABC 的重心与这条抛物线的 焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条准线方程为 5y+4=0,则 双曲线方程为________. 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点 的直线的倾斜角为 45 ,那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,
2 2 2 0 2

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是________. | PO |

11.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的一个 a12 b1 a 2 b2

焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r; (ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T, 设|AT|=2a(2a<

r ); (iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,|NQ|满足 2

| MP | | NQ | ? ? 1. 求证:|AM|+|AN|=|AB|。 AM AN
13.给定双曲线 x ?
2

y2 ? 1. 过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2,求线 2

段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y =0,则此双曲线的标准
2 2

方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影分别 是 A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|为 a2 b2

直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 e ?

1 ,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标为-1, 3

M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________. 5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆
2 2

x2 y2 ? ? 1 恰有一个公共点的_________条件. a2 b2

? x ? m ? 2t 2 ? 6.若参数方程 ? (t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直 ? y ? 2m ? 2 2t ?
线的方程是_________.

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 m 的范围是 7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 5 m
_________.

8.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条. 9 6 ( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰 6 2

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角 形 ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,点 a2 b2

12.设 F,O 分别为椭圆

O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。

x2 y2 13.已知双曲线 C1: 2 ? ? 1 (a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1 的左焦 a 2a 2
点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在,求 直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值 范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积 为_________. 3.给定椭圆
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP ? OQ, a2 b2

则离心率 e 的取值范围是_________.

x2 y2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,过 F1 a b
作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________.

5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0, 2 )和 C(0, ? 若点 T 坐标为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________.
+

,另两边斜率的乘积为 ? 2)

1 , 2

6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短 距离等于_________. 7.已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa,M 是抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点 坐标为_________. 8.已知点 P (1, 2)既在椭圆
+ 2 2

2

2 x2 y2 ? 2b 2 2 2 a ,又在圆 x +y = 外部(含 ? 2 ? 1 内部(含边界) 3 a2 b

边界) ,若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________. 9.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的左、 4 3

右顶点分别为 D, 直线 DB 与直线 CE 交于点 P, E, 当点 A 在椭圆上变动时, 试求点 P 的轨迹。 10.设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点 P。 2 a

(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< a 表示) 。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0) 和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶 点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0, 以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0 Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆 弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0

1 时,试求Δ OAP 面积的最大值(用 2

为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0 ,交 AB0 的延长线于 P ' 0 。求证: (1)点 P ' 0 与点 P0 重合, 且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向之间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠

'

? )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这 2

些抛物线组成一个抛物线族, 若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直, 则称这个交点 为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确 定变量取值范围) 。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。 若 CP ? BP,求证:PD=AE+AP。 6.已知 BC ? CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ, CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 A' , A' ' 是 A 关于 A' 的对称点。则因为 AB ? BA' , AP ? A' ' P , 所以 P 在以 AA' ' 为直径的圆上。 2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为 y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则

? | kx ? y | ? ? | ?kx ? y | ? ? ? ?? ? ? m 2 。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2). ? ? ? 2 2 ? ? k ?1 ? ? 1? k ?
当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2. 5.

2

2

8 =8,所以 P 到右焦点的距 10

64 3 . 设 两 条 焦 半 径 分 别 为 m,n , 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20. 由 余 弦 定 理 得 3
2 2 0 2

12 =m +n -2mncos60 ,即(m+n) -3mn=144.所以 mn ?
2

1 3 64 3 256 ? . , S ?PF F ? mn ? 1 2 2 2 3 3

6 . 3x+4y-5=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则

x12 x2 2 ? y12 ? 1, 2 ? y 2 ? 1. 两 式 相 减 得 4 4

y ? y1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) x ? x2 y ? y2 3 ?? 。 -(y1+y2)(y1-y2)=0.由 1 ? 3, 1 ? ?1 ,得 2 4 4 2 2 x 2 ? x1
故方程 y+1= ?

3 (x-3). 4
y1 ? y 2 ? 8 =0 , 所 以 y1+y2=-8 , 故 直 线 BC 的 斜 率 为 3

7.-4. 设 B(x1,y1),C(x2,y2) , 则

y 2 ? y1 y 2 ? y1 32 ? 2 ? ? ?4. 2 x 2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 32 32
8.

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0, ( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 =1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组 ? 得中 ? 9 16 ?3 x ? 4 y ? 10 ? 0

心为(2,1),又准线为 y ? ? 其渐近线方程为

( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 4 ,知其实轴平行于 y 轴,设其方程为 =1。 ? 5 a2 b2

y ?1 x ?1 a 3 a =0。所以 y-1= ? (x-1).由题设 ? ,将双曲线沿向量 ? a b b 4 b
? x ' ? x ? 2, y2 x2 ? 2 =1。由平移公式 ? 平移后准 2 a b ? y' ? y ? 1

m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为

线为 y ? ?

9 a2 ( y ? 1) 2 ( x ? 2) 2 a 3 2 2 ? ,再结合 ? ,解得 a =9,b =16,故双曲线为 =1。 ? 5 c 9 16 b 4
2 2

9.2.曲线 y =ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y) =a(2-x), 由?

? y 2 ? ax, y ? y2 ? 2 得 y -2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而 k ? 1 = x1 ? x 2 ?( 2 ? y ) 2 ? a ( 2 ? x ) ?

a ( y1 ? y 2 ) a a ? ? =1,所以 a=2. 2 2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 2
10. (2, 2 2 ]。设 P(x1,y1)及

| PF1 | ? | PF2 | ? t ,由|PF1|=ex1+a | PO |

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

2 2 x1 2 x12 ? a 2

? t ,即 x12 ?

a 2t 2 2 2 。因 x1 ? a ,所以 2t 2 ? 8

a 2t 2 t2 2 ? 1 即 2<t?2 2 . ? a (a ? 0) ,所以 2 2t ? 8 2t 2 ? 8
11.解:由对称性,不妨设点 P 在第一象限,由题设|F1F2| =4 (a1 ? b1 ) ? 4(a 2 ? b2 ) =4c ,
2

2

2

2

2

2

又根据椭圆与双曲线定义

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , ? 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a 2 , ?
在Δ F1PF2 中,由余弦定理

cos ?F1 PF2 ?

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2 | PF1 | ? | PF2 |

?

(a1 ? a 2 ) 2 ? (a1 ? a 2 ) 2 ? (2c) 2 2(a1 ? a 2 )( a1 ? a 2 )
2 2 (a12 ? c 2 ) ? (c 2 ? a 2 ) b12 ? b2 ? 2 . 2 2 a12 ? a 2 b1 ? b2

?

2 b12 ? b2 . 从而 ?F1 PF2 ? arccos 2 2 b1 ? b2

又 sin∠F1PF2= 1 ? cos ?F1 PF2 ?
2

2b1 b2 , 2 b12 ? b2

所以 S ?F

1

PF2

?

1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 ? b1 b2 . 2
2 2 2 2 2

12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两点既 在抛物线 y =4ax 上,又在圆[x-(a+r)] +y =r 上,两方程联立得 x +(2a-2r)x+2ra+a =0,设 点 M,N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0) 。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ①
2

将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k )x +2k(2k-1)x-(4k -4k+3)=0.
2 2 2 2


2 2 2

这里 k ? ? 2 且Δ =[2k(2k-1)] +4(2-k) (4k -4k+3)=8(3k -4k+3)>0, 设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理

x1 ? x2 ? ?
由①,③得

2k (2k ? 1) 2k (2k ? 1) ? . 2?k2 k2 ?2
4(2k ? 1) . k2 ?2



y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) ④

=k(x1+x2)+2(1-2k)=

设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

x?

x1 ? x2 k (2k ? 1) y ? y 2 2(2k ? 1) ? 2 ,y ? 1 ? 2 , 2 2 k ?2 k ?2

消去 k 得

1 ( y ? )2 ( x ? 1) 2 ? 1. ? 7 7 8 4
2

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题

x2 y2 x2 y2 1. ? ? 1. 由椭圆方程得焦点为 (?4 3,0) ,设双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ,渐近线为 36 12 a b

y??

b 1 b 2 2 ,所以 a =3b ,又 c ? 4 3 ,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. x. 由题设 ? a a 3

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3, ∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=90 。 3 . 相 切 , 若 P(x,y) 在 左 支 上 , 设 F1 为 左 焦 点 , F2 为 右 焦 点 , M 为 PF1 中 点 , 则 |MO|=
0

1 1 1 1 |PF2|= (a-ex), 又|PF1|=-a-ex, 所以两圆半径之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|, 2 2 2 2

所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。 4.

10 . 与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1 之比为 e,且 3
| MF1 | 1 10 ? ,所以|MF1|= . 10 3 3
2 2 2 2 2 2

d1=|xm+11|=10.所以

5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b +4a )x +4a x+a (1-b )=0.
2 2 2 2 2 2


2 2

若Δ =(4a ) -4(b +4a )a (1-b )=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b +4a =1;反之, 4a +b =1,直线与椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) =4(x-m),焦点为 ?
2 2 2

? x ? m ? 1, 它在直线 y=2(x-1)上。 ? y ? 2 m,

7. 1?m<5。 直线过定点(0,1), 所以 0 ?

1 ?1.又因为焦点在 x 轴上, 所以 5>m,所以 1?m<5。 m

8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有 三条。 9.

? 5 或 ? 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得 6 6
2 2

(1+3k )x -6x+3=0,由韦达定理得

x1 ? x2 ?

6 ① , 1 ? 3k 2 3 ② x1 x2 ? . 1 ? 3k 2


因 F(1,0) ,AF ? BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. 把①,②代入③得 k ?
2

1 3 ? 5 ,k ? ? ,所以倾斜角为 或 ? . 3 3 6 6

10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜率为 k(k>0) , CA 的 直 线 方 程 为 y=kx+1 , 代 入 椭 圆 方 程 为 (a k +1)x +2a kx=0 , 得 x=0 或
2 2 2 2

x?

2a 2 k 2a 2 k 1 ? k 2 2a 2 k . ,0) ,|CA|= ,于是 A(? 2 2 a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1 a k ?1

由题设,同理可得|CB|= (k-1)[k -(a -1)k+1]=0, 解得
2 2

2a 2 k 1 ? k 2 ,利用|CA|=|CB|可得 a2k 2 ? 1

k=1 或 k -(a -1)k+1]=0。①

2

2

对于①,当 1<a< 3 时,①无解;当 a ? 3 时,k=1;当 a> 3 时,①有两个不等实根,故 最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得 |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|?|PF2|cosθ , 又|PF1|+|PF2|=2a,则 4c =(2a) -2|PF1|?|PF2|(1+cosθ ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 及 a =b +c 代入得 4b =2(a -e x 0 )(1+cosθ ). 于是有 cos? ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2b 2 ? 1. 2 a 2 ? e 2 x0

由 0 ? x0 ? a ,得 b ? a ? e x0 ? a ,所以
2 2 2 2 2 2 2

2b 2 ? a 2 ? cos? ? 1 。因θ ∈[0,π ],所 a2
? ?. ? ?

以 cosθ 为减函数,故 0 ? ? ? arccos? ?

? 2b 2 ? a 2 2 ? a

当 2b >a 即 a ?
2 2

2b 时,
? ?

2b 2 ? a 2 2b 2 ? a 2 ? ? ? 0 ,arccos ? ,? ? [0, ] ,sinθ 为增函 2 2 2 2 a a
? 2b 2 ? a 2 2 ? a ?? 2bc 2b 2 ? a 2 ? ?? ? 2 ;当 2b2?a2 时,arccos ? , ? 2 a2 ?? a

数,sinθ 取最大值 sin ?arccos? ?

θ ∈[0,π ],则 sinθ 最大值为 1。 12.解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代入 椭圆方程并化简得 (b +a k )x +2a k cx+a (k c -b )=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得

2a 2 k 2 c x1 ? x 2 ? ? 2 , b ? a2k 2 x1 x 2 ? a 2 (k 2 c 2 ? b 2 ) . b2 ? a2k 2
2





因为 y1y2=k (x1+c)(x2+c),再由②,③得 y1 y 2 ?

? b2k 2 . a2k 2 ? b2

k 2 (a 2 c 2 ? b 4 ) ? a 2 b 2 所 以 OA ? OB =x1x2+y1y2= ,O 点 在 以 AB 为 直 径 的 圆 内 , 等 价 a2k 2 ? b2
2 2 2 2 2 OA ? OB <0, k2(a2c2-b4)-a2b2<0 对任意 k∈R 成立, 即 等价于 a c -b ?0,即 ac-b ?0,即 e +e-1

?0.所以 0<e?

5 ?1 . 2

若斜率不存在,问题等价于

b2 ? c. 即 e ? a

5 ?1 5 ?1 . ,综上 0 ? e ? 2 2

13.解 (1)由双曲线方程得 b ? 的距离 p ? 2 3a ,抛物线

2a, c ? 3a ,所以 F1( ? 3a ,0),抛物线焦点到准线

y 2 ? ?4 3ax.
把①代入 C1 方程得



2 x 2 ? 4 3ax ? 2a 2 ? 0.
2


2

Δ =64a >0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a <0,所以②必
2 有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y = ? 4 3ax1 ,所以 y ? ?2 ? 3ax1 (因为 x1≠0) ,所

以 C1,C2 总有两个不同交点。 ( 2 ) 设 过 F1( ? 3a ,0) 的 直 线 AB 为 my=(x+

? y 2 ? ?4 3ax, ? 3 a), 由 ? 得 ?my ? x ? 3a ?

y +4

2

3 may-12a2=0 , 因 为 Δ =48m2a2+48a2>0 , 设 y1,y2 分 别 为 A , B 的 纵 坐 标 , 则
2 2 2 2

y1+y2= 4 3ma ,y1y2=-12a . 所 以 (y1-y2) =48a (m +1). 所 以 S Δ

AOB

=

3 1 |y1-y2|?|OF1|= a? 2 2

4 3 a? m 2 ? 1 ? 6a 2 m 2 ? 1 ? 6a 2 ,当且仅当 m=0 时,SΔ AOB 的面积取最小值;当 m→+
∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x= ? 3a 使Δ AOB 面积有最小值 6a .
2

联赛一试水平训练题

1.m>5.由已知得

x 2 ? ( y ? 1) 2 x ? 2y ? 3 12 ? (?2) 2

?

5 ,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线 x-2y+3=0 m

的距离比为常数

5 5 ,由椭圆定义 <1,所以 m>5. m m
b=|PQ|=|PF|+|QF|=

2. a ab. 因 为

2a 2a 4a ? ? 1 ? cos? 1 ? cos(? ? ? ) sin 2 ?

, 所 以

s i? n 2 ?

a 1 。所以 SΔ OPQ= absinθ = a ab . b 2

3. ?

? 5 ?1 ? ,1? 。设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ),因为 P, ? 2 ? ? r r 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ,RtΔ OPQ 斜边上的高为 1 2 r12 r2 a b r12 ? r22 ab a ? b2
2

Q 在椭圆上,可得

?

|OF|=c. 所以 a b ?c (a +b ),解得

2 2

2

2

2

5 ?1 ?e<1. 2
?

4. 以 O 为 圆 心 , a 为 半 径 的 圆 。 延 长 F1M 交 PF2 延 长 线 于 N , 则 OM // |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t∈(0,1]时|AT|min=

1 F2N , 而 2

2 ? t 2 ,t>1 时|AT|min=|t-2|.由题设 kAB ?kAC=-

1 ,设 A(x,y),则 2

y? 2 y? 2 1 ? ? (x ≠ 0) , 整 理 得 x x 2
|AT| =(x-t) +y =(x-t) + ? 2 ? ?
2 2 2 2

x2 y2 ? 4 2

=1(x ≠ 0) , 所 以

? ?

x2 2

? 1 ? ? (x-2t)2+2-t2. 因 为|x| ? 2,所 以 当 t ∈ (0,1] 时 取 ? 2 ?

x=2t,|AT|取最小值 2 ? t 。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|.
2

6.

l2 1 1 . 设 点 M(x0,y0) , 直线 AB 倾斜 角为θ ,并设 A(x0- x0 ? cos? , y 0 ? sin ? ), 4 2 2

B(x0+

1 1 cos? , y 0 ? sin ? ),因为 A,B 在抛物线上,所以 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos? ) 2 , ① 2 2 1 1 y 0 ? sin ? ? ( x0 ? cos? ) 2 , ② 2 2
2x0cosθ =sinθ . ③

由①,②得 所以 y 0 ? ( x0 ?

1 1 1 1 1 cos? ) 2 ? sin ? ? ( ? l 2 cos2 ? ) ? . 2 2 2 4 cos ? 4

因为 l <1,所以函数 f(x)=

2

1 2 ? l x .在(0,1]在递减, x

所以 y 0 ?

1 1 l2 l2 (1 ? l 2 ) ? ? 。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值 . 4 4 4 4
? ? y2 ? ?, M 2 ? 2 , y 2 ? , 由 A , M , M1 共 线 得 ? ? 2p ? ? ? ?

2 ? y0 ? ? y2 ? 2 pa ? ? ?, M 1 ? 1 , y1 , y0 ? 7 . ? a, ?. 设 M ? ? 2p b ? ? ? ? 2p ?

y1=

by0 ? 2 pa 2 pa ,同理 B,M,M2 共线得 y 2 ? ,设(x,y)是直线 M1M2 上的点,则 y0 ? b y0 ? b

y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 y0 (2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
2

当 x=a,y=

2 pa ? 2 pa ? 时上式恒成立,即定点为 ? a, ?. b ? b ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

8. 3 ? 6 。由题设

1 4 ? 2 ? 1 且 a2+2b2?15,解得 5?b2?6. 2 a b
t?4 t?4 ? t ? 4 (t=b2-4∈[1,2]),而 ? t?4 t t
t?4 t ?2 2(t ? 2) ? ? , t?2 可得 又 t t?4? 6 3t ? t (t ? 4)

所以 a+b?

b2 ?b ? b2 ? 4

? 6? 3 ? t?4? 6 ? 3?
上式成立。

9.解 设 A(2cosθ , 3 sin ? ), B(2cosα , 3 sinα ),C(2cosβ , 3 sinβ ),这里α ≠β ,则 过 A,B 的直线为 lAB:

3 (sin ? ? sin ? ) ( x ? 2 cos? ) ? 3 sin ? ? y ,由于直线 AB 过点 2(cos? ? cos? )

F1(-1,0), 代入有 3 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2 3 sinθ (cosθ -cosα ), 2sin(α -θ )=sin 即 θ -sin α =2 sin

? ??
2

? cos

? ??
2

, 故 2 cos

? ??
2

? cos

? ??
2

? 3 cos

?

cos ? 2 2

?

sin

?
2

sin

?

3 sin ? 3 ? ? ? ( x ? 2) ? tan ? 0 , 即 t a n ? tan ? ?3 。 又 lBD: y ? 2(1 ? cos? ) 2 2 2 2 2

?(x+2)= ?

3 3 2 tan

?
2

( x ? 2) ,同理得 tan

?
2

? tan

?

3 sin ? 1 (x-2)= ? ? 。lCE: y ? 2(cos ? ? 1) 2 3

3 ( x ? 2) 3 3 ? 2 ? ? tan ?(x-2). ? 2 2 tan 2

?? ? 2 ? ? 2 tan 2 ? 2 ? 6 3 tan 2 ? ? 两直线方程联立,得 P 点坐标为 ? , ? ,消去 tan 得点 P(x,y)在 2 ? tan 2 ? ? 1 tan 2 ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ?
x2 y2 ? ? 1 上(除去点(-2,0),(2,0)). 椭圆 4 27
? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 2 2 2 2 2 2 10.解 (1)由 ? a 2 消去 y 得 x +2a x+2a m-a =0,①设 f(x)=x +2a x+2a m-a ,问 ? y 2 ? 2( x ? m ) ?

题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况: 1 . =0, m ? Δ 得
0

a2 ?1 2

, 此时 xp=-a , 当且仅当-a<-a <a 即 0<a<1 时适合; 。 2 f(a)?f(-a)<0,
0 2 2

2

2

0

当且仅当-a<m<a 时适合;3 。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当-a<a-2a <a 即 0<a<1 时适合。令 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a .由于-a-2a <-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1 时,
2 2

a2 ?1 或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a. m? 2
(2)Δ OAP 的面积 S ?

1 1 0<-a ay p . 因为 0<a< ,故当-a<m?a 时, 2+ a a 2 ? 1 ? 2m ? a ,由唯 2 2
x2 p a2
时取值最大,此时

一性得 xp=-a +.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而 x p ? 1 ?
2

xp ? 2 a ? a2 , 故 S ? a a ? a2 ; 当 m ?

a2 ?1 2 2 时 , xp=-a , yp= 1 ? a , 此 时 2

1 1 1 a 1 ? a 2 . 以下比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小。令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 , 2 2 2 1 1 1 1 2 2 得 a ? ,故当 0<a? 时, a a(1 ? a) ? a 1 ? a ,此时 S max ? a 1 ? a ;当 3 3 2 2 1 1 1 ? a ? 时,有 a a(1 ? a) ? a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a a ? a 2 . 3 2 2 S?
11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则 AA1 中点 A2 ? ? l 上, 所以 y2=k(x2-1) ①

? x2 ? 1 y 2 ? , ?在 2 2 ? ? ?

又 l ? AA1,所以

y2 1 ?? . k x2 ? 1
由①,②得



? k 2 ?1 , ? x2 ? 2 ? k ?1 ? ? y ? ? 2k . ? 2 k 2 ?1 ?

16 k ? ? x1 ? 1 ? k 2 , ? x 8 ? y1 ? ? 在 l 上,且 l ? BB1,解得 ? 同理,由 BB1 中点 B2 ? ? 1 , ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? y ? 8(k ? 1) . ? 1 1? k 2 ?
设抛物线方程为 y =2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k -k-1=0. 所以 k ?
2 2

1? 5 1? 5 2 ,由题设 k>0,所以 k ? ,从而 p ? 5. 2 2 5 1? 5 4 x ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 5 x. 2 5

所以直线 l 的方程为 y ? 联赛二试水平训练题

1. A 为原点, 以 直线 AC 为 x 轴, 建立直角坐标系, C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB), 设 则直线 DF 的方程为

x? f ?

f ? xD y ? 0. k xD



直线 BC 的方程为 c×①-f×②得 (c-f)x+

x?c?

c ? xB y ? 0. ? k xB



1 ? 1 1 ? ? ? (c ? f )] y ? 0. [cf ? ? ?x k xB ? ? D ?



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为 (c-f)x+

1 ? 1 1 ? [cf ? ? x ? x ? ? (c ? f )] y ? 0. ? k B ? ? D



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0,其他顶点 坐标为: A1 ? ?

? a1 c1 , ? b1 d1

?a c ? ? a c ? ,…, An ? ? n , n ? ,其中 i , i 都是既约分数,并记 An+1=A0. ? ?b d ? bi d i ? ? n n?

若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

?a 当 k=1 时,由 ? 1 ?b ? 1

? ? c1 ? ?? ? ?d ? ? 1

2

? a2 ? d 2 ? ? 1 ,得 1 2 1 ? d12 ? c12 ,因为 a1,b1 互质,所以 d1 被 b1 ? b1 ?

2

整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除) 。 因此 b1=±d1,从而 b1 ? d1 ? a1 ? c1 .a1 , c1 不可能都是偶数(否则 b1 也是偶数,与互质矛
2 2 2 2

盾) ;不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全平 方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0. 设结论对 k=1,2,…,m-1?n 都成立,令

a m a m ?1 a c m c m ?1 c ? ? , ? ? . bm bm ?1 b d m d m ?1 d
2 2

这里

a c ?a? ? c ? , 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 ? ? ? ? ? =1,与 k=1 情况类似:a b d ?b? ?d ?
a m a a m ?1 abm ?1 ? bam ?1 a ? ? ? ,分数 m 既约,所以 bm 是 bbm-1 的一 bm b bm ?1 bbm ?1 bm

≡c,d≡b≡1,又因为 个因子,bm≡1.

同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1 ≡a+c ≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不可 能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分别相内切 于点 Q0,P1,Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+ B0 P ' 0 ,四式相加,利 用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 P' 。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0 P ' 0 ,从而可知点 P ' 0 与点 P0 重合。 由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0, 圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上, 所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引相 应相切圆弧的公切线 R1S1, 分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1, 连接 P0Q1 和 P1Q1, 得等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0), 而π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π 同理得∠P0Q0P1=π -

1 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0). 2

1 (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。 2

4.证明 引理:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又
2 y 0 ? ax0 ? bx0 ? c

2



故①可化简成

(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,



因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x ? tan ? 1 ?

g 2 ?x 与 y=x ? 2v cos2 ? 1
2 0

tan ? 2 ?

g 2 ?x 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理) 2 2v cos ? 2
2 0

k ??

gx0 gx0 ? tan ? 1 , k 2 ? ? 2 ? tan ? 2 . 2 v0 cos ? 1 v0 cos2 ? 2

又由题设 k1k2=-1,所以

? gx0 ? tan ? 1 ? ? v0 cos2 ? 1 ?
又 因 为

?? gx0 ?? tan ? 2 ? 2 ?? v0 cos2 ? 2 ??

? ? ? ?1. ? ?



P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

y0 gx , ? tan? 1 ? 2 0 2 2v0 cos ? 1 x0

y0 gx , 代入③式得 ? tan? 2 ? 2 0 2 2v0 cos ? 2 x0
? 2 y0 ? ? x ? tan ? 1 ? 0 ?? 2 y 0 ? ?? ? ?? x ? tan ? 2 ? ? ?1. ?? 0 ?
(※)

又因为 tanα 1,tanα 2 是方程

gx0 2 y gx ?t -t+ 0 ? 0 =0 的两根,所以 2 2v 0 x0 2v0

tanα 1+tanα 2=

2v 0 , gx0
2v0 gx0



tanα 1?tanα 2=

? y 0 gx0 ? ? x ? 2v 2 0 ? 0

? ?。 ⑤ ? ?

把④,⑤代入(※)式得

? v ? ?y? 0 ? ? 2 4g ? v0 ? ? ? x0 ? 1? 0 ? y ? v0 ?. 2 2 ? ? 2 y0 ? y 0 ? x0 ? 0 ,即 2 2 ? g 2g ? v0 v0 ? ? 2 2 16 g 8g
5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r.各点 坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ). 则 lAB 方程为

2

x y ? ? 1 ,即 x1x+x0?cotθ ?y-x1x0=0,因为 lAB 与圆相切,可得 x1? x0 x1 tan?

2 x12 ? x 0 ? cot 2 ? = | x12 ? x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两边平方得

2 2 x12 ? x0 cot 2 ? ? x12 ? 2 x1 x0 (cot? ? 1) ? x0 (cot? ? 1) 2 ,所以 x0 ?
2 2

2(cot? ? 1) ?x1. ① 2 cot? ? 1


又因为点 P 在圆上,所以(rcos ? ) +(x1-rsin ? ) = x1 ,化简得 r=2x1sin ? .
2

要证 DP=AP+AE ? 2DP=AD+AE ? 2r= ③ 又因为 CP ? PB ,所以 CP ? BP ? 0.

x1 tan? +x1tan ? -x1 ? 1+sin ? -cos ? =4sin ? cos ? . sin ?

因为 BP =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), CP =(x1-rcosθ ,rsinθ ), 所以 (x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0. 把②代入④化简得 ④

x12 [(1 ? sin 2? ) 2 ? (1 ? cos 2? ) 2 ] ? x1 x0 (1 ? sin 2? ).
由①得 x0=x1?



2 ? 2(cos 2? ? sin 2? ) . 2 ? 2 cos 2? ? sin 2?
2

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin 2 ? -3sin2 ? =0,因为 sin2 ? ≠0,所以 sin2 ? = sin ? =

3 ,又因为 4

AC CD =cos ? ,所以 sin ? -cos ? >0. ? AD AD 1 3 所以 sin ? -cos ? = 1 ? sin 2? ? ,所以 1+sin ? -cos ? = =4sin ? cos ? ,即③成立。所以 2 2
DP=AP+AE。

c ,取 BC 中点 M,则 AM ? BC,以 M 为原点, 2 d d d b 直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系, 则各点坐标分别为 B(? ,0) , ( ,0) , ( , b) , (0, ) , C D A 2 2 2 2
6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ=

5 2 1 d c S ( d ? c,0) , 因 为 CR ? (d ? c) , 所 以 点 R( ? ,0) , 所 以 6 3 3 6 3
b 3b 3b t a?D R ?C n ? , t a?A S ?Q n . 1 (d ? c) 5d ? 4c (d ? c) 3
因 为 0< ∠ DRC<

? , 0< ∠ ASQ< π , 所 以 只 需 证 tan ∠ ASQ=tan2 ∠ DRC, 即 2

6b 3b 2 2 2 2 2 2 d ?c ,化简得 9d -9c -9b =0 即 d =b +c ,显然成立。所以命题得证。 ? 2 5d ? 4c ? 3b ? 1? ? ? ?d ?c?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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