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高中数学竞赛讲义---不等式习题

时间:2013-03-18


不等式 SOS 方法
1.设 a、b、c 为正实数,则

a2 a ? b2 ? c 2 ? ? b ? c

证:左-右 ?

?? b

?

a2 a ? a 2b ? a 2 c ? ab 2 ? ac 2 ab(a ? b) ? ca(c ? a) ? ?? ?

?? 2 2 2 2 (b ? c)(b ? c ) (b ? c)(b 2 ? c 2 ) ? ?c b?c?

? ? ab(a ? b) ? (

1 1 ? 2 2 2 2 (b ? c)(b ? c ) (c ? a )(c ? a)
ab(a ? b) 2 ?0 (b ? c)(b 2 ? c 2 )(c 2 ? a 2 )(c ? a )

? (? a 2 ? ? ab)?

2.设 a、b、c>0,求证:

a3 1 ? 2a 2 ? ab ? 2b2 ? 3 ? a



证:① ?

?(

a3 a a ?b 2b ? a ? ? ) ? 0 ? ? ( a ? b) 2 2 ?0 2 2 2a ? ab ? 2b 3 3 2a ? ab ? 2b 2
?a b c ? ?b c a ?



当 ? , , ? ? (0, 2) 时,②已成立。下设 ? , , ? ? (0, 2) ,设 a ? max ?a, b, c? Ⅰ。 a ? b ? c

?a b c ? ?b c a ?

ⅰ) a ? 2b 时,∵

a3 a b3 b ? , 2 ? ? b(b ? 2c)(b ? c) ? 0 也成立, 2 2 2a ? ab ? 2b 2 2a ? ab ? 2c 3



a3 a b a ?b?c ? 2a 2 ? ab ? 2b2 ? 2 ? 3 ? 3
ⅱ) b ? 2c ,类似可得

? 2a

a3 a b a?b?c ? ? ? . 2 2 ? ab ? 2b 3 2 3 a3 b c ? ? ? 2c3 ? 7bc2 ? 5b2c ? 3b2 ? 0 增 2 2 2a ? ab ? 2c 3 9

当a ?c ?b, 则此时必有 a ? 2b .先证:

量易得再证:

a c c3 a?c ? ? 2 ? ? 6a3 ? 19a2c ? 14ac2 ? 2 ? 0 .易得 2 2 9 2c ? ca ? 2a 3

则:

a3 a b c c3 a ?b?c ? ? ? ? 2 ? 2a 2 ? ab ? 2b 2 3 9 2c ? ca ? 2a 2 ? 3
2
?

?? a? 1 3.设 a, b, c ? R ,求证: ? 2 ? a ? bc 3? ab

?a

2

1 。 ? b2

1

证:原不等式 ?

1 1 ? a 2 ? 1)? 1 ?? 2 ?( ? a 2 ? bc a ? b2 3? ab a 2 ? b2
2

1 (a 2 ? bc)(b ? c) 2 1 ? ( a ? b) ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 (a ? bc)(a ? b )(a ? c ) 2 3? ab

?a

2

1 ? b2

? ?(

1 ? ? 2 )(b ? c) 2 ? ? ? ? 2 ?(b ? c) (a ? bc)(a ? b )(a ? c ) a ? b2 ? ?
2 2 2 2 2

3? ab(a 2 ? bc)

?

(a ? bc)(a ? b )(a ? c )
2 2 2 2 2

3? ab(a 2 ? bc)

??

1 a ? b2
2

? 3(a 2 ? bc)(? ab) ? (3a 2 ? b 2 ? c 2 ?

a 4 ? b2c 2 2 )(a ? bc) b2 ? c 2 a 4 ? b2c 2 ? 3bc ? ab ? 3a 2 (b ? c) ……① b2 ? c 2

? 3a 4 ? a 2 (b 2 ? c 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? (a 2 ? bc) ?
Ⅰ ①?

a ? max ?a, b, c? ,

3 2 3 a 2 2a 4 ? b 4 ? c 2 a 4 ? bc a ( a ? b) 2 ? a 2 ( a ? c ) 2 ? ? ? bc 2 2 ? 3bc ? ab ? bc(b 2 ? c 2 ) ? 0 2 2 2 2 2 b ?c b ?c

Ⅱ Ⅲ

a ? m i n a ,b ? ,①中左 ? 3bc? ab ? 3abc(b ? c) ? 3a 2 (b ? c) ,c ?
(a-b)(a-c)<0 不妨设 b ? a ? c ①中 a c ?
2 2

9 4 a ? 3a3c , 3bc? ab ? 3abc 2 ? 3a 3b . 4

∴原不等式成立

a 3 ? 2abc ?1 4.设 a、b、c ? R ,证明: ? 3 a ? (b ? c)3
?
3 3 2 2 2



证: a ? (b ? c) ? (a ? b ? c)(a ? b ? c ? 2bc ? ab ? ac) ? (a ? b ? c) A . ①?

a 3 ? 2abc ? A ? ?a

? ?(

a3 ? 2abc ? a) ? 0 A



?

a3 ? 2abc 1 ab(a ? b) ac(a ? c) ? a ? ? a3 ? 2abc ? a3 ? ab2 ? ac 2 ? 2abc ? a 2b ? a 2c ? ? ? A A A A

∴② ?

?

ab(a ? b) ? ac(a ? c) 1 1 3c ? 0 ? ? (a ? b)ab( ? ) ? 0 ? ? ab(a ? b)2 ? 0 .显然成立. A A B AB


5.求证:

b3 ? c3 ? abc ? a3 ? (b ? c)3 ? 1
3 3

证: a ? (b ? c) ? (a ? b ? c)(a ? b ? c ? ab ? ac ? 2bc) ? (a ? b ? c) A ,B、C 类似定义,
2 2 2

2

b3 ? c3 ? abc 1 ?? ? ? a ? ? [2b3 ? 2c3 ? 2abc ? (b ? c) A] ? 0 A A
3 3 3 3 2 2



而 2b ? 2c ? 2abc ? (b ? c) A ? 2b ? 2c ? 2abc ? (b ? c)(b ? c ) ? (b ? c)(a ? 2bc ? ab ? ac)
2

? 2b3 ? 2c3 ? (b ? c)(b2 ? c 2 ) ? 2abc ? a 2 (b ? c) ? (b ? c)(2bc ? ab ? ac) ? (b ? c)2 (b ? c) ? (ab ? ac ? 2bc)(b ? c ? a)
∴② ?

?

(b ? c)2 (b ? c) b?c?a 1 ?? (ab ? ac ? 2bc) ? 0 ? ? A A A
2



b?c?a 注 意 到 a b? a ? 2 b ? ? a ? A ∴ ? (ab ? ac ? 2bc) c c A

?

a ? (b ? c ? a)( ? A

2

? 1)

a ? a 2 ? A? a a? a 2 b ? c ? 2a ? a ?b a ?b ? 2 2 ? ?? ??a ? ? ? ? a ? ? ? a ? [? ? ?] ? ? A ? A A A ? B

?(a ? b) 2 3c ? ?ac(a ? b) bc(a ? b) ? ? ?a ?? ??? ? ? AB A B ? ?
2

( a ? b) 2 c c ( a ? b) 2 ? ?3? a ? ?? (? a 2 ? 2ca ? 2cb ? ab) AB AB
2

? ??

c ( a ? b) 2 (2? a 2 ? 2ca ? 2cb ? ab) AB

? c ( a ? b) 2 ? c ( a ? b) 2 c ( a ? b) 2 2 2 2 ? ? ?? (c ? a ) ? ? (c ? b) ? ? (a ? ab ? b 2 ) ? AB AB AB ? ?

(b ? c)2 ? BC (b ? c) ? Cc(b ? a) 2 ? Bb(c ? a) 2 ? Aa(b 2 ? bc ? c 2 ) ? ? 0 ∴③ ? ? ? ABC ?
则只须证: BC (b ? c) ? Cc(b ? a) ? Bb(c ? a) ? Aa(b ? bc ? c ) ? 0
2 2 2 2

? (b2 ? c 2 ? bc)a3 ? C 4b2c ? 4bc 2 ? b3 ? c3 )a 2 ? 2bc(b ? c)2 a ? (b3 ? c3 )(b ? c)2 ? 0

?

2 a 3 b 2 ? c 2 3 (b ? c)4 ?(b ? c)a ? (b ? c) 2 ? ? 3bc(b ? c)a 2 ? (b ? c) 2 a ? (b ? c) 2 (b3 ? c 3 ) ? ?a ? a?0 ? 2? 2 2 2

(b ? c) 2 (b3 ? c3 ) (b ? c) 2 (b3 ? c 3 ) b 2 ? c 2 3 (b ? c) 4 ? ? a ? a ? 2 2 2 2
? 3(b ? c) 2 3 (b 2 ? c 2 )(b ? c)(b ? c) 2 a ? (b ? c) 4 a

3

? 3(b2 ? c 2 )(b ? c) ? (b ? c)3 .显然成立.故原不等式成立.

4


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