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【学海导航】2013届高考数学第一轮总复习 第21讲 简单的三角恒等变换课件 文 (湖南专版)


综合运用三角公式进行三角变换, 常用的变换:变换角度、变换名 称、变换解析式结构.

三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明

?1? 化简.
三角函数式化简的一般要求:三角函数种数尽量 少;项数尽量少;次数尽量低;尽量使分母不含 三角函数式;尽量使被开方数不含三角函数式; 能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数式的结

构特点,常采用的变换方法: 异角化同角;异名化同名;异次化同次;高次降次.

? 2 ? 求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.

①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系,准确地选用公式,注意转化为特殊值. ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异,有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后 求待求式的值. ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值, 讨论角的范围,求出该角.

? 3? 证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明.常用方法:从左推到右;从右推到左; 左右互推.

π π 1.定义运算 a⊕b=a -ab-b ,则 sin6⊕cos6=(
2 2

)

1 3 A.-2+ 4 3 C.1+ 4

1 3 B.-2- 4 3 D.1- 4

π π π π 2π 2π 【解析】sin6⊕cos6=sin 6-sin6cos6-cos 6 1 3 =-2- 4 .

2.(2012· 永州模拟)若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=( A.3-cos2x C.3+cos2x B.3-sin2x D.3+sin2x

)

【解析】因为 f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x, 所以 f(x)=2+2x2,所以 f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.

1+tanx 1 3.若 =2013,则cos2x+tan2x 的值为 1-tanx

2013 .

1+sin2x ?sinx+cosx?2 1 【解析】cos2x+tan2x= cos2x = cos2x-sin2x cosx+sinx 1+tanx = = =2013. cosx-sinx 1-tanx

π sin?α+4? 5 4.已知: 是第一象限的角, cosα=13, α 且 则 cos?2α+4π? 的值为 13 2 - 14

5 【解析】因为 α 是第一象限的角,cosα=13, 12 所以 sinα=13, π π π sin?α+4? sinαcos4+cosαsin4 所以 = cos2α cos?2α+4π?

2 2 2 ?sinα+cosα? 2 = = 2 2 cos α-sin α cosα-sinα 2 2 13 2 = 5 12=- 14 . -13 13

π 5.已知 α∈(2,π),化简 2 1-sinα+ 2+2cosα= α 2sin2 .

【解析】 因为 2 1-sinα+ 2+2cosα =2 α α2 ?sin2-cos2? + 4cos 2


α α α =2|sin2-cos2|+2|cos2|,

α π π 且2∈(4,2), α α α α 所以原式=2(sin2-cos2)+2cos2=2sin2. 易错点: a2=|a|,漏掉绝对值.



通过恒等变形后的求值问题

1 π 【例 1】(2011· 广东卷)已知函数 f(x)=2sin(3x-6),x∈ R. (1)求 f(0)的值; π π 10 6 (2)设 α,β∈[0,2],f(3α+2)=13,f(3β+2π)=5,求 sin(α+β)的值.

π π 【解析】 (1)f(0)=2sin(-6)=-2sin6=-1. 10 π 1 π π (2)因为13=f(3α+2)=2sin[3×(3α+2)-6] =2sinα, 6 1 π =f(3β+2π)=2sin[3×(3β+2π)-6] 5 π =2sin(β+2)=2cosβ,

5 3 π 所以 sinα=13,cosβ=5,又 α、β∈[0,2], 所以 cosα= 1-sin α=
2

5 2 12 1-?13? =13,

sinβ= 1-cos β=
2

32 4 1-?5? =5,

5 3 12 4 故 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=13×5+13×5 63 =65. .

【点评】 对于附加条件求值问题,要先看条件可不可 以变形或化简,然后看所求式子能否化简,再看它们之间 的相互联系,通过分析找到已知与所求的联系.

素材1

π π 已知:0<α<4,0<β<4,且 3sinβ=sin(2α+β), α 2α 4tan2=1-tan 2,求 α+β 的值.

【解析】 因为 3sinβ=sin(2α+β), 即 3sin(α+β-α)=sin(α+β+α), 所以 3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)· cosα +cos(α+β)sinα, 所以 2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα, 即 tan(α+β)=2tanα.

α 2α 又 4tan2=1-tan 2?tanα=

1 α=2, 1-tan22

α 2tan2

π π 所以 tan(α+β)=1,又 0<α+β<2,所以 α+β=4.



三角恒等式的证明

【 例 2 】 (1) 已 知 2sinβ = sinα + cosα , sin2γ = 2sinα· cosα.求证:cos2γ=2cos2β; (2)已知 5sinα=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+ 4tanβ=0.

【证明】 (1)4sin2β=1+2sinαcosα, 所以 4sin2β=1+sin2γ, 所以 1-sin2γ=2-4sin2β=2(1-2sin2β), 即 cos2γ=2cos2β.

(2)因为 5sinα=3sin(α-2β), 所以 5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β], 所 以 5sin(α - β)· cosβ + 5cos(α - β)· = 3sin(α - sinβ β)· cosβ-3cos(α-β)· sinβ, 所以 2sin(α-β)· cosβ+8cos(α-β)· sinβ=0,

π π 依题意知,β≠kπ+2,α-β≠kπ+2,k∈Z. 所以 tan(α-β)+4tanβ=0.

【点评】(1)结论中不含 α,所以从条件中消去 α 即可.(2) 把条件中的角进行拆拼,使出现 α-β,α,实现已知角向 未知角转化即可.

素材2

3-4cos2α+cos4α (1)求证: =tan4α; 3+4cos2α+cos4α 1-tanθ π (2)已知 =1,求证:tan2θ=-4tan(θ+4). 2+tanθ

?1+cos4α?-4cos2α+2 【解析】(1)证明:左边= ?1+cos4α?+4cos2α+2 2cos22α-4cos2α+2 = 2cos22α+4cos2α+2 2?cos2α-1?2 = 2?cos2α+1?2 ?-2sin2α?2 = ?2cos2α?2 =tan4α=右边, 所以原等式成立.

1-tanθ (2)证明:因为 =1, 2+tanθ 1 2tanθ 4 所以 tanθ=-2,tan2θ= 2 =- , 3 1-tan θ π -4?tan4+tanθ? π 4 -4tan(4+θ)= =-3, π 1-tan4tanθ 左边=右边,所以原等式成立.



解综合问题

π 1 【例 3】已知-2<x<0,sinx+cosx=5. (1)求 sinx-cosx 的值; x x 2x 3sin 2-2sin2cos2+cos 2 (2)求 的值. 1 tanx+tanx
2x

1 【解析】 (1)方法 1:由 sinx+cosx=5, 24 得 2sinxcosx=-25, 49 所以(sinx-cosx) =1-2sinxcosx=25.
2

π 因为-2<x<0, 所以 sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0. 7 所以 sinx-cosx=-5.

? 1 ?sinx+cosx= 5 方法 2:由? ?sin2x+cos2x=1 ?

π 得 25cos x-5cosx-12=0(-2<x<0),
2

4 3 解得 cosx=5或 cosx=-5(舍去), 3 7 所以 sinx=-5,所以 sinx-cosx=-5.

x x 2x 3sin 2-2sin2cos2+cos 2 (2) 1 tanx+tanx 2sin 2-sinx+1 = sinx cosx cosx+ sinx =sinxcosx· (2-cosx-sinx) 12 1 108 =-25×(2-5)=-125.
2x

2x

【点评】(1)由 sinx+cosx 的值,求 sinx-cosx 的值是 常规问题,对于较复杂的问题,可通过解方程组:
?sinx+cosx=?或sinx-cosx=? ? 2 sin x+cos2x=1 ?

求出 sinx、cosx 的值后再进行解决. (2)切化弦、平方、降次、活用公式是化简、求值常用 的方法.

素材3

3 5π 3π 已知 sin2α=5,α∈( 4 , 2 ). (1)求 cosα 的值; 10 (2)求满足 sin(α-x)-sin(α+x)+2cosα=- 10 的锐角 x.

5π 3π 5π 【解析】(1)因为 4 <α< 2 ,所以 2 <2α<3π. 4 所以 cos2α=- 1-sin 2α=-5.
2

10 由 cos2α=2cos α-1,所以 cosα=- 10 .
2

10 (2)因为 sin(α-x)-sin(α+x)+2cosα=- 10 , 10 1 所以 2cosα(1-sinx)=- 10 ,所以 sinx=2. π 因为 x 为锐角,所以 x=6.

备选例题

1 化简 sin αsin β+cos αcos β-2cos2α· cos2β.
2 2 2 2

【解析】方法 1:(复角→单角,从“角”入手) 1 原式=sin αsin β+cos αcos β-2(2cos2α-1)(2cos2β-1)
2 2 2 2

1 = sin αsin β + cos αcos β - 2 (4cos2αcos2β - 2cos2α -
2 2 2 2

2cos2β+1) 1 =sin αsin β-cos αcos β+cos α+cos β-2
2 2 2 2 2 2

1 =sin αsin β+cos αsin β+cos β-2
2 2 2 2 2

1 1 =sin β+cos β-2=2.
2 2

方法 2:(从“名”入手,异名化同名) 1 原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β-2cos2αcos2β
2 2 2 2

1 =cos β-sin αcos2β-2cos2αcos2β
2 2

1 =cos β-cos2β(sin α+2cos2α)
2 2

1-cos2α cos2α 1 1 =2(1+cos2β)-cos2β( + 2 )=2. 2

方法 3:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1-cos2α 1-cos2β 1+cos2α 1+cos2β 1 原式= · 2 + · 2 -2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 = 4 (1 + cos2α· cos2β - cos2α - cos2β) + 4 (1 + 1 1 cos2α· cos2β+cos2α+cos2β)-2· cos2α· cos2β=2.

方法 4:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 1 原 式 = (sinα· - cosαcosβ) + 2sinα· cosα· - 2 sinβ sinβ· cosβ cos2αcos2β 1 1 2 =cos (α+β)+2sin2α· sin2β-2cos2α· cos2β
2

1 =cos (α+β)-2cos(2α+2β)
2

1 1 2 =cos (α+β)-2[2cos (α+β)-1]=2.
2

【点评】 三角函数化简一般先看角的变换, 再需三角函 数名称的变换,然后是幂及解析式结构的变换,思路为: ①统一函数名称,一般有弦化切与切化弦; ②统一角度,即涉及单角、倍角、半角、等角时,可根 据具体情况由倍角公式及其变形将角化为同一个角; ③统一次数,即式子中各项的次数大小不一时,可考虑 升幂或降幂,使各项次数统一.

三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化,而转化的依据就是一系列的三角公式, 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解:

?1?同角三角函数关系——可实现函数名称的转化. ? 2 ? 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化.

? 3? 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.


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