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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.3.3.5有关直线系问题教案 新人教A版必修2


课题:2.3.3.5 直线系问题
[学习目标] 1.直线系概念:一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系。 它的方程称直线系方程,直线系方程中除含变量 x 、y 以外,还有可以根据具体条件取不 同值的变量,称为参变量,简称参数。 2.几种常见的直线系方程: (1)过已知点 P(x0,y0)的直线系方程:y-y0=k(x-x0) (k 为参数)或 x=x0(k

不存在时) (2)斜率为 k 的直线系方程 y=kx+b(b 是参数)() (3)与已知直线 Ax+By+C=0平行的直线系方程 Ax+By+λ =0(λ 为参数) (4)与已知直线 Ax+By+C=0垂直的直线系方程 Bx-Ay+λ =0(λ 为参数) (5)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程: +B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数)不含 l2。 确定平面上一条直线,需要两个独立且相容的几何条件,如果只给定一个条件,直 线的位置不能完全确定。另一方面,如果只给定一个几何条件时,二元一次方程的两个独 立的系数中,只有一个被确定,那个未被确定的系数是参数。利用直线系方程求直线,可 以简化计算过程,欲求适合某两个几何条件的直线的方程,可先用其中一个条件写出直线 系方程,再用另一个条件来确定参数值。用直线系方程求适合某一条件的直线时,应注意 不能被该方程表示的直线(例如,过定点(x1,y1)的直线系方程,不能表示直线 x-x1=0), 若它符合已知条件,应收入;过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中 A1x+B1y+C1 +λ (A2x+B2y+C2)=0 较简单些,但它不能包含直线 l2:A2x+B2y+C2=0本身。而方 程 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(m,n 不同时为零的实数),可以避免这个缺陷。 例1:求与直线3x+4y-7=0垂直,且在 x 轴上的截距为-2 的直线。 解法一:利用“垂直”写出直线系方程,再用“在 x 轴上截距为-2”这个条件确定参数。 和直线3x+4y-7=0垂直的直线系方程是 4x-3y+m=0(其中 m 是参数)。直线方程是4x- 3y+8=0. 解法二:利用“在 x 轴上截距为-2”这个条件写出直线系,再用“垂直”这个条件确定参 数。 ∵此直线过点(-2,0)用点斜式写出直线系 y-0=k(x+2),即 y=k(x+2),(斜率 k1k=-1 所以直线方程为 k 是参数)。 A1x

例2:求和直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线 l 的方程。 解法一:先用“平行”这个条件写出直线系方程,再用“面积”这个条件确定参数。与直 线3x+4y+2=0平行的直线系方程是3x+4y+m=0,令 x=0,得 y 轴的载距 , 令 y=0,得 x 轴的 载距 , 因为直线与坐标轴围面的面积为 24 ,所以 | ,所以 m= 所求直线 l 的方程为 3x +
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4y±24=0. 解法二: 先用“面积”这个条件写出直线系方程, 再用“平行”这个条件确定参数。 所以 ab=48, 又因为直线=1与直线3x+4y+2=0平行,所以所求直线为3x+4y±24=0. 例3:已知两直线 l1∶x+2=0, l2∶4x+3y+5=0.及定点 A(-1,-2).求:直线 l,它 过 l1、l2的交点且与点 A 的距离等于1。 解法一:先利用“过 l1、l2的交点”写出直线系方程,再根据“l 与 A 点距离等于1”来确 定参数。 过 l1、l2交点的直线系方程是(x+2)+λ (4x+3y+5)=0,λ 是参数。 化为(1+4λ )x+3λ y+(2+5λ )=0①.得 λ =0。 代入方程①,得 x+2=0。因为直线系方程①中不包含 l2,所以应检查 l2是否也符合所求 l 的条件。∴l2也符合要求。 答:所求直线 l 的方程是 x+2=0和4x+3y+5=0. 设 所求直线在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则由画草图可知 a、b 同号,因为 S=

解法二:l1、l2的交点为(-2,1),过这点的直线系方程为 y-1=k(x+2)②,斜率 k 是参 数。 即 kx-y+(2k+1)=0③,再根据方程③的直线与点 A(-1,-2)的距离为1,来确 x=-2是否符合所求直线 l 的条 定参数 k。得所求直线 l 的方程为4x+3y+5=0。 因为直线系方程②不包括与 y 轴平行的 直线,所以应检查过点(-2,1)且与 y 轴平行的直线 件。∵点 A(-1,-2)到直线 x=-2的距离为1,所以直线 x=-2即 x+2=0也符合 l 的要求,应 该补上,答:所求直线 l 的方程是 x+2=0和4x+3y+5=0. 例4: 在△ABC 中, AB 边所在直线方程为4x+y-12=0, 高 BH 所在直线方程为5x-4y-15=0, 高 AH 所在直线方程为2x+2y-9=0。求:第三条高 CH 所在直线方程与 AC 边所在直线方程。 解:(1)H 为垂心,CH 过 BH 与 AH 的交点,且与 AB 垂直,过 BH 与 AH 交点的直线系方程 为(5x-4y-15)+λ (2x+2y-9)=0①,即(5+2λ )x+(-4+2λ )y+(-15-9λ )=0 ②.∴② 与 AB 垂直,(即 CH⊥AB),代入①,得 CH 所在直线方程是3x-12y-1=0. (2)直线 AC 是过 AB 与 AH 的交点且与 BH 垂直的直线,可设 AC 方程是过 AB 与 AH 交点的直 线 系 方 程 (4x+y-12)+λ (2x + 2y - 9)=0③ , 即 (4 + 2λ )x+(1+2λ )y + (-12-9λ )=0④ , ∵AC⊥BH, ∴5(4+2λ )+(-4)(1+2λ )=0, 得 λ =-8。 代入④得直线 AC 的方程是4x+5y-20 =0。 例5:已知2a-3b=1(a,b∈R),求证:直线 ax+by-5=0必过一个定点,并求出此定点。 代入 ax+by-5=0,得(x-10)+b(3x+2y)=0①∵b 是实数,∴方程①可看作过两相交直线 交点的直线系方程,这两条直线分别是 l1∶x-10=0, l2∶3x+2y=0,这两条直线的交 点 坐 标 为 P(10 , -15) 。 ∵P 点 坐 标 代 入 直 线 ax + by-5 = 0 的 左 边 得 a×10 +
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b(-15)-5=5(2a-3b)-5=5×1-5=0. (注意2a-3b=1是已知条件), ∴直线 ax+by-5=0过定 点 P(10,-15)。 例6:已知直线 l1∶2x-3y-1=0,l2:3x-y-2=0,l3:7x-7y-2009=0;求过 l1、l2交点且 与 l3垂直的直线方程。分析:过两直线 l1,l2的交点的直线系方程为 l1+λ l2=0(λ ∈R), 根据已知条件,用待定系数法求出 λ 即可。 解:设 λ 为待定系数,则所求直线系方程是(2x-3y-1)+λ (3x-y-2)=0,① 整理为(2+3λ )x+(-3-λ )y+(-1-2λ )=0.② ∵方程②与直线 l3垂直,其系数关系为7(2+3λ )-7(-3-λ )=0→λ =-5/4 ③ ③式代入②,所求直线为7x+7y-6=0。 例7:长度为1的线段 AB(B 在 A 的右边)在 x 轴上移动,点 P(0,1)与 A 点连成直线,点 Q(1,2)与 B 点连成直线,求直线 PA 和直线 QB 交点的轨迹方程;并作出草图。 解:设交点为 M(x,y).A(a,0),则 B(a+1,0),直线 PA 方程为即 x+ay=a.直线 BQ 方程2x+ay-2-2a=0. ∴动点 M 的参数方程为=0(参数) ,消去参数 a 得轨迹方程为

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