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高中数学竞赛辅导课件(十一)——探索法(二)2


高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
数形结合引言

以形解数

用数助形

课外思考

高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇) (数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且 在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可 以互相转化、补充互助.数形结合

就是通过数与形之间的 对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把 图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量 关系问题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨 与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一 种重要的数学方法. 数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离.

思考一:以形助数 例 1.对于每个实数 x ,设 f ( x ) ? min ?4 x ? 1, x ? 2, ?2 x ? 4? 求 f ( x ) 的最大值. 解:在同一坐标系下作下列直线: y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 ,
由图象得 1 ? ?4 x ? 1 ( x ≤ 3 ) ? 1 2 ? f ( x) ? ? x ? 2 ( ? x ≤ ) 3 3 ? 2 ? ? ?2 x ? 4 ( x ? 3 ) ?
例2

∵ f ( x ) 的图象是红线部分, 2 8 ∴当 x ? 时, f ( x ) 的最大是 3 3

例 2.已知 a 和 b 是实数,关于 x 的二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的一个根在 ?1 和 1 之间,另一 个根在 1 和 2 之间,试求 a ? 2b 的最值.
分析:设二次函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b 作出它的图象, 由题设条件得 f ( ?1) ≥ 0 , f (1) ≤ 0 , f (2) ≥ 0 ?1 ? a ? b ≥ 0 ? 即 ?1 ? a ? b ≤ 0 , ? 4 ? 2a ? b ≥ 0 ? 然后由线性规划的方法可得 (a ? 2b)min ? ?1,(a ? 2b)max ? 5
例3

例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
? ?? 求实数 a 的取值范围,使得对于任意 ? ? ? 0, ? , ? 2? 1 2 2 恒有 ( x ? 3 ? 2sin ? cos ? ) ? ( x ? a sin ? ? a cos ? ) ≥ 8
分析:令 y ? x ,
?x ? y ? 0 ? 则? 1 2 2 ?? x ? ( ?3 ? 2sin ? cos ? )? ? ? y ? ( ? a sin ? ? a cos ? )? ≥ 8 ? 由此想到解析几何知识来求解,转化为 点 (?3 ? 2sin ? cos ? , ?a sin ? ? a cos ? ) 到直线 y ? x 的距离的平 1 1 方大于 ,故原不等式可化为 ?3 ? 2sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ≥ , 8 2

7 a≥ 或 a≤ 6 2

思考二:用数解形 几何问题用坐标法是典型的用数解形的例子, 所以这种例子是举不胜举的.这里我们来品味一道 平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞赛题)在锐角 △ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H ,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点, FG 与 AH 相交于点 K ,已知 BC ? 25, BD ? 20 , BE ? 7 , 求 AK 的长.

课外训练: 1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知 a, b 是 正 实 数 , 方 程 , x 2 ? 2bx ? a ? 0 都有实数根,求 a ? b 的最小值. x ? ax ? 2 ? 0 2.(2001 年全国高中数学联赛题)
2

6

求函数 y ? x ? x ? 3 x ? 2 的值域. 3.(1998 年全国高中数学联赛题) △ABC 中 , ?C ? 90? , ?B ? 30? , AC ? 2 , M 是 AB 的 中 点 , 将
2

? 3? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ? ? ?

△ACM 沿 CM 折起,使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 2 2 A─BCM 的体积等于_______. ? 3 4.(2004 年 IMO 中国国家队集训选拔赛题)设 ?XOY ? 90 , P 为 ?XOY 内的一点,且 OP ? 1, ?XOP ? 30? ,过点 P 任意作一条直线 分别交射线 OX、OY 于点 M、N , 求 OM ? ON ? MN 的最大值.

3 ? 1 ? 12
4


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