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《空间向量平行与垂直的判定及其应用》导学案


第4课时 空间向量平 行与垂直的判定及其应用

.. 导. 学 固思

我们已经用向量表示出空间内的点,那么如何用向量表
示出空间内的直线和平面呢?为此我们引入直线的方向向量 和平面的法向量.

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问题1 直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量

:若 向量a平行于直线l ,则向量 a 叫作直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直 于平面 α,则称这个向量 垂直于平面α ,记作 a⊥α ,如果 a⊥α ,那么向量 a 叫作平面 α 的法向量.
问题2 求平面的法向量的步骤

(1)设平面的法向量为 n=(x,y,z); (2)找出(求出)平面内的两个 不共线 的向量的坐标 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); n·a = 0, (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 n·b = 0 . (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

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问题3 用向量的方法证明线线、线面、面面之间的平行与垂直

设直线 l、m 的方向向量分别为 a、b,平面 α、β 的法向量分 别为 u、v,当 l、m 不重合,α、β 不重合且 l、m 不在平面 α、 β 内时,有 存在k∈R,使a=kb (1)l∥m?a∥b? ; (2)l⊥m?a⊥b? a·b=0 ; (3)l∥α?a⊥u? a·u=0 ; (4)l⊥α?a∥u? 存在k∈R,使a=ku ; (5)α∥β?u∥v? 存在k∈R,使u=kv ; (6)α⊥β?u⊥v? u·v=0 .

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1

直线 a 与 b 的方向向量分别为 e=(2,1,-3)和 n=(-1,1,- ), 则 a 与 b( B A.平行 ). B.垂直 C.相交 D.重合

1 3

【解析】e·n=-2+1+1=0,∴e⊥n ,∴a⊥b.
2

已知直线l的方向向量m=(1,2,-2),平面α的法向量 n=(-2,3,m),若l∥α,则m等于( C ). A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】∵l∥α ,∴m⊥n,∴m·n=0,∴-2+6-2m=0,即m=2.

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3

直线 l 的方向向量为 a=(2,-1,1),平面 α 的法向量为
1 e=( ,0,-1),则 l 与 α 的位置关系为 l∥α 或l?α 2

.

【解析】∵a=(2,-1,1),e=( ,0,-1),
2

1

∴a·e=(2,-1,1)·( ,0,-1)=2× -1×0-1×1=0,
2 2

1

1

∴a⊥e,所以 l∥α 或 l?α .

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用向量法证明垂直关系

如图,在三棱锥V—ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D
是AB的中点,且AC=BC=a,求证:平面VAB⊥平面VCD.
【解析】分别以 CA、CB、CV 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系(如图),则 C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D( , ,0).
2 2 a a a a

设 V(0,0,t)(t>0),则CV=(0,0,t),CD=( , ,0),AB=(-a,a,0).
2 2

所以AB·CV=(-a,a,0)·(0,0,t)=0+0+0=0,即 AB⊥CV. AB·CD=(-a,a,0)·( , ,0)=- a + a +0=0,即 AB⊥CD.又
2 2

a a

1 2

1 2

2 2

CV∩CD=C,∴AB⊥平面 VCD. 又 AB?平面 VAB,∴平面 VAB⊥平面 VCD.

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已知正方体 ABCD—A'B'C'D',点 E、F、G 分别是 AB、BC、AA'的 中点.求平面 EFG 的一个法向量.
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 相关各点的坐标为 E(a, a,0),
2 1 1 2 1 2

F( a,a,0),G(a,0, a). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0, a,- a),FE=( a,- a,0),
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1

n ⊥ GE, 2 2 ? 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2 2

n·GE = y- z = 0,

令 x=1,得平面的一个法向量为 n=(1,1,1).

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1.如图所示,M、N、P、Q 分别为空间四边形 ABCD 边 AB、BC、CD、DA 的中点,若四边形 MNPQ 是矩形,则空 间四边形 ABCD 满足( D ). A.|AC|=|BD| C.AD·BC=0 B.AC=BD D.AC·BD=0

【解析】易知 AC⊥BD,故AC·BD=0.

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2.已知平面 α 的一个法向量为 a=(1,-3,-1),直线 l 的方向 向量 b=(x,2,2),若 l∥α,则 x 等于( A ). A.8 B.6 C.4 D.3
【解析】由于直线与平面平行,则直线的方向向量和平面的法向量 垂直,∵l∥α ,∴(1,-3,-1)·(x,2,2)=x-8=0,解得 x=8.

3.设直线 l1 的方向向量为 a=(2,1,-2),直线 l2 的方向向量为 3 b=(2,2,m),若 l1⊥l2,则 m= .
【解析】∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=0, 即 4+2-2m=0,解得 m=3.

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4.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正四棱柱,侧棱长为 3,底 面边长为 2,E 是棱 BC 的中点.求证:BD1∥平面 C1DE.
【解析】以 D 为坐标原点,DA 方向为 x 轴, DC 方向为 y 轴,DD1 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 Dxyz, 则 D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,3),D1(0,0,3),E(1,2,0), 连接 CD1,与 C1D 相交于 O,连接 EO,易知 O(0,1,1.5), ∴BD1 =(-2,-2,3),EO=(-1,-1,1.5), ∴BD1 =2EO,∴EO∥BD1. 又 BD1?平面 C1DE,EO?平面 C1DE, ∴BD1∥平面 C1DE.

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