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7.1分指数数幂及其运算法则




题:7.1.1

分指数数幂及其运算法则

1、根式 如果 x2 ? a ,那么 x ? ? a 叫做 a 的平方根(二次方根) ,其中 a 叫做 a 的算术平方根; 如果 x3 ? a ,那么 x ? 3 a 叫做 a 的立方根(三次方根) . 概念 说明 一般地,如果 xn ? a (n ? N+且n > 1)

,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. (1)当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根有两个,分别表示为 ? n a 和 n a ,其中 n a 叫

做 a 的 n 次算数根;零的 n 次方根是零;负数的 n 次方根没有意义. 例如, 81 的 4 次方根有两个,它们分别是 3 和?3,其中 3 叫做 81 的 4 次算术根, 即 4 81 ? 3 . (2)当 n 为奇数时,实数 a 的 n 次方根只有一个,记作 n a . 例如, ? 32 的 5 次方根仅有一个是?2 , 即 5 ?32 ? ?2 . 概念
+ 形如 n a ( n ? N 且n ? 1 )的式子叫做 a 的 n 次根式,其中 n 叫做根指数, a 叫做被

开方数. 想一想
n

a n 有意义的条件是什么?

n

? a ? R, a n 有意义要求a ? ? a ? 0,
4 2

n为正奇数 n为正偶数

例 1 求下列各式的值:

?1? ? ?2 ? ? 2? ? ?5? ? 3? ? 3 ? ? ? ? 4? ? a ? b ? ? a ? b ?
3

3

2

4

解 : ?1?

3

? ?2 ?
4

3

? ?2
4

? 2 ? ? ?5?

2

?5
2

? 3? ? 3 ? ? ?
议一议
n

?? ?3

? 4? ? a ? b ?
n

? a ? b ? b ? a ?a ? b?

a n =___________________,
n

a n =__________________.

①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? 试一试 用计算器计算根式 4 73 和 5 89.32 的值。

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)

2、分指数数幂 1.正分数指数幂 规定: 1) a ? 1, 2) a
0
*

?n

?

m ? 1 1 1 m n n n a ? m ? 3) 4) a ? a n n a am an
王新敞
奎屯 新疆

m

(a>0,m,n∈N ,且 n>1) 引例:当 a>0 时 ① a
5 10

? (a ) ? a ? a
5 2 5 2

10 5
王新敞
奎屯 新疆

② a

3

12

? (a ) ? a ? a
3 4 3 4

12 3
王新敞
奎屯 新疆

(2)0 的正分数指数幂等于 0.(3)0 的负分数指数幂无意义. 练习 将下列各分数指数幂写成根式的形式:
4 3

(1) a 7 ; (2) a 5 ; (3) a

?

3 2



练习将下列各根式写成分数指数幂的形式: (1) 3 x2 ; (2) 3 a4 ; (3)
1
5

a3



规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数. 当 a>0 时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用. 即对于任意有理数 m,n,均有下面的运算性质. 3.有理指数幂的运算性质:

am ? an ? am?n (am )n ? amn (ab)n ? an ? bn (m、n ? Q)
例 2 求值: ?1? 8 ,
2 3

16 ? 3 ? 2? ( ) 4 81
3? 2 3

? 3?? 0.0001?

?

1 4.

解: ?1? 8 3 ? (23 ) 3 ? 2

2

2

? 22 ? 4

) 16 ? 3 2 4?( ? 3 2 27 4 ? 2? ( ) ? ( ) 4 ? ( )?3 ? 81 3 3 8

? 3?? 0.0001?
例 3 用分数指数幂的形式表示下列各式:

?

1 4

? (10?4 )

?

1 4

? 10

1 ?4?( ? ) 4

? 10

?1? a 2 ?

a,
2

? 2?
2

a a (式中 a>0)
1 2 2? 1 2 5 2

王新敞
奎屯

新疆

解:1) a ? a ? a ? a ? a
2 3

? a 2) a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a
王新敞
奎屯 新疆

1 1 2 2

3 1 2 2

3 4

例 4.用计算器求值(保留 4 位有效数字)

?1? 7 3 ;
2

? 2? 4 5 ;

?

?3? 3 2. ? 2? 4 5 ? 0.4353;
? 3

解: ?1? 7 3 ? 3.6593;

?3? 3 2 ? 4.7288.


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