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2014西城高三数学查漏补缺试题

时间:2014-05-13


2014 年北京市西城区高三数学查缺补漏试题
2014.5 一、选择题 1. 已知 log 2 x ? log3 y ? 1 ,那么( (A) x ? y ? 3 (B) y ? x ? 3 ) (C) 3 ? y ? x (D) 3 ? x ? y

2.

(理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?


? x ? 2 ? t, ( t 为参数) ,设直线 l 的倾斜角 ? y ? 1 ? 2t
) (D) ?5

为 ? ,则 tan ? ? ( (A) 2 (B) ?2 (C) 5

3.

“ a ? 0, b ? 0 ”是“曲线 ax ? by ? 1为椭圆”的(
2 2



(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4. 设函数 f ( x) ? sin x 的导函数为 f ?( x ) ,那么要得到函数 f ( x ) 的图象,只需将 f ?( x ) 的图象(



π 个单位 4 π (C)向左平移 个单位 2
(A)向左平移

π 个单位 4 π (D)向右平移 个单位 2
(B)向右平移

5. 已 知 函 数 f ( x) ? log m (2 ? x) ? 1 ( m ? 0 , 且 m ? 1 ) 的 图 象 恒 过 点 P , 且 点 P 在 直 线

ax ? by ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,那么 ab 的(
(A)最大值为

) (C)最大值为

1 4

(B)最小值为

1 4

1 2

(D)最小值为

1 2

6.

? x≥1, ? 在约束条件 ? y≥0, 下, 设目标函数 z ? x ? y 的最大值为 M, 则当 4≤a≤6 时, M 的取值范围是 ( ?2 x ? y≤a ?
(A) [3,5] (B) [2, 4] (C) [1, 4] (D) [2,5]



1

7.

某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且正(主)视图如图所示,则此三棱锥的表面积为( (A) 6 ? 2 3 (C) 6+4 2 (B) 4+4 2 (D) 4+4 2 ,或 6 ? 2 3
2 正(主)视图



2

8.

根 据 市 场 调 查 , 预 测 某 种 家 用 商 品 从 年 初 开 始 的 n 个 月 内 累 积 的 需 求 量 Sn ( 万 件 ) 近 似 地 满 足

Sn =

n (21n - n 2 - 5) (n = 1, 2,L ,12) ,按此预测,在本年内,需求超过 1.5 万件的月份是( 90
(B) 5 月,6 月 (C)6 月,7 月 (D)7 月,8 月



(A)4 月,5 月

二、填空题

? 1 ? x ? , x ? 0, 9. 函数 f ( x) ? ? 的最小值为______;函数 f ( x ) 与直线 y ? 4 的交点个数是______个. x x ?3 ? e , x≤0 ?
10. (理)在直角坐标系 xOy 中,点 M 为曲线 C : ?

? x ? 3 ? cos ? , ( ? 为参 ? y ? sin ?

y M O P N x

数)上一点. O 为坐标原点,则|OM|的最小值为________. 11. 函数 f ( x) ?

1 π sin(? x ? )(? ? 0) , x∈R 的部分图象如右图所示. 设 M, 2 6

N 是图象上的最高点,P 是图象上的最低点,若 ?PMN 为等腰直角三角 形,则 ? ? ____. A

12. D ABC 的顶点 A , B , C 在正方形网格中的位置如图所示 . 则 cos( B ? C ) ? _______. 13. (理) 如图, 在△ PAC 中,PA ? 2 ,?PAC ? 90 ,?PCA ? 30 .以 AC 为直径的圆交 PC 于点 D ,PB 为圆的切线,B 为切点, 则 PD ? ______;

B C

A D C B P

BC ? ______. BD
14. (理)湖中有四个小岛,它们的位置恰好近似构成四边形的四个顶点,若 要搭 3 座桥将它们连接起来,则不同的建桥方案有_________种.

2

15. 数列 {an } 中, a1 ? 的最小值是 .

1 1 ? an * , an ?1 ? (其中 n ? N ) ,则 a6 ? ____;使得 a1 ? a2 ? a3 ? 2 1 ? an

? an≥72 成立的 n

16. 粗细都是 1cm 一组圆环依次相扣,悬挂在某处,最上面的圆环外直径是 20cm,每个 圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少 1cm.那么从上向下数第 3 个环底部与第 1 个环顶部距离是 则 an ? 三、解答题 17. 已知函数 f ( x) ? (2cos2 x ? sin 2 x) tan x ?1 . (1)求函数 f ( x ) 的定义域和最小正周期; (2)当 x ? [ ? ; 记从上向下数第 n 个环底部与第一个环顶部距离是 an ,

3π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 8

18. 已知向量 a ? (? cos x,sin x) , b ? (cos x,cos x) ,设 f ( x) ? a ? b + 1, x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间.

19. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.且点 A , B 的 纵坐标分别为

π 3 12 , . (1)若将点 B 沿单位圆逆时针旋转 到达 C 点, 求点 C 2 5 13

的坐标; (2)求错误!未找到引用源。的值.

20. (理)甲、乙两人参加 A,B,C 三个科目的学业水平考试,他们考试成绩合格 的概率如下表. 设每人每个科目考试相互独立. 科目A 甲 乙 科目B 科目C

2 3 3 5

1 2 1 3

3 4 1 2

(1)求甲、乙两人中恰好有 1 人科目 B 考试不合格的概率; (2)求甲、乙两人中至少有 1 人三个科目考试成绩都合格的概率; (3)设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

3

21. 高三年级某班的所有考生全部参加了“语文”和“数学”两个科目的学业水平考试. 其中“语文”和“数 学”的两科考试成绩的数据统计如下图(按 ?0,10? , ?10,20? , “数学”科目的成绩在 ?70,80? 分数段的考生有 16 人.
频率 组距

, [80,90), [90,100] 分组)所示,其中

语文 0.040

频率 组距

数学

0.030 0.025 a 0.0025 0

0.025 0.020 0.010 0.005
50 60 70 80 90 100 分数

0

50 60 70 80

90 100

分数

图1

图2

(1)求该班考生“语文”科目成绩在 ?90,100? 分数段的人数; (2)根据数据合理估计该班考生“数学”科目成绩 的平均分,并说明理由; (3)若要从“数学”科目分数在 ?50,60? 和 ?90,100? 之间的试卷中任取两份分析学生的 答题情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在 ?50,60? 之间的概率;

22. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N* ) .①求 a1 的值; ②设等差数列 {bn } 的公差 d ? 0 ,前 n 项和 Tn 满足 T3 ? 15 ,且 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

23. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , S20 ? ?110 .①求数列 {an } 的通项 an ; ②若等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 4 ,公比 q ? ? 的取值范围.

1 * ,且对任意的 m, n ? N ,都有 Sn ? Tm ? t ,求实数 t 2

24. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=6, BC= 2 3 , 沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起,使点 A 移至点 P,且点 P 在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上. ①求证: BC ? PD ; ②判断 ?PDC 是否为直角三角形,并证明; ③(文)求三棱锥 M ? BCD 的体积.(理)若 M 为 PC A B B
4

P D C D O M C

的中点,求二面角 B ? DM ? C 的大小. 25. (文)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W) ,且 PA ? 平面 ABCD ,. P ①当 AC 是圆 W 的直径时,求证:平面 PBC ? 平面 PAB ; ②当 BD 是圆 W 的直径时, PA = BD = 2 , AD = CD = 求四棱锥 P - ABCD 的体积; ③在②的条件下,证明:直线 AB 不可能与平面 PCD 平行. B C 26. ( 理)如 图,四棱 锥 P - ABCD 的底 面 ABCD 是圆 内接四边 形(记 此圆为 W ) , PA ? 平面 ABCD ,

3,
A D

PA = BD = 2 , AD = CD = 3 .
(1)当 AC 是圆 W 的直径时,求证:平面 PBC ? 平面 PAB ; (2)当 BD 是圆 W 的直径时,求二面角 A - PD - C 的余弦值; (3)在(2)的条件下,判断棱 PA 上是否存在一点 Q,使得 BQ // 平面 PCD? 若存在,求出 AQ 的长,若不存在,说明理由. B

P

A D

C 27. 已知函数 f ( x ) = x - sin x - ax ,其中 a ? R .
3

1 3

(1)当 a = 1时,求函数 g ( x) =

(2)当 a ? 0 时,证明:函数 f ( x ) 在 R 是单调函数. f ( x) + sin x 的极值;

28. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 , 点 B, C 分别是其上下顶点, 点 A 在椭圆上且位于第一象限. 直线 AB 交 x 轴于点 M , 4 3

直线 AC 交 x 轴于点 N .(1)若 AB ? AM ? 0 , 求 A 点坐标; (2)若 ?AMN 的面积大于 ?OCN 的面积, 求直线 AB 的斜率的取值范围.

29. (理)设 F1 , F2 分别为椭圆 W :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,斜率为 k (k ? 0) 直线 l 经过右焦点 F2 ,且与椭圆 6 2

W 相交于 A, B 两点. (1)如果线段 F2 B 的中点在 y 轴上,求直线 l 的方程; (2)如果 ?ABF1 为直角三角形,求直线 l 的斜率 k .

5

30. 椭圆 W :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,短轴长为 2,O 为坐标原点.(1) 求椭圆 W 的方程; a 2 b2

(2) 设 A, B, C 是椭圆 W 上的三个点,判断四边形 OABC 能否为矩形?并说明理由.

高三数学查缺补漏试题 参考答案
2014.5 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4.D 5. A 6. A 7. D 8. D

二、填空题 9. 2,3 10. 2 11. π 15. 3 , 238 12. ?
26 26

13. 1 , 2 三、解答题

14. 16

16. 53

an ?

?n 2 ? 3 7n ? 4 ( 1 ? n ? 18 ) 2

17. (1) 定义域 {x | x ? R, 且 x ? kπ+ 18. 19. 20. 21.

π π 3π , k ? Z} . 周期 π . (2) 最小值 f ( ? ) ? ? 2 ; 最大值 f ( ? ) ? 0 . 2 8 8 3π 7π , kπ ? ](k ? Z) . (1)周期 π .(2) [kπ ? 8 8 12 5 33 (1) C (? , ? ) . (2) ? . 13 13 56 1 13 23 (1) . (2) . (3) E ( X ) ? . 2 40 12 3 (1) 5 人. (2) 76.5 . (3) . 5
(2) Tn ? 20n ? 5n .
2

22. (1) a1 ? 1 . 23. (1) an ? ?n ? 5 . 24. (1)略.

(2) t ? 8 . (2)是, ?DPC ? 90 . (3) (文) 2 6 .(理) 60 .

25. (1)略.

(2)

2 3 . 3

(3)略.

6

26. (1)略.

(2) .

2 5

(3)存在, AQ =

2 . 3

27. (1)极大值 g (1) =

2 2 ,极小值 g ( -1) = - . 3 3

(2)略.

28. (1) A( 3,

3 ). 2

(2) k ? ( ?

1 1 , 0) (0, ) . 2 2

29. (1)证明:椭圆 W 的左焦点 F1 (?2,0) ,右焦点为 F2 (2,0) , 因为线段 F2 B 的中点在 y 轴上, 所以点 B 的横坐标为 ?2 ,

因为点 B 在椭圆 W 上, 将 x ? ?2 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?2, ? 所以直线 AB (即 l )的方程为 x ? 2 6 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 6 y ? 2 ? 0 .

6 ). 3

o o o (2)解:因为 ?ABF1 为直角三角形,所以 ?BF 1 A ? 90 , ?BAF 1 ? 90 ,或 ?ABF 1 ? 90 . o AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当 ?BF 1 A ? 90 时 ,设直线

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由 ?6 得 (1 ? 3k ) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2), ?
12k 2 12k 2 ? 6 所以 ? ? (12k ) ? 4(1 ? 3k )(12k ? 6) ? 0 , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2 2 2 2

o 由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 ,

因为 F 1 A ? ( x1 ? 2, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 2, y2 ) ,

2 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (2 ? 2k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k 2
12k 2 ? 6 12k 2 2 ? (1 ? k ) ? ? (2 ? 2k ) ? ? 4 ? 4k 2 ? 0 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
2

解得 k ? ?

23 (舍负). 23

当 ?BAF 1 ? 90 (与 ?ABF 1 ? 90 相同)时,
o o

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 则点 A 在以线段 F1F2 为直径的圆 x ? y ? 4 上,也在椭圆 W 上,由 ? 6 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, ?
解得 A( 3,1) ,或 A(? 3,1) ,或 A( 3, ?1) ,或 A(? 3, ?1) , 因为直线 l 的斜率为 k ? 0 ,所以由两点间斜率公式,得 k ? 2 ? 3 ,或 k ? 2 ? 3 ,

7

综上,直线 l 的斜率 k ?

23 ,或 k ? 2 ? 3 ,或 k ? 2 ? 3 时, ?ABF1 为直角三角形. 23
x2 ? y2 ? 1 . 5

30. (1)由题意,椭圆 W 的方程为

(2)设 AC : y ? kx ? m , A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ), AC 中点 M ( x0 , y0 ) , B( x3 , y3 ) ,

? x2 ? 5 y2 ? 5 ? (1 ? 5k 2 ) x 2 ? 10kmx ? 5m 2 ? 5 ? 0 , ? y ? kx ? m ?

? ? (10km)2 ? 4(1 ? 5k 2 )(5m2 ? 5) ? 0 ,
x1 ? x2 ? ? 10km 5m2 ? 5 x x ? , . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
(1) 由条件 OA ? OC ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 , 整理得 (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,

即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,

将(1)式代入得 (1 ? k 2 )(5m2 ? 5) ? km(?10km) ? m2 (1 ? 5k 2 ) ? 0 即 6m ? 5k ? 5
2 2

(2)

又 x0 ?

x1 ? x2 5km m ?? , y0 ? kx0 ? m ? 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2
2 2 y3 ? 2 y0 因为 B 在椭圆上, 所以 x3 ? 5 y3 ? 5,

且 M 同时也是 OB 的中点, 所以 x3 ? 2 x0 ,
2 2 即 4x0 ? 20 y0 ? 5 , 4( ?

5km 2 m 2 ) ? 20( ) ? 5, 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2
(3)

所以 4m ? 5k ? 1
2 2

由(2)(3) 解得 m ? 2, k ?
2 2

7 2 2 2 ,验证知 ? ? (10km) ? 4(1 ? 5k )(5m ? 5) ? 120 ? 0 , 5

所以四边形 OABC 可以为矩形. 说明: 1、 提供的题目并非一套试卷,小题(选、填)主要针对较难题,大体相当于选择的 5,6,7,8 和填空的 12,13,14 题的位置,也有部分题目针对复习的一些“盲点”设计。大题难度与模拟相应试题等同。 2、 标明【理】的仅供理科使用,其余题目文、理共用。

8


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