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向量法在解析几何中的应用及答案

时间:2014-04-07


向量在解析几何中的应用
2 1. 设 A、B 是抛物线 y ? 2 x ? 4 上两点, O 为坐标原点,且 OP ?

坐标为 ?0,1? ,则直线 AB 的斜率为 (A)

OA ? OB , P 点的 2
( )

1 (B)1 (C)2 (D)3 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? 1 OM ≤1,0≤ OP · 2. 设 OM =(1, ) , ON =(0,1) ,则满足条件 0≤ OP · ON ≤1 2
的动点 P 的变动范围(图中阴影部分,含边界)是 y 2 y
1 2 1

y
1 2 1 -2

y
1 -1 o





o A

1

x

o B

x

o C

x

x

x2 y2 3. 设 F1、F2 为椭 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两点, 4 3 当四边形 PF1QF2 面积最大时, PF1 ? PF2 的值等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4 4.O 为空间中一定点, 动点 P 在 A、 B、 C 三点确定的平面内且满足 ( OP ? OA ) · ( AB ? AC ) =0,则点 P 的轨迹一定过△ABC 的? ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心? 5. △ ABC 中, A 、 B 两点 的 坐 标 分 别 为( - 4 , 2 ) 、 (3,1) , O 为 坐标原 点 。 已 知 | CA |= ? ? | CB |, | AD ? ? ? DB, OC // CD ,且直线 DC 的方向向量为 i =(1,2) ,求顶点 C 的坐标。

D

6.已知 OF1 ? (?3,0), OF2 ? (3,0) (0 为坐标原点,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 10. (1)求点 M 的轨迹 C; (2)若点 P、Q 是曲线 C 上的任意两点,且 OP ? OQ ? 0 ,求

???? ?

???? ?

PQ
2

2 2

的值。

OP ? OQ

1

7.已知:过点 A(0,1)且方向向量为 a ? (1, k ) 的直线 l 与⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 M、

ON N 两点。 (1) 求实数 k 的取值范围; (2) 求证:AM ? AN =定值。 ( 3) 若 O 为坐标原点, 且 OM · =12,求 k 的值。

x2 y2 8. 已知动点 P 与双曲线 ? ? 1 的两个焦点 F1 、 F2 的距离之和为 6。 2 3
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 PF1 ? PF2 ? 3 ,求 ?PF1 F2 的面积; (3)若已知点 D(0,3) ,M、N 在 C 上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围。

PM 9.已知点 H (-3, 0) , 点 P 在 y 轴上, 点 Q 在 x 轴正半轴上, 点 M 在直线 PQ 上, 且 HP ·
=0, PM =-

3 MQ (1)当 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程; 2

(2)过点 T(-1,0)作直线 l 交轨迹 C 与 A、B 两点,若在 x 轴上垂直一点 E ( x0 ,0) ,使 | AE | = | AB | ,且 AE 与 AB 的夹角为 600,求 x 0 的值

2

10. 如图所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC ??? ? ??? ? 过椭圆中心 O,且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|. (I)建立适当的坐标系,求椭圆方程;

?? ? ?? ? (II) 如果椭圆上有两点 P、 Q, 使∠PCQ 的平分线垂直于 AO, 证明: 存在实数 λ, 使P Q ?A ? B



11. 已知常数 a>0,向量 m ? (0, a), n ? (1,0) ,经过定点 A(0,-a)以 m ? ? n 为方向向量 的直线与经过定点 B(0,a)以 n ? 2? m 为方向向量的直线相交于点 P,其中 ? ? R . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 a ?

2 , 过 E(0,1)的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,求 EM ? EN 的取值范围. 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0), F1 , F2 是它的两个焦点. 4 ???? b ???? ? (Ⅰ)若椭圆上存在一点 P,使得 PF1 ? PF2 ? 0, 试求 b 的取值范围; ???? ? ???? ? 1 (Ⅱ) 若椭圆的离心率为 , 经过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A、 B 两点,且 F2 A ? 2 F2 B ? 0 , 2 求直线 l 的方程.
12. 已知焦点在 x 轴上的椭圆

3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,P 是此椭圆上的一动 a2 b2 4 4 点,并且 PF1 ? PF2 的取值范围是 [? , ]. 3 3
13. 已知 F1、F2 分别是椭圆 (Ⅰ)求此椭圆的方程; (Ⅱ)点 A 是椭圆的右顶点,直线 y=x 与椭圆交于 B、C 两点(C 在第一象限内) ,又 P、 Q 是此椭圆上两点,并且满足 (

CP | CP |

?

CQ | CQ |

) ? F1 F2 ? 0, 求证:向量 PQ 与 AB 共线.

? ? 1 3 ,求向量 OF 与 FP 的夹角的取值范围; ?m? 2 2 ? ? ? 4 (II)设 | OF | ? m ,且 | OF | ? 2 。若以 O 为中心,F 为焦点的椭圆经过点 P,当 | OP | 取得最 3
(I)若 小值时,求此椭圆的方程。

14.如图,已知 ?OFP 的面积为 m,且 OF ? FP ? 1

? ?

4

4.已知:O 为坐标原点,点 F、T、M、P1 满足 OF ? (1,0), OT ? (?1, t ), FM ? MT ,

p1 M ? FT , p1 M ? FT , P1T // OF 。 (1)当 t 变化时,求点 P1 的轨迹 C。
(2)若 P2 是轨迹 C 上同于 P1 的另一点,且存在非零实数λ ,使得 FP1 ? ? ? FP2 、 求证:

1 | FP1 |

?

1 | FP2 |

?1

5.设平面内两向量 a, b 满足: a ? b, | a |? 2, | b |? 1 ,点 M(x, y)的坐标满足:

x a ? ( y 2 ? 4)b与 ? x a ? b 互相垂直。
求证:平面内存在两个定点 A、B,使对满足条件的任意一点 M 均有| || MA | ? | MB || 等于定 值。

5

6.已知 OA ? ( 3 ,1), (O 为坐标原点) , | OB |? 1, 且OA与OB 的夹角为 60°,A、O、B 顺时 针排列,点 E、F 满足 OE ? ? OA, OF ?

1 EF 。 ? 2 (1)当λ 变化时,求点 G 的轨迹方程; (2)求 | OG | 的最小值。 OB ,点 G 满足 EG ?

1

7.如图,点 F(a, 0) (a>0), 点 P 在 y 轴上运动,点 M 在 x 轴上运动,点 N 为动点,且

PM ? PF ? 0, PN ? PM ? 0 。 (1)求点 N 的轨迹 C; (2)过点 F(a, 0)的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点,
设 K(-a,0), KA与KB 的夹角为θ ,求证 0 ? ? ?

?
2



6

8.已知 a ? ( x,0), b ? (1, y ), (a ? 3 b) ? (a ? 3 b ) 。 (1)求点 P(x, y)的轨迹方程; (2)若直线 l: y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两点,D(0,-1)且 | AD |?| BD | ,求 m 的取值范围。

9.已知点 H(-3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且 3 HP ? PM ? 0, PM ? ? MQ 。 2 (1)当 P 在 y 辆上移动时,求点 M 的轨迹 C。 (2) 过点 T (-1,0) 作直线 l 交轨迹 C 于 A、 B 两点, 若在 x 轴上存在一点 E (x0, 0) , 使 | AE |?| AB | , 且 AE与 AB 的夹角为 60°,求 x0 的值。

7

参考答案 1.B 2.A 设点 P(x,y) 则 0≤(x,y)·(1,

1 1 )≤1 0≤(x,y)·(0,1)≤1 即 0≤x+ y≤1 2 2

0≤y≤1

因此动点 P 的变化范围是 A 中的阴影部分

3.C
4.D 5.【解】如图:∵ | CA | =λ · | CB | ,∴λ =

| CA | | CB |

?0

∵ | AD | =λ · | DB | ,∴A、D、B 三点共线,D 在线段 AB 上, 且λ =

| AD | | DB |

?0



| CA | | AD | | CB | | DB |
=

∴CD 是△ABC 中∠C 的角平分线。 ∴A、D、B 三点共线 OC ∥ CD ∴O、C、D 三点共线,即直线 CD 过原点。 又∵直线 CD 的方向向量为 i =(1,2) ,∴直线 CD 的斜率为 2 ∴直线 CD 的方程为:y=2x (注意:至此,以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件,下面用解析几何的方法解决 该题) 易得:点 A(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点是 A’(4,-2) , (怎样求对称点?) y C ∵A’(4,-2)在直线 BC 上 ∴直线 BC 的方程为:3x+y-10=0 由?

? y ? 2x 得 C(2,4) ?3x ? y ? 10 ? 0

A y Q O x

D P

B x

6.【解】 (1)由 | MF1 | + | MF2 | =10 知: 动点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之和为 10 根据椭圆的第一定义:动点 M 的轨迹为椭圆:

x2 y2 ? ?1 25 16

O

x2 y2 ? ? 1 上任意两点 (2)∵点 P、O 是 25 16 设 P( 5 cos? ,4 sin? ),Q( 5 cos ? ,4 sin ? )
(注意:这是点在椭圆上的一种常规设法,也是椭圆的参数方程的一个应用)

OQ =0 得: 25 cos? cos ? ? 16 sin ? sin ? =0 ∵ OP ·
2 2 2



而 PQ 、 OP ? OQ 都可以用α 、β 的三角函数表示,利用①可以解得:

PQ
2

2 2



OP ? OQ

41 400
8

7.【解】∵直线 l 过点 A(0,1)且方向向量为 a =(1,k)

∴直线 l 的方程为:y=kx+1 (注意:这里已知方向向量即已知直线的斜率) 将其代入⊙C: ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,得: (1 ? k ) x ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0 ①
2 2 2 2

由题意:△= [?4(1 ? k )] ? 4 ? (1 ? k ) ? 7 ? 0 得:
2

4? 7 4? 7 ?k? 3 3

(注意: 这里用了直线和方程组成方程组, 方程有两根; 本题还可以用圆与直线有两个交点, d<R 来解) (2)利用切割线定理可以证明| AM |· | AN |=| AT | 2 =7,AT 为切线,T 为切点。

AN =| AM |· 根据向量的运算: AM · | AN |·cos00=7 为定值。
(注意:本题也可以设出 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 )的坐标,把 AM 、 AN 用坐标表示,由①利 用韦达定理来证明) (3)设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则由①得:

4 ? 4k ? x1 ? x 2 ? ? ? 1? k 2 ? ?x x ? 7 ? 1 2 1? k 2 ?
ON = x1 x 2 + y1 y 2 = (1 ? k ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ∴ OM ·
2

4k (1 ? k ) ? 8 =12 ? k=1(代入①检验符合题意) 1? k 2 8.解: (1)已知 C 为椭圆,其中 a ? 3 , c ? 5 , x2 y2 ? ? 1 ……(3 分) ∴b=2,∴C 的方程为 9 4 ?| PF1 | ? | PF2 | ? cos ?F1 PF2 ? 3, ? ? (2)由已知得 ?| PF1 | ? | PF2 |? 6, ? | PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | cos ?F1 PF2 ?| F1 F2 | 2 ? 20 . ? ? 3 | PF2 | =5, cos ?F1 PF2 ? , ∴ | PF1 | · 5 1 1 4 ∴ S ?PF1 F2 ? | PF1 | ? | PF2 | ? sin ?F1 PF2 ? ? 5 ? ? 2 。……(7 分) 2 2 5 (3)设 N(s,t) ,M(x,y) ,则由 DM ? ? DN ,
= 可得(x,y-3)= ? (s,t-3) ,故 x= ? s,y=3+ ? (t-3) , ∵M、N 在动点 P 的轨迹上,故

s2 t 2 (?s) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ? 1且 ? ? 1, 9 4 9 4 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 t 2 13? ? 5 ? 1 ? ?2 ,解得 t ? 消去 s 可得 。 4 6? 13? ? 5 1 又| t |≤2,∴ | | ≤2,解得 ? ? ? 5 。 6? 5
9

1 ,5]。 5 3 y x 9.设 M(x,y) ,由 PM =- MQ 得 P( 0,? ) 、Q( ,0 ) 2 2 3 由 HP · PM =0 得: y 2 ? 4 x
故实数 ? 的取值范围是[ ∵点 Q 在 x 轴正半轴上,∴x>0 即所求的轨迹方程为: y ? 4 x (x>0) (抛物线去掉顶点)
2

(2)设直线 l:y=k(x+1)(k≠0) ,代入 y ? 4 x 得:
2

k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0
2

设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则

? 2k ? 4 2?k2 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ① ∴线段 AB 的中点坐标为( , ) k ? k2 k ?x x ? 1 ? 1 2
线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? 在②中,令 y=0,得 x0 ?

2?k2 2 1 ) ② ? ? (x- k k k2

2 ? 1 ③ (与 x 轴的交点) k2 ∵ | AE | = | AB | ,且 AE 与 AB 的夹角为 600,∴△ABE 为等边三角形
∴点 E 到直线 AB 的距离为 而|AB|=

3 |AB| 2

4 1? k 2 2 3( 1 ? k 4 ) 2 1 ? k 2 2 ? 1 ? k ? ∴ |k| k2 k2 3 11 解得: k 2 ? 代入③ 从而 x 0 ? 4 3
10.解: (I)以 O 为原点,OA 为 X 轴建立直角坐标系,设 A(2,0) ,则椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 b2

∵O 为椭圆中心,∴由对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ?BC ? 0 , 又∵|BC|=2|AC| ∴|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形 ∴点 C 的坐标为(1,1) ∴点 B 的坐标为(-1,-1)

???? ??? ?

∴AC⊥BC

将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b 2 ?

4 , 3

则求得椭圆方程为

x2 3 y 2 ? ?1 4 4

(II)由于∠PCQ 的平分线垂直于 OA(即垂直于 x 轴) ,不妨设 PC 的斜率为 k,则 QC 的斜率 为-k,因此 PC、QC 的直线方程分别为 y=k(x-1)+1,y=-k(x-1)+1

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? 由 ? x2 3 y2 ?1 ? ? ?4 4

得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 *)

10

C O A B

∵点 C(1,1)在椭圆上, ∴ x = 1 是 方 程 ( * ) 的 一 个 根 , ∴ xP?1 =

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 即 xP= 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 同理 xQ= 3k 2 ? 1

2(3k 2 ? 1) ? 2k 2 yP ? yQ k ( xP ? xQ ) ? 2k 1 3 k ? 1 ∴ 直 线 PQ 的 斜 率 为 ? ? ? (定值) ?12k xP ? xQ xP ? xQ 3 2 3k ? 1 1 又∠ACB 的平分线也垂直于 OA ∴直线 PQ 与 AB 的斜率相等(∵kAB= ) 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴向量 PQ // AB ,即总存在实数 ? ,使 PQ ? ? AB 成立. k?
11.解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x,y) ,则 AP ? ( x, y ? a), BP ? ( x, y ? a), 又 n ? (1,0), m ? (0, a), 故m ? ? n ? (? , a), n ? 2? m ? (1,2?a) . 由题知向量 AP 与向量 m ? ? n平行, 故? , ( y ? a) ? ax. 又向量 BP 与向量 n ? ? m平行, 故y ? a ? 2?ax. 两方程联立消去参数 ? ,得点 P(x,y)的轨迹方程是

( y ? a)( y ? a) ? 2a 2 x 2 ,即y 2 ? a 2 ? 2a 2 x 2 . …………6 分
(Ⅱ)∵ a ?

2 2 2 ,故点 P 的轨迹方程为 2 y ? 2 x ? 1, 2

此时点 E(0,1)为双曲线的焦点. ①若直线 l 的斜率不存在,其方程为 x=0,l 与双曲线交于 M (0, 此时 EM ? EN ? (

2 2 ) 、 N (0,? ), 2 2

2 2 1 1 ? 1)( ? ? 1) ? 1 ? ? . …………8 分 2 2 2 2 2 2 ②若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 1, 代入 2 y ? 2 x ? 1 化简得

2(k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 1 ? 0.
2 2

∵直线 l 与双曲线交于两点,
2

∴△ ? (4k ) ? 8(k ? 1) ? 0且k ? 1 ? 0.解得k ? ?1. 设两交点为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ?

? 2k 1 , x1 x 2 ? . ……10 分 2 2 k ?1 2(k ? 1)

此时 EM ? EN ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? ( x1 , kx1 ) ? ( x 2 , kx2 )

? x1 x 2 ? k 2 x1 x 2 ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ?

k 2 ?1 1 2 ? (1 ? 2 ). 2 2(k ? 1) 2 k ?1

11

1 2 1 (1 ? 2 ) ? ? ; 2 2 k ?1 1 2 1 当 k ? 1或k ? ?1时, k 2 ? 1 ? 0, 故EM ? EN ? (1 ? 2 )? . 2 k ?1 2 1 1 综上所述, EM ? EN 的取值范围是 (??,? ] ? [ ,??). 2 2 12.(Ⅰ)解法一:依题意得: 0 ? b ? 2 , ……………………………………1 分 设 P( x0 , y0 ) , F1 (?c, 0), F2 (c, 0), (c ? 0) ???? ???? ? 由 PF1 ? PF2 ? 0 得 x0 2 ? y0 2 ? c 2 ? 0 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 4 ? b2 ,…………………2 分
当 ? 1 ? k ? 1时, k 2 ? 1 ? 0, 故EM ? EN ?

x0 2 y0 2 8b 2 ? 16 . …………………………………………………4 分 ? 2 ? 1 , ∴ x0 2 ? 2 b ?4 4 b 8b 2 ? 16 ∵ ?2 ? x0 ? 2, ∴ 0 ? 2 ?4 b ?4 ∴综上可得: 0 ? b ? 2 …………………………………………………………………6 分 解法二:设 P( x0 , y0 ) , F1 (?c, 0), F2 (c, 0), (c ? 0)


| PF1 |? a ? ex0 ,| PF2 |? a ? ex0 , …………………………………………1 分 ???? ???? ? 由 PF1 ? PF2 ? 0 得 (a ? ex0 ) 2 ? (a ? ex0 ) 2 ? 4c 2 …………………………2 分
可得 x0 ?
2

a 4 ? 2a 2b 2 16 ? 8b 2 ? , …………………………………………4 分 a 2 ? b2 4 ? b2
2 2 2 2 2 2

下同解法一. 注:若设上顶点为 B,根据 ?F1 BF2 ? 90? 得 a ? a ? (2c) ,即 2a ? 4(a ? b ) 因为 a ? 2 ,所以 0 ? b ?

2 。此种解法给满分 c 1 2 (Ⅱ)解法一:∵ e ? ? , a ? 2, ∴ c ? 1, b ? 3 , a 2 2 2 x y ? ? 1 , ……………………………………………………7 分 椭圆方程为 4 3 依题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , …………………8 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 2 2 2 3 ? 4 k 3 ? 4 k ???? ? ???? ? ∵ F2 A ? 2 F2 B ? 0 ,∴ x1 ? 2 x2 ? 3, y1 ? 2 y2 ? 0 ………………………………9 分

8k 2 9 ? 4k 2 4k 2 ? 9 ? x ? 3 x ? x ? ,∴ , ……………10 分 2 2 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 (9 ? 4k 2 )(4k 2 ? 9) 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 ? ∵ x1 x2 ? ,∴ (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴ x1 ? x2 ? x2 ?
12

5 …………………………………………………………………11 分 2 5 所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) …………………………………………12 分 2 c 1 2 (Ⅱ)解法二:∵ e ? ? , a ? 2, ∴ c ? 1, b ? 3 , a 2 2 2 x y ∴椭圆方程为 ? ? 1 , ……………………………………………………7 分 4 3 ???? ? ???? ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,∵ F2 A ? 2 F2 B ? 0 ,∴ x1 ? 2 x2 ? 3, y1 ? 2 y2 ? 0 ……8 分
∴k ? ?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 4 3 4 3 7 3 5 7 3 5 可解得 x2 ? , y2 ? ? ,即 B( , ? ) 4 8 4 8 5 所以 k ? ? 2 5 所以直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) 2


………………………11 分

13.解: (Ⅰ)设 P( x0 , y 0 ), F1 (?c,0), F2 (c,0), 其中c ? a 2 ? b 2 ,则

PF1 ? (?c,0) ? ( x0 , y 0 ) ? (? x0 ? c,? y 0 ) , PF2 ? (c,0) ? ( x0 , y 0 ) ? (c ? x0 ,? y 0 ).
2 2 2 2 从而 PF1 ? PF2 ? (? x0 ? c,? y 0 ) ? (c ? x0 ,? y 0 ) ? x0 ? c 2 ? y0 ? x0 ? y0 ? c 2 . ……2 分

2 2 ? y0 ? a 2 ,所以 b 2 ? c 2 ? PF1 ? PF2 ? a 2 ? c 2 , 由于 b 2 ? x0

即 2b 2 ? a 2 ? PF1 ? PF2 ? b 2 . ……………………4 分 4 4 又已知 ? ? PF1 ? PF2 ? , 3 3 4 ? 2 2 a 2 ? 4, ?2b ? a ? ? 3 , ? ? 所以 ? ?? 2 4 ? ?b 2 ? 4 , ?b ? . 3 ? ? 3 ? x2 3y 2 从而椭圆的方程是 ? ? 1. …………6 分 4 4

与?PCQ 的平分线平行,所以 | CP | | CQ | | CP | | CQ | ∠PCQ 的平分线垂直于 x 轴. …………7 分 ? x2 3y 2 ? x ? 1, ? ? 1, 由? 解得? ? C (1,1). 4 ?4 ? y ? 1, ? y ? x, ? 不妨设 PC 的斜率为 k,则 QC 的斜率为-k,因此 PC 和 QC 的方程分别为
(Ⅱ)因为 (
13

CP

?

CQ

) ? F1 F2 ? 0, 而

CP

?

CQ

? y ? k ( x ? 1) ? 1, ? y ? k ( x ? 1) ? 1, y ? ?k ( x ? 1) ? 1, 其中k ? 0,由? x 2 3 y 2 ?1 ? ? 4 ?4 消去 y 并整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ? 1) x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0(*). …………9 分 ∵C(1,1)在椭圆上,∴x=1 是方程(*)的一个根. 3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 从而 x P ? , 同理 x ? , Q 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
从而直线 PQ 的斜率为 k PQ ?
y P ? yQ x P ? xQ
2

?

k ( x P ? xQ ) ? 2k x P ? xQ

2(3k ? 1) ? 2k 2 1 = 1 ? 3k ? . ………………11 分 ? 12 k 3 1 ? 3k 2 ?1? 0 1 又知 A(2,0) ,B(-1,-1) ,所以 k AB ? ? ,? k PQ ? k AB , ?1? 2 3 ∴向量 PQ与 AB 共线, k
14. 解: (I)? ?OFP 的面积为 m,设向量 OF 与 FP 的夹角为 ?

?

?

1 ? ? ① ? ?| OF |?| FP|s i n ? ?m 2 ? ? ? ? ? FP|cos? ? 1 ? OF ? FP ? 1 ,?| OF || 由①、②得: tan ? ? 2m 1 3 ? ?m? , ?? ? t a n ?? 3 2 2



?? ? ( , ) 4 3 ? ? ? ? 即向量 OF 与 FP 的夹角 ? 的取值范围为 ? ? ( , ) 4 3 ? (II)如图,以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴建立直角坐标系

?

?

6分

设 | OF | ? c ,P 点坐标为(x0,y0)

?

14

? 4 ?| OF | ? m 3 1 ? 1 4 3 ? ?| OF || ? y0 | ? ? m?| y0 | ? m ,?| y 0 | ? 2 2 3 2 ? ? ? ? ? OF ? ( c, 0) , FP ? ( x 0 ? c,y 0 ) , OF ? FP ? 1 1 ? c( x0 ? c) ? 1, ? x0 ? c ? c ? 1 9 2 2 ?| OP| ? x 0 ? y 0 ? (c ? ) 2 ? c 4 1 设 f (c) ? c ? ,当 c ? 2 时,任取 c2 ? c1 ? 2 c c ? c2 1 1 1 有 f (c2 ) ? f (c1 ) ? c2 ? ? c1 ? ? (c2 ? c1 ) ? 1 ? (c2 ? c1 )(1 ? ) c2 c1 c1c2 c1c2 1 1 当 c2 ? c1 ? 2 时, ? 1, (1 ? ) ? 0,c2 ? c1 ? 0 c1c2 c1c2 ? f (c2 ) ? f (c1 ) ? 0 ,? f (c) 在[2, ?? )上是增函数 ? 5 3 ?当 c ? 2 时, f (c) 为最小,从而 | OP | 为最小,此时 P( , ) 2 2 2 2 x y 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 a b 2 2 ?a ? b ? 4 ? ? 25 9 ? 2 ? 2 ?1 4b ? 4a 2 ? a ? 10,b 2 ? 6
故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 10 6

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