nbhkdz.com冰点文库

全国高中数学联赛辅导课件常用的解题方法与技巧(中篇)(数形结合)

时间:2013-09-21


高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
数形结合引言

以形解数

用数助形

课外思考

1

高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇) (数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且 在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可 以互相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的 对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把 图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量 关系问题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨 与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一 种重要的数学方法. 数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离. 2

思考一:以形助数 例 1.对于每个实数 x ,设 f ( x) ? min?4 x ? 1, x ? 2, ?2 x ? 4? 求 f ( x ) 的最大值. 解:在同一坐标系下作下列直线: y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2, y ? ?2 x ? 4 ,
由图象得 1 ? ?4 x ? 1 ( x ≤ 3 ) ? 1 2 ? f ( x) ? ? x ? 2 ( ? x ≤ ) 3 3 ? 2 ? ? ?2 x ? 4 ( x ? 3 ) ?
例2

∵ f ( x ) 的图象是红线部分, 2 8 ∴当 x ? 时, f ( x ) 的最大是 3 3
3

例 2.已知 a 和 b 是实数,关于 x 的二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的一个根在 ?1 和 1 之间,另一 个根在 1 和 2 之间,试求 a ? 2b 的最值.
分析:设二次函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b 作出它的图象, 由题设条件得 f (?1) ≥ 0 , f (1) ≤ 0 , f (2) ≥ 0

?1 ? a ? b ≥ 0 ? 即 ?1 ? a ? b ≤ 0 , ? 4 ? 2a ? b ≥ 0 ?
然后由线性规划的方法可得 (a ? 2b)min ? ?1,(a ? 2b)max ? 5
4

例3

例 3(1996 年全国高中数学联赛题)

? ?? 求实数 a 的取值范围,使得对于任意 ? ? ? 0, ? , ? 2? 1 2 2 恒有 ( x ? 3 ? 2sin ? cos ? ) ? ( x ? a sin ? ? a cos ? ) ≥ 8
分析:令 y ? x ,
?x ? y ? 0 ? 则? 1 2 2 ?? x ? ( ?3 ? 2sin ? cos ? )? ? ? y ? ( ? a sin ? ? a cos ? )? ≥ 8 ? 由此想到解析几何知识来求解,转化为 点 (?3 ? 2sin? cos? , ?a sin? ? a cos? ) 到直线 y ? x 的距离的平 1 1 方大于 ,故原不等式可化为 ?3 ? 2sin ? cos ? ? a sin ? ? a cos ? ≥ , 8 2
5

7 a≥ 或 a≤ 6 2

思考二:用数解形 几何问题用坐标法是典型的用数解形的例子, 所以这种例子是举不胜举的.这里我们来品味一道 平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞赛题)在锐角 △ ABC 中, AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H ,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两点, FG 与 AH 相交于点 K ,已知 BC ? 25, BD ? 20 , BE ? 7 , 求 AK 的长.

6

课外训练: 1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知 a , b 是 正 实 数 , 方 程 , x 2 ? 2bx ? a ? 0 都有实数根,求 a ? b 的最小值. x ? ax ? 2 ? 0 2.(2001 年全国高中数学联赛题)
2

6

求函数 y ? x ? x ? 3 x ? 2 的值域. 3.(1998 年全国高中数学联赛题) △ ABC 中 , ?C ? 90? , ?B ? 30? , AC ? 2 , M 是 AB 的 中 点 , 将
2

? 3? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ? ? ?

△ ACM 沿 CM 折起,使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 2 2 A─BCM 的体积等于_______.

3 4.(2004 年 IMO 中国国家队集训选拔赛题)设 ?XOY ? 90 , P 为 ?XOY 内的一点,且 OP ? 1, ?XOP ? 30? ,过点 P 任意作一条直线 分别交射线 OX、OY 于点 M、N , 求 OM ? ON ? MN 的最大值.
?

3 ? 1 ? 12
4

7


赞助商链接

浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)

浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业...数形结合、转化与化归等诸多数学思想方法,还可以...全国高中数学联赛辅导课... 20页 免费 高中数学...

高中数学解题思想方法全集

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...(93 年全国高中数学联赛题) 2 2 ( ①式) ,设...常用的数学思想 一、数形结合思想方法 数学中的知识...

高中数学解题方法技巧汇总

高中数学解题方法技巧汇总_数学_高中教育_教育专区。...④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类...(93 年全国高中数学联赛题) S min 【分析】 由 ...

高中数学解题方法技巧汇总

高中数学解题方法技巧汇总_数学_高中教育_教育专区。...④ 常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类...(93 年全国高中数学联赛题) S min 【分析】 由 ...

关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略

因此,本文以高中数学几何解题技巧数形结合为研究 对象,围绕速解高中解析几何方法中的数形结合进行了分析,并对数形结合在解析几何几种 题型中的运用进行了举例...

b7克数学的技巧(中篇)

全国高中数学联赛辅导课件... 7页 免费如要投诉违规...奥林匹克数学的技巧(中篇) 2-7-8 配对 配对的...把握各个 局部,这样的解题观念或思考方法,称为整体...

高中数学解题基本方法

高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 ...竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 ...

全国高中数学备战必读

2010 全国高中数学联赛须知一、2009 年全国高中数学...数量掌握其变形技巧对于简化解题过程有 很大的帮助。...中数列部分 复数 复数部分主要是注意数形结合,习惯...

数形结合思想在高中数学中的应用

数形结合思想在高中数学中的应用数形结合思想在高中数学中的应用隐藏>> 数形结合思想在高中数学中的应用数、 形是数学中两大基本概念, 可以说全部数学大体上都是...

高中数学中常用的数学思想方法

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学常用的数学思想方法_高三数学_数学_高中教育...数形结合数学解题常用的思想方法,使用数形结合...