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2.2.1直接证明:综合法分析法


复习
推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

> 证 明 , 试 找 出 两 证 明 过

程 中 的 差 异 : A, 求 证 : 过 点 A

1、 在 正 方 体 ABCD ? A, B, C, D, 中 , 求 证 : A, C ? BD. a.

2、 已 知 直 线 a和 直 线 外 一 点

有 且 只 有 一 条 直 线 行 于

2.2. 直接证明和间接证明

2.2.1 综合法和分析法

从已知条件出发,以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止, 这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q2
Q 2 ? Q3



Qn ? Q

特点:“由因导果”

例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

证明:因为b2+c2

≥2bc,a>0

所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2
≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

例2:在△ABC中,三个内角A、B、C对 应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等 差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
0 A ? C ? 2 B ? B ? 60 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?

由a,b,c成等比数列可得什么? b 2 ? ac

怎样把边,角联系起来?

余弦定理 : b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B

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找出隐含条件

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a+b 分析基本不等式: ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证 ? ab 2 只需证 a + b ? 2 ab

只需证 a + b ? 2 ab ? 0 只需证 ( a ? b ) ? 0
2

因为 ( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab 成立

从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中, 使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止,这种证明的方法叫做分析法. 这个明显成立的条件可以是: 已知条件、定理、定义、公理等

特点: 执果索因 即:

要证结果Q,只需证条件P

a+b 分析基本不等式: ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ? ab 2 只需证;a + b ? 2 ab

还原成综合法: 证明:
2 ( a ? b ) ?0 因为;

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
( a ? b) ? 0 只需证;
2

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

a+b ? ab 成立 所以 2 ab成立

例1.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E

A
B

C

因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立

例2、?ABC的 三 个 内 角 A, B, C成 等 差 数 列 , 求 证 : 1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c
练 习 、 已 知 a, b, c为 互 不 相 等 的 正 数 且 1 1 1 求 证 : a? b? c? ? ? . a b c abc ? 1,

练 习 、 已 知 x , y ? R , a , b, c ? R , b?c 2 c?a 2 a?b 2 求 证 : x ? y ? z ? 2?xy ? yz ? zx ? a b c

?

知识

1.在数学证明中,综合法和分析法是 两种最常用的数学方法,若从已知入手 能找到证明的途径,则用综合法,否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件,分析法的每步推理都是寻找充分条 件,在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.

3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式,在证明某些较复杂的问题时,常 采用分析综合法,用综合法拓展条件, 用分析法转化结论,找出已知与结论的 连结点.

?B ? 90? 练.△ABC三边长 a, b, c 的倒数成等差数列,求证:
证明:

cos B ?

a 2 ? c 2 ?b 2 2 ac

因为a,b,c为△ABC三边 所以 a + c > b
b 1? ?0 a?c

.

2ac ? b 2 ? 2ac b2 ? 1? 2ac

b2 ? 1? b( a ? c ) b ? 1? a?c

所以 因此

cosB>0

?B ? 90?

π 例3. 已知α, β≠ kπ+ (k ? Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθ? cosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β 求证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
2 2

1 1 1 例4 ( 2011安 徽 ) 、(1)设x ? 1, y ? 1, 证 明 : x? y? ? ? ? xy; xy x y ?2?1 ? a ? b ? c, 证明:log a b ? logb c ? log c a ? logb a ? log c b ? log a c.

?2?设ak bk ?k ? 1,2,? ? ?n ?均为正数,证明:

变 式1、 (1)已 知 函 数 f ? x ? ? ln x ? x ? 1, 求 函 数 f ? x ?的 最 大 值 ;
b b b

若a1b1 ? a2b2 ? ? ? ? ? an bn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn , 则a1 1 ? a2 2 ? ? ? ?an n ? 1.
2 变 式 2、 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? ? a ln x? x ? 0, a为 常 数 ?, x 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数x1 , x2 , 证 明 :
2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 当a ? 0时 , ? 2

? x1 ? x2 ? f? ? ? 2 ?


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2.2.1综合法和分析法

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