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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5应用举例(一)


§ 1.2
一、基础过关

应用举例(一)

1. 已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20° 方向上,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° 方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( A.a km C. 2a km B. 3a km D.2a km )

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2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B、C 间的距离是 A.10 3 n mile C.5 2 n mile 10 6 B. n mile 3 D.5 6 n mile ( )

3.如图,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得望树尖的仰角 为 30° ,45° ,且 A、B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为 ( )

A.(30+30 3) m B.(30+15 3) m C.(15+30 3) m D.(15+3 3) m 4.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° 的方向上,与 灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟后到达 N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为 A.20( 6+ 2) 海里/小时 B.20( 6- 2) 海里/小时 C.20( 6+ 3) 海里/小时 D.20( 6- 3) 海里/小时 5.如图,A、N 两点之间的距离为________. ( )

6.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内 的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,则塔高 AB 为________. 7.要测量对岸两点 A、B 之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点, 并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 二、能力提升 8.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区 为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为( A.0.5 小时 C.1.5 小时 B.1 小时 D.2 小时 )

9. 太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15° 的方向上,汽车行驶 1 km 后,又测得小岛在南偏西 75° 的方向上,则小岛到公路的距离 是________ km. 10.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45° 30° 和 ,而且 两条船与炮台底部连成 30° 角,求两条船之间的距离. 三、探究与拓展 11.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 的方向,距离 A ( 3-1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度 追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 的方向逃窜,问 缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

答案
1.B 2.D 3.A 6. s· θsin β tan sin?α+β? 4.B 5.40 3

7.解 如图所示, 在△ACD 中,∠ACD=120° , ∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 (km). 在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = (km). sin 60° 2

△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2 3× 6+ 2×cos 75° =3+2+ 3- 3=5, ? 2 ? 2 ?

∴AB= 5 (km). ∴A、B 之间的距离为 5 km. 8.B 9. 3 6 解析 如图,∠CAB=15° ,∠CBA=180° -75° =105° , ∠ACB=180° -105° -15° =60° ,AB=1 (km). 由正弦定理得 BC AB = , sin∠CAB sin∠ACB 6- 2 1 ∴BC= · 15° sin = (km). sin 60° 2 3 设 C 到直线 AB 的距离为 d, 则 d=BC· 75° sin = 10.解 如图所示 6- 2 6+ 2 3 · = (km). 4 6 2 3

∠CBD=30° ,∠ADB=30° ,∠ACB=45° . ∵AB=30 (m),∴BC=30 (m), BD= 30 =30 3 (m). tan 30°

在△BCD 中,CD2=BC2+BD2-2BC· cos 30° BD· =900, ∴CD=30 (m),即两船相距 30 m. 11.解 如图所示,设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中, ∵AB= 3-1, AC=2, ∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =( 3-1)2+22-2×( 3-1)×2×cos 120° =6, ∴BC= 6 (n mile), AC 且 sin∠ABC= · sin∠BAC BC = 2 3 2 × = . 2 2 6

∴∠ABC=45° ,∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中,由正弦定理得 BD· sin∠CBD sin∠BCD= CD = 10tsin 120° 1 = ,∴∠BCD=30° . 2 10 3t

即缉私船沿北偏东 60° 方向能最快追上走私船.


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