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11-12第二学期重修班模拟题答案


5

1

11 ? 12

?

±
? ?? ? (
1. z=
3

? ??? ¤ (? 3 ?) (? × ? 2012 ? * ? * ?) ? ? ± ? ? ¨?
2 )


??? ?????

?

C.sin z = sin z. 3.

?? ? ?

∞ n=1

n! n nn z

? ??
1 e

D.arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 .

?(

A ) C. ∞ ( D

?

A. e

?

4.

??? ? ??
( D )

B.

? ?

)

?

D. 0

A. w = ln(1 + z) 5.

B.w = x + iy 2

C.w = z

D. w = e?x (cos y ? i sin y)

? 2. z + 8i = 0, z = 2(cos + i cos ), k = 0, 1, 2 ? e ? 1 = 0 § z = 2kπi √ 3. f (z) = z + z z = 1 + i ? ? ? ? 13 § ? arctan ? 4. z = a + bi, a, b · § Re(cos z) = cos a cosh b 5. f (z) = z = i ? Taylor ? ?? ? ? 6. f (z) = , z =0 f (z) ? 3 ???§ Res[f (z), 0)] = ? 7. f (z) = dξ §§ |z| = 2 § ? f ( i) = ?4π ? π i , f (πi) = 0 8. z ? f (z) ? m(m > 1) ???§ z ? f (z) ? m + 1 ???? 9. f (z) = ze § z = 1 f (z) ? ? ?? ? ??? ?§ f (z) ? z ? ?? ?? ?? ? ? ?? c = ? 10. f (z) = ln z = 0 ?? · ? ?? R = 1 ?? ? ( 15 ¨? ? 3 ) 1. ? ? ? ( B )? A. |a| < 1, |z| < 1, < 1 ? B. f (z) z ? § f (z) z ? ? C. f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ?? D ? § D ?? f (z) = u + iv ? D. f (z) ?? D ? ? ? ?· § f (z) ?? D ? ? 2. ? ? ? ? ( C ) ? A. 0 ? 0§ ? 0 ? B. w = sin z ? ?
√ (?1? 3i)(1?i) (1?i)2

20

,

|z| =

2 ,

arg z =

π 12

4kπ?π 6

4kπ?π 6

z

2

0

2 3

z2 cos z

0

π 2

π √ 2

? 10 ???? B. C ? ?? ? § C. ? ? ° = ?z ? D. a ? f (z) ? n ???§ Res , a 6. ? ? ? ( D )? A. dz = 0 §¤ c ?? ? ?? ?? ? ? ? B. dz = C. dz ≤ 2 § l ? i ? 2 + i ? ?? D. cos = 0 ? 7. ? I = sin dz = ( B )
A. z = 0 6 sin z 3 + z 3 (z 6 ? 6)
1 z f ′ (z) f (z) 1 c z2 1 |z|=1 z? 1 2 z 2 1 l z2 π+2i π |z|=1 1 z

z C z? 1 dz 2

= ?n

?

=0

1 |z|=2 z? 1 dz 2

z?sin z z6

0

1 5!

A. 0 8.f (z) = A.3 9.

B. 2πi
6 sin z 3 ?z 3 (z 6 +6) z?1

ξeξ +2 |ξ|=2 (ξ?z)2

′ π 2 ′

2

§

C. 2e z=0 D.15 f (z)

?(

C

)

????

D. 2eπi

0

0

1 z?1

0

?2

2 3

(1+z) (z?2)(z?3)

z?a 1?az

0

0

? ? ?? ? ( C ) ? A. f (z) z =0? ? B. z = 0 f (z) ?????? C. z = 2πi f (z) ? ? ???? D. z = 0 f (z) ?????? 10. ?? c (z ? i) z = 1 + i ? ?§ ? z = 2 ? ( A. ? ? B. ? ?? ? C. ? D. ?? ? 11. ? dθ ? ? ? ? ? ? ( A ) ?
f (z) =
1 z 2 (ez ?1) , 0 0 1 0 +∞ n=0 n n 0 2π 1 0 2+sin θ

B6

C.9

D

)

? ?



x

x

A.

2 |z|=1 z 2 +4iz?1 dz

12. z = α A.

? g(z) ? ?? ?§? h(z) ?? ? ?§ ?? ? B. ? ? ? C. ?? D. ? ? ?

B.

1 |z|=1 z 2 +4iz?1 dz

C.

2 |z|=2 z 2 +2iz?1 dz

α

? f (z) = g(z)h(z) ? (

D.

2 |z|=2 z 2 +2iz?1 dz

B

)

5

2

?8 ) 1. f (z) = e?x (cos y ? i sin y) ? ? f (z) = z. (1) ? ? ?? ? ? ? (2) C ? ?? 1 + i ? ??? |z ? i| = 1 ?
24

???? (

¨?

2.

? (1) ? u(x, y) =
?§ § ? x = z,

e?x cos y
?u ?y ?v ?y

v(x, y) =

?e?x sin y,

§¨ ?

C

f (z)dz

? ?

1 ¨ ? |z|=1 z+2 dz ? § ? ? ? ? 0π 1+2 cos θθ = 0 ? 5+4 cos 1 ?? Cauchy ? ? ? c z+2 dz = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 ??? § ? c ? ? z(θ) = cos θ + i sin θ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

?

2π 0 2π

?u ?x cos y ?x = ?e ?v ?x sin y ?x = e

(2)

? f (z) ?? y = 0 ° f (z) = e ? ? ?× ? °?
?z 1+i

?

??

= = ?e?x cos y

?e?x sin y

§ ?

=?
0 2π

=?
0

? sin θ + i cos θ dθ = 0 cos θ + i sin θ + 2 ?2 sin θ 1 + 2 cos θ +i dθ = 0 5 + 4 cos θ 5 + 4 cos θ 1 + 2 cos θ dθ = 0 ··················3 5 + 4 cos θ

???
π

f (z)dz =
C 0 1+i

f (z)dz e?z dz 3. 3’. (2)

=
0

¨m

= ?e?z |1+i 0



? (1) ? u(x, y) = x ? × ?
I =
0 2π

= (1 ? e?1 cos 1) + ie?1 sin 1 v(x, y) = ?y,
?u ?y = 0 ?v ?y = ?1

?



?u ?x ?v ?x

=1 =0

?


(2)

? z = z(θ) = eiθ + i,
2π 0 ?iθ

? ?? C-R ? ??

? f (z)
0 ≤ θ ≤ 2π

§

??

§ ? ? ??? ??

°

?

? u (x, y) = ?6xy, u (x, y) = ?6y; u (x, y) = 3my ? 3x , u (x, y) = 6my ?? ??? u + u = 0 ° m = 1 ? ?¨????? v(x, y) ? ? C ? R ? ? dv(x, y) = v dx + v dy = ?u dx + u dy = (?3y + 3x )dx + (?6xy)dy §
x xx y 2 2 yy xx yy x y y x 2 2 (x,y)

§ ¨ p(x, y) = x ? y + 2xy § (1) p(x) ? ?? ? f (z) = u + iv ? § u = p §¨ v.
u(x, y) = my 3 ? 3x2 y
2 2

0

1 + 2 cos θ 1 dθ = 5 + 4 cos θ 2

2π 0

1 + 2 cos θ dθ = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2 5 + 4 cos θ

? ??

f (z) = u + iv

§§ f (0) = 0 ?

v(x, y) =
(0,0) x

(?3y 2 + 3x2 )dx + (?6xy)dy + c
y

=
0 3

3x2 dx +
0

(?6xy)dy + c

(eiθ + i)ieiθ dθ = (e


(eiθ ? i)ieiθ dθ

= x ? 3xy 2 + c

=
0

? i)ie dθ = 2πi

? f (0) = 0
pxx + pyy = 0

c=0

§?? f (z) = (y ? 3x y) + i(x ? 3xy ) = i3z
3 2 3 2

3

’(1) px (x, y) = 2x + 2y,

§? p(x, y) ??? ?

pxx = 2;

py (x, y) = ?2y + 2x,

pyy (x, y) = ?2

§

(2)

? ??
v(x, y) =

°?
(x,y) (0,0) x

5

3

dv(x, y) = vx dx + vy dy = ?uy dx + ux dy = (2y ? 2x)dx + (2x + 2y)dy (2y ? 2x)dx + (2x + 2y)dy + c
y

§

1 ?? f (z) = z (z?i)
2

?? 1 < |z ? i| < +∞ ???

??

f (z) = (2x + 2y)dy + c
0

=
0

(?2x)dx +

’(1)

1 1 1 ?? f (z) = (z?2)(z?3) = z?3 ? z?2 §???

+∞ 1 1 (n + 1)in × (?1)n , = z 2 z ? i n=0 (z ? i)n+3

?? ? ??
|z| < 3. |z| < 2.

1 < |z ? i| < +∞.

?? v(x, y) = ?x2 + y2 + 2xy + c § ± ?? ?? ( 41 ) 1 1.(15 ) ? f (z) = z (z?i) §?
2

= ?x2 + y 2 + 2xy + c

° f (z) = z ? iz + c
2 2

1 1 1 =? z?3 31?

z 3 z 2

=? =?

+∞ 1 +∞ z n zn ( ) =? , 3 n=0 3 3n+1 n=0 +∞ 1 +∞ z n zn ( ) =? , 2 n=0 2 2n+1 n=0

?? ?????

? ? ?

?? ? ?? ???

1 1 1 =? z?2 21?



?
f (z) =

°?
+∞ n=0

(1). 0 < |z| < 1; 1’.(15 )

§? ?? ????? ?? ? (1). z = 0 ? Taylor ? § ? ?? (2). ?? ??? Laurent ? 0 < |z ? 2| < 1 ? 1 < |z ? 2| < +∞ ? (1) ???
?
f (z) =
1 (z?2)(z?3) 1 ?? f (z) = z (z?i)
2

(2). 1 < |z ? i| < +∞

1 2n+1

(2)

?

??

?

1 3n+1

zn

|z| < 2.

1 1 =i× z?i 1?

?? 0 < |z| < 1 ???
+∞

z i

+∞ zn zn =i× = in in?1 n=0 n=0

+∞

0 < |z| < 1

??

?? ?°

+∞ 1 1 1 1 1 = = = , 1 z?3 z?2?1 z ? 2 1 ? z?2 (z ? 2)n+1 n=0

+∞ 1 1 =? =? (z ? 2)n z?3 1 ? (z ? 2) n=0

0 < |z ? 2| < 1. 1 < |z ? 2| < ∞.

?

? f (z) ?????

??

f (z) = f (z) =

f (z) = (2)

?? ?
1 z2 = = =

1 1 1 × = 2× = 2 z z?i z in?1 n=0 in?1 n=0

zn

+∞

z n?2

0 < |z| < 1

+∞ 1 1 = , (z ? 2)(z ? 3) n=0 (z ? 2)n+2

+∞ 1 =? (z ? 2)n?1 (z ? 2)(z ? 3) n=0

0 < |z ? 2| < 1. 1 < |z ? 2| < ∞.

?

1 z



= ?

+∞

1 (z ? i) + i

′ ′

=

?

1 1 × i z ? i 1 + z?i



(?1)n+1
n=0 +∞

in (z ? i)n+1

(?1)n
n=0

(n + 1)in , (z ? i)n+2

1 < |z ? i| < +∞.

¨ f (z) = z +z?1 ? ? ?§? ¤  § ¨ ? ? ?? ? z (z?1) ze 2’.(8 ) ? ? f (z) = (1?z) sin z ? ? ?? ¤  § ? ?? ¤? ? ?? ? z1 = 0 ? z2 = 1 ? f (z) ?? ??§¤ ???????????? ¨ ? ?? ? ?? °?
2.(8 )
2 2 1 z?i 3

3.

??

? ?? ??
(1) (1)′
1 |z|=3 cos z?sin z dz z?4πi |z|=3π ez ?1 dz 1 cos z?sin z

5

4

Res(f (z), 0) =

1 d lim 1! z→0 dz

= lim = 0

(2z + 1)(z ? 1) ? (z 2 + z ? 1) z→0 (z ? 1)2

z2 + z ? 1 z × 2 z (z ? 1)
2

?? f (z) = = ?? |z| < 3 ???? ¨ ? ?? °?

(8 ) (8 )


2 2 cos(z+ π ) , 4

? ? ? ?? z =
1 z=z1

π 4,

z2 = ? 3π 4

§ ?? ????

2 Res(f (z), z1 ) = 2[cos(z + π )]′ 4 2 Res(f (z), z2 ) = 2[cos(z + π )]′ 4 √



√ 2 =? 2 √ 2 = 2

Res(f (z), 1) =

z 2 +z?1 z2

(z ? 1)′

=
z=1

z2 + z ? 1 z2

z=1

= 1

??

? ? °?
z?4πi ez ?1

z=z2

?

?? ?? ? ° ? ? ? ? ? z = 1, i ? ? z = kπ, k ? ? ?? z = 1 ? ?????§? ? ??§ ?? z = 1 ? f (z) ? ? ???? ? § z = kπ ? ?????§? ? ??§ ?? z = kπ ? f (z) ? ? ???? z=i ? e ?? ??§? (1?z)z sin z ? ?§?? z = i f (z) ?? ???
1 z?i 3



? f (z) = § ??? ??? z = kπ, k ∈ Z § ?? ? × ?? ° ?? |z| ≤ 3π ? ? ? ? ? z = 0, z = 2π, z = ?2𠧧 ?? ???? ??? ??
1 2 3

|z|=3

1 dz = 2πi × cos z ? sin z

√ √ 2 2 ? 2 2

=0

°?

z ? 4πi ez z ? 4πi Res(f (z), z2 ) = ez z ? 4πi Res(f (z), z1 ) = ez Res(f (z), z1 ) =

z=z1

= ?4πi = ?2πi = ?6πi

z=z2

??

? ? °?

z=z1

|z|=3π

z ? 4πi dz = 2πi × (?4πi ? 2πi ? 6πi) = 24π 2 ez ? 1

5
(2) (2)’
+∞ x2 ?x+2 ?∞ x4 +10x2 +9 dx +∞ x sin 3x ?∞ x4 +5x2 +4 dx

5

(8 (8

) )

4.

?? f (z) = , f (z) ????? § ?? ???? ? ???? ??? ?? °?
z 2 ?z+2 z 4 +10z 2 +9

? ? z1 = i ? z2 = 3i,

4’

? ?? ? ? ? ?? ?

Res(f (z), i) =

z2 ? z + 2 (z 4 + 10z 2 + 9)′

=
z=i

1?i 16i 7 + 3i 48i

Res(f (z), 3i) =

z2 ? z + 2 (z 4 + 10z 2 + 9)′

=
z=i

??
+∞ ?∞ zei3z z 4 +5z 2 +4

? f (z) = , f (z) ????? § ?? ???? ? ???? ??? ?? °?
’ Res(f (z), i) = zei3z (z 4 + 5z 2 + 4)′ =
z=i

x2 ? x + 2 1 ? i 7 + 3i 5 dz = 2πi × ( + )= π 4 + 10x2 + 9 x 16i 48i 12

? ? z1 = i ? z2 = 2i,

e?3 6 e?6 6

Res(f (z), 3i) =

zei3z (z 4 + 5z 2 + 4)′

??
+∞ ?∞

z=2i

=?

x4

x sin 3x dx = Im 2πi × + 5x2 + 4 = 2π ×

e?3 e?6 ? 6 6

e?3 e?6 ? 6 6


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