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2012年全国高中数学联赛试题


2012 年全国高中数学联赛试题(A 卷)
一、填空题:8×8=64 分 1、设 P 是函数y = x + (x>0)的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y=x 和 y 轴作垂线,
x 2

垂足分别为 A、B,则PA ·PB的值是______________。

2、设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别

是 a、b、c,且满足 acosB-bcosA= c,
5

3

tanA tanB

的值为

_______________。

3、设 x、y、z∈[0,1],则 M=

y?x +

y?z +

z ? x 的最大值是_____________。

4、抛物线 y?=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A、B 是抛物线上的两个动点,且满足∠ AFB= 。设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则
3 π MN AB

的最大值是____________。

5、设同底的两个正三棱锥 P-ABC 和 Q-ABC 内接于同一个求。若 正三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成的角为 45°,则正三棱锥 Q-ABC 的侧面与底面所成的角的正切值是_________。

6、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x?,若对任 意的 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数 a 的取值范围 是___________。

7、满足4 < sin n < 3的所有正整数 n 的和是___________。

1



1

8、某情报站有 A、B、C、D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是 从上周未使用的三种密码中等可能的随机选一种。设第一周使用 A 种密码,那么第 7 周也 使用 A 种密码的概率是___________。

二、解答题:56 分 9、 (16 分)已知函数f x = ? 2 2 + a ? a + 2 , a ∈ R且 a≠0。 (1)若对任意 x∈R,都有 f(x)≤0,求 a 的取值范围; (2)若 a≥2,且存在 x∈R,使得 f(x)≤0,求 a 的取值范围。
1 3 1

10、 (20 分)已知数列{an }的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n,都有 a1 + a 2 + ? + a n
2

= a3 + a3 + ? + a3 n 1 2

(1) 当 n=3 时,求所有满足条件的三项组成的数列a1 ,a2 ,a3 ; (2) 是否存在满足条件的无穷数列{an },使得a2013 = ?2012?若存在,求出这样的无穷 数列的一个通项公式;若不存在,说明理由。

11、 (20 分)如图,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4,且|OB|=|OD|=6。 (1)求证:|OA|·|OC|为定值; (2)当点 A 在半圆 M:(x-2)?+y?=4(2≤x≤4)上运动 时,求 C 的轨迹。

2012 年全国高中数学联赛加试试题(A 卷)
一、 (40 分) 如图, 在锐角△ABC 中, AB>AC,M、 是 BC 边上不同的两点, N 使得∠BAM= ∠CAN 设△ABC 和△AMN 的外心分别为O1 、O2 ,求证:O1 、O2 、A三点共线。

二、 (40 分)试证明:集合 A={2,22 , … ,2n , … }满足 (1)对每个 a∈A 及 B∈N ?,若 b<2a-1,则 b(b+1)一定不是 2a 的倍数; (2)对每个 a∈A(A 在N ?中的补集) ,且 a≠1,必存在 b∈N ? ,b<2a-1,使 b(b+1)是 2a 的 倍数。

三、 (50 分)设P0 、P1 、P2 、 … 、Pn 是平面上 n+1 个点,它们两两之间的距离的最小值为 d (d>0) ,求证: 0 1 · 0 2 ·… · 0 > d 3
n

n+1 !

四、 (50 分)设Sn = 1 + 2 + ? + n ,n 是正整数。证明:对满足 0≤a<b≤1 的任意实数 a, b,数列{Sn ? Sn }中有无穷多项属于(a,b) 。

1

1


2012年全国高中数学联赛试题(A,B)参考答案及详细评分标准)

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