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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的几何意义素材 北师大版选修1-1


3.2
3

导数的几何意义

【例 1】曲线 f(x)=x +2x+1 在点 M 处的切线的斜率为 2,求 M 的坐标

【例 2】由原点 O 向三次曲线 y=x -3ax +bx(a≠0)引切线,切于不同于 O 的点 P1(x1,y1).再由 P1 引曲线 的切线,切于不同于 P1 的点 P2(x2,y2)

,…,如此继续地作下去,得到点列{Pn(xn,yn)},试回答下列问题: (1)求 x1; (2)求 xn 与 xn+1 的关系; (3)当 a>0 时,求证:当 n 为正偶数时有 xn<a,当 n 为正奇数时有 xn>a.

3

2

参考答案 例 1: 【分析】求 f(x)的导数 f′(x),根据斜率为 2,先求出 M 的横坐标,再代入到 f(x)中得到纵坐标. 【解】∵f(x)=x +2x+1, ∴ f ?( x) ? lim
?x ?0
3

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

( x ? ?x) 3 ? 2( x ? ?x) ? 1 ? ( x 3 ? 2 x ? 1) ?x ?0 ?x 2 (3 x ? 2)?x ? 3 x(?x) 2 ? (?x) 3 ? lim ?x ?0 ?x 2 ? lim [3 x ? 2 ? 3 x?x ? (?x) 2 ] ? lim
?x ?0
2

=3x +2. ∴f′(x)=3x +2=2,x=0. 又 f(0)=1, ∴M 的坐标为(0,1) 【点拨】先根据导数公式求出点的横坐标,再将横坐标代入函数式子求出纵坐标. 例 2: 【分析】过 Pn(xn,yn)的切线的斜率 kn=f′(xn),利用点斜式写出直线方程. 又由于点 Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上,所以坐标满足方程. 于是建立 xn 与 xn+1?的递推关系.对于第(1)问,设 P0(x0,y0)即为 P0(0,0)?. 因为原点也在曲线上,于是应该满足递推关系,求出 x1.利用递推数列的知识求解 xn 的通项公式,最后 运用分类思想给予证明. 【解】(1)原点(0,0), kn=f′(xn), ∵f(x)=x -3ax +bx,∴f′(x)=3x -6ax+b,
3 2 2 2

f′(xn)=3xn2-6axn+b.
∴k1=f′(x1)=3x1 -6ax1+b. ∴过 P1 的切线 l1 的方程为 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1). ∵l1 过点 O(0,0), ∴-f(x1)=f′(x1)(0-x1). ∴x1 -3ax1 +bx1=(3x1 -6ax1+b)x1.
3 2 2 2

又∵x1≠0, ∴x1 -3ax1+b=3x1 -6ax1+b. ∴2x1 -3ax1=0.又 x1≠0,∴ x1 ?
2 2 2

3a . 2

(2)过 Pn 的切线 ln 的方程为

y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),
又∵ln 过点 Pn-1(xn-1,yn-1), ∴f(xn-1)-f(xn)=f′(xn)(xn-1-xn). ∴xn-1 -3axn-1 +bxn-1-xn +3axn -bxn=(3xn -6axn+b)(xn-1-xn). ∴(xn-1 -xn )-3a(xn-1 -xn )+b(xn-1-xn)=(3xn -6axn+b)(xn-1-xn). 又∵xn-1≠xn, ∴xn-1 +xnxn-1+xn -3a(xn+xn-1)+b=3xn -6axn+b, ∴xn-1? +xnxn-1-2xn +3a(xn-xn-1)=0. ∴(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0. ∴xn-1+2xn-3a=0,
2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2

1 3 xn ?1 ? a . 2 2 1 3 同理 x n ?1 ? ? x n ? a . 2 2 1 3 (3) x n ?1 ? ? x n ? a , 2 2 1 ∴xn+1-a=- (xn-a). 2
即 xn ? ? ∴数列{xn-a}是等比数列,且公比为-

1 1 ,首项为 a. 2 2

1 1 a·(- )n-1. 2 2 1 n ∴xn=a-a·(- ) . 2
∴xn-a=

1 n ) <a; 2 1 n 当 n 为正奇数时,xn=a+a·( ) >a. 2
当 n 为正偶数时,xn=a-a·( 【点拨】本题考查的知识点较多,需要在以前学习的知识的基础上解决.


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