nbhkdz.com冰点文库

2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的几何意义素材 北师大版选修1-1


3.2
3

导数的几何意义

【例 1】曲线 f(x)=x +2x+1 在点 M 处的切线的斜率为 2,求 M 的坐标

【例 2】由原点 O 向三次曲线 y=x -3ax +bx(a≠0)引切线,切于不同于 O 的点 P1(x1,y1).再由 P1 引曲线 的切线,切于不同于 P1 的点 P2(x2,y2)

,…,如此继续地作下去,得到点列{Pn(xn,yn)},试回答下列问题: (1)求 x1; (2)求 xn 与 xn+1 的关系; (3)当 a>0 时,求证:当 n 为正偶数时有 xn<a,当 n 为正奇数时有 xn>a.

3

2

参考答案 例 1: 【分析】求 f(x)的导数 f′(x),根据斜率为 2,先求出 M 的横坐标,再代入到 f(x)中得到纵坐标. 【解】∵f(x)=x +2x+1, ∴ f ?( x) ? lim
?x ?0
3

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

( x ? ?x) 3 ? 2( x ? ?x) ? 1 ? ( x 3 ? 2 x ? 1) ?x ?0 ?x 2 (3 x ? 2)?x ? 3 x(?x) 2 ? (?x) 3 ? lim ?x ?0 ?x 2 ? lim [3 x ? 2 ? 3 x?x ? (?x) 2 ] ? lim
?x ?0
2

=3x +2. ∴f′(x)=3x +2=2,x=0. 又 f(0)=1, ∴M 的坐标为(0,1) 【点拨】先根据导数公式求出点的横坐标,再将横坐标代入函数式子求出纵坐标. 例 2: 【分析】过 Pn(xn,yn)的切线的斜率 kn=f′(xn),利用点斜式写出直线方程. 又由于点 Pn+1(xn+1,yn+1)也在直线上,所以坐标满足方程. 于是建立 xn 与 xn+1?的递推关系.对于第(1)问,设 P0(x0,y0)即为 P0(0,0)?. 因为原点也在曲线上,于是应该满足递推关系,求出 x1.利用递推数列的知识求解 xn 的通项公式,最后 运用分类思想给予证明. 【解】(1)原点(0,0), kn=f′(xn), ∵f(x)=x -3ax +bx,∴f′(x)=3x -6ax+b,
3 2 2 2

f′(xn)=3xn2-6axn+b.
∴k1=f′(x1)=3x1 -6ax1+b. ∴过 P1 的切线 l1 的方程为 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1). ∵l1 过点 O(0,0), ∴-f(x1)=f′(x1)(0-x1). ∴x1 -3ax1 +bx1=(3x1 -6ax1+b)x1.
3 2 2 2

又∵x1≠0, ∴x1 -3ax1+b=3x1 -6ax1+b. ∴2x1 -3ax1=0.又 x1≠0,∴ x1 ?
2 2 2

3a . 2

(2)过 Pn 的切线 ln 的方程为

y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),
又∵ln 过点 Pn-1(xn-1,yn-1), ∴f(xn-1)-f(xn)=f′(xn)(xn-1-xn). ∴xn-1 -3axn-1 +bxn-1-xn +3axn -bxn=(3xn -6axn+b)(xn-1-xn). ∴(xn-1 -xn )-3a(xn-1 -xn )+b(xn-1-xn)=(3xn -6axn+b)(xn-1-xn). 又∵xn-1≠xn, ∴xn-1 +xnxn-1+xn -3a(xn+xn-1)+b=3xn -6axn+b, ∴xn-1? +xnxn-1-2xn +3a(xn-xn-1)=0. ∴(xn-1-xn)(xn-1+2xn)-3a(xn-1-xn)=0. ∴xn-1+2xn-3a=0,
2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2

1 3 xn ?1 ? a . 2 2 1 3 同理 x n ?1 ? ? x n ? a . 2 2 1 3 (3) x n ?1 ? ? x n ? a , 2 2 1 ∴xn+1-a=- (xn-a). 2
即 xn ? ? ∴数列{xn-a}是等比数列,且公比为-

1 1 ,首项为 a. 2 2

1 1 a·(- )n-1. 2 2 1 n ∴xn=a-a·(- ) . 2
∴xn-a=

1 n ) <a; 2 1 n 当 n 为正奇数时,xn=a+a·( ) >a. 2
当 n 为正偶数时,xn=a-a·( 【点拨】本题考查的知识点较多,需要在以前学习的知识的基础上解决.


第二章_变化率与导数_本章综合测试(北师大版选修2-2)

第二章_变化率与导数_本章综合测试(北师大版选修2-2)_高三数学_数学_高中...( A.1 C.e [答案] A [解析] 根据导数的几何意义可得,k=y′|x=0=e0=...

...第三篇 第1讲 变化率与导数、导数的运算

2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第三篇 第1讲 变化率与导数导数的运算_高中教育_教育专区。2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训...

...备选作业第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算...

《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第二章 第十一节 变化率与导数导数的计算_数学_高中教育_教育专区。第二章 第十一节一、选择题 变化率与...

导数的几何意义教学设计

导数的几何意义教学设计_高三数学_数学_高中教育_教育...重点与难点 重点:导数的几何意义,导数的实际应用, ...章第一节变化率与导数的第三课 时:导数的几何意义...

导数的几何意义教案及说明

数学知识线索】 知识线索】数:平均变化率数形结合 瞬时变化率 导数应用 割线...学生探索获得导数的几何意义 通过例题和练习,巩固知识,加深对导数的认识 【教学...

变化率与导数、导数的计算

变化率与导数导数的计算_数学_高中教育_教育专区...考点二 导数的几何意义 1.导数的几何意义是每年高考...(2014·抚州模拟)已知 f′(x)是函数 f(x)的导...

导数的几何意义说课稿

师大版高中数学选修 2-2 中第二章第二节第二课时...导数的几何意义,体会几何意义在研究函数性质应用中的...理解了瞬时变化率就是导数,体会了导数的思想实际...

导数的几何意义

导数的几何意义_数学_高中教育_教育专区。导数的几何...高中数学选修 1-1 第三章第二第二课时, 导数...平均变化率和导数定义的学习,学生对有关导数的问题...

...变化率与导数、导数的计算 理 北师大版

变化率与导数导数的计算 理 北师大版_数学_高中...高频考点 考点二 导数的几何意义 -6- 1.导数的...4 (4)(2014·南京模拟)已知点 P 在曲线 y= x...

...专题11 变化率与导数、导数的计算、导数的应用

专题11 变化率与导数、导数的计算、导数的应用_高三数学_数学_高中教育_教育...【高频考点解读】 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 3....

相关文档