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高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.1 函数

一、学习任务 1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念;了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法 则),会求一些简单函数的定义域和值域;初步掌握换元法的简单应用. 2. 了解映射的概念,能判断一些简单的对应是不是映射. 3. 理解函数的三种表示方法(图象法、列表

法、解析法),会选择恰当的方法表示简单情境中 的函数.了解简单的分段函数,能写出简单情境中的分段函数,并能求出给定自变量所对应 的函数值,会画函数的图象. 4. 理解函数的单调性及其几何意义,会判断一些简单函数的单调性;理解函数最大(小)值的 概念及其几何意义;了解函数奇偶性的含义. 二、知识清单
函数的相关概念 函数的定义域的概念与求法 分段函数 函数的最大(小)值 函数的表示方法 函数的值域的概念与求法 复合函数 函数的奇偶性 映射 函数的解析式的概念与求法 函数的单调性

三、知识讲解
1.函数的相关概念 描述: 函数的概念 设 A ,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应,那么就称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function).记作:

y = f (x), x ∈ A.
其中, x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A )叫做这个函数的定义域. y 量,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数在 x 处的函数值,所有函数值构成的集合 叫做因变

{y | y = f (x), x ∈ A}
叫做这个函数的值域. 相同函数的概念

如果两个函数的自变量取值集合相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数为相同函 数.相同函数的图象是一致的,图象一致的函数必然是相同函数. 连续数集的区间表示 研究函数时常用到区间的概念.设 a ,b 是两个实数,而且 a < b ,我们规定: ① 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a, b] ; ② 满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a, b) ;

③ 满足不等式 a ? x < b 的实数 x 的集合以及满足不等式 a < x ? b 的实数 x 的集合都叫 做半开半闭区间,分别表示为 [a, b) 和 (a, b] . 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点. 实数集的区间表示 实数集 R 可以用区间表示为 (?∞, +∞) ,“ ∞ ”读作“无穷大”.我们可以把满足 x ? a , x > a , x ? b , x < b 的实数 x 的集合分别表示为 [a, +∞) , (a, +∞) , (?∞, b] , (?∞, b) . 例题: 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数? (1)A = {(x, y) | x, y ∈ R},B = R,对任意的 (x, y) ∈ A,(x, y) → x + y; (2)A = N ,B = R,对应法则 f : y = ±√x; (3)A = R,B = R,对应法则 f : y = 解:(1)因为 A 不是数集,所以不是函数. (2)对于 A 中的元素 x = 4,y = ±√4 = ±2,即在对应法则 f 下,在 B 中有两个元素与 之对应,因而不能构成函数. (3)A = R,B = R,对于 A 中的元素 x = 0 在对应法则 f 下,在 B 中没有元素与之对 应,因而不能构成函数. 设 M = {x | 0 ? x ? 2},N = {y | 0 ? y ? 2},给出下面四个图形,其中能表示从集合 M 到 集合 N 的函数关系的有( )

1 . x2

A.0 个 B. 1 个 C.2 个 D.3 个 解:B 由函数的定义知,M 中任一元素在 N 中都有唯一的元素与之对应,① 不是,因为集合 M 中 1 < x ? 2 时,在 N 中无元素与之对应;③ 中的 x = 2 对应 y = 3 ? N ,所以 ③不是;④ 中当 x = 1 时,在 N 中有两个元素与之对应,所以 ④ 不是.由排除法,只有 ② 是. 已知 f (x) = 3x 2 ? 5x + 2 ,求 f (3) ,f (?√2 ) ,f (a),f (a + 1)的值. 解:f (3) = 3 × 3 2 ? 5 × 3 + 2 = 14. f (?√2 ) = 3 × (?√2 )2 ? 5 × (?√2 ) + 2 = 8 + 5√2. f (a) = 3 ? a2 ? 5 ? a + 2 = 3a2 ? 5a + 2. f (a + 1) = 3 ? (a + 1)2 ? 5 ? (a + 1) + 2 = 3a2 + a. 下列各组函数表示相同函数的是( )

{

A.f (x) = { x,

x > 0 与 g(x) = |x| ?x, x < 0 2x2 + x B.f (x) = 2x + 1 与 g(x) = x ? ?? ? ? ? ? 2 C.f (x) = |x ? 1| 与 g(t) = √(t 2 ? 1)2 ? ? D.f (x) = √x 2 与 g(x) = x
解:C A.f (x) 的定义域是 (?∞, 0) ∪ (0, +∞),g(x) 的定义域是 R,定义域不同. B.f (x) 的定义域是 R,g(x) 的定义域 {x|x ≠ 0},定义域不同. C. f (x) = |x 2 ? 1|,g(t) = |t 2 ? 1|,虽然表示自变量的字母不同,但定义域与对应关系相同. D.f (x) = |x|,g(x) = x ,对应关系不相同. 将下列集合用区间表示出来,并在数轴上表示. (1){x | x ? 3} ;(2){x | 2 ? x ? 8 且 x ≠ 5}. 解:(1){x | x ? 3} 用区间表示为 [3, +∞).数轴表示为 (2){x | 2 ? x ? 8 且 x ≠ 5} 用区间表示为 [2, 5) ∪ (5, 8].数轴表示为

2.函数的表示方法 描述: 函数的表示方法有三种: 解析法 图象法 列表法 例题: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 用图象表示两个变量之间的对应关系. 列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t = ax +

x = 2 时,t = 100 ;当 x = 14 时,t = 28 ,且参加此项任务的人数不能超过 20 人. (1)写出函数 t 的解析式;
(2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图象. 解:(1)由题设条件知:当 x = 2 时,t = 100 ,当 x = 14 时,t = 28 ,得方程组

b ,当 x

? ? 2a + b = 100, 196 2 解此方程组得 { a = 1, 所以用解析法将函数 t 表示为 t = x + ,又 ? b x b = 196. ? ? 14a + = 28, 14 因为 x ? 20,x 为正整数,所以函数的定义域是 {x | 0 < x ? 20, x ∈ N ? }. (2)x = 1,2 ,3 ,?,20,共取 20 个值,用列表法将函数 t 表示为: x t x t 1 197 11 28.8 2 3 100 68.3 12 13 28.3 28.1 4 53 14 28 5 6 44.2 38.7 15 16 28.1 28.25 7 35 17 28.5 8 9 32.5 30.8 18 19 28.9 29.3 10 29.6 20 29.8

注:表中的部分数据是近似值.

(3)函数 t 的图象是由 20 个点组成的一个点列.用图象法将函数 t 表示为:

3.映射 描述: 设 A 、 B 是两个非空集合,如果存在一个对应法则 f ,使得对 A 中的每个元素 a ,按对 应法则 f ,在 B 中有唯一确定的元素 b 与之对应,则称 f 为从 A 到 B 的映 射(mapping),记作 f : A → B .其中, b 称为元素 a 在映射 f 下的象,记作 b = f (a) ; a 称为 b 关于映射 f 的原象.集合 B 中所有元素的象的集合称为映射 f 的值域,记作 f (A ) . 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都有 且只有一个原象,那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并称这个映射叫 做从集合 A 到集合 B 的一一映射. 例题: 设 M = {1, 2, 3},N = {e, h, g} ,如下选项是从 M 到 N 的四种对应方式,其中是从 M 到 ) N 的映射的是(

解:C 紧扣映射定义,M 中每一个元素在 N 中都有唯一的元素与之对应,所以 M 中元素无剩余, N 中元素可以有剩余. 已知集合 A = B = R, x ∈ A, y ∈ B ,f : x → y = ax + b,若 8 和 14 的原象分别是 1 和 ) 3 ,则 5 在 f 作用下的象为( A.20 解:A 由题可得 { a + b = 8, B.30 C.

27 2

D.28

3a + b = 14.

,解得 a = 3 ,b = 5 ,故 y = 3x + 5 ,当 x = 5 时,y = 20 .

给出下列四个对应关系,回答问题. ① A = N ? ,B = Z ,f : x → y = 2x ? 3; ② A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,B = {y | y ∈ N ? , y ? 5},f : x → y = |x ? 1| ; ③ A = {x | x ? 2},B = {y | y = x2 ? 4x + 3},f : x → y = x ? 3 ; ④ A = N ? ,B = {y ∈ N ? | y = 2x, x ∈ N ? },f : x → y = 2x ? 1. (i)上述四个对应关系:其中是一一映射的是( ) A.① B.② C.③ D.④

(ii)其中是函数的有______个 解:(i)C (ii)2 (i)在 ① 中,对 x ∈ A ,在 f 作用下 B 中都有唯一的象,但 B 中元素只有一部分在 A 中有原象,从而不是一一映射;在 ② 中,当 x = 1 时,y = 0 ? B,所以不是映射;在 ③ 中,A = {x | x ≥ 2},B = {y | y = x2 ? 4x + 3} = {y | y = (x ? 2)2 ? 1} = {y | y ? ?1} ,对 于 A 中任一元素在 B 中有唯一的象与之对应,反之对于 B 中任一元素,在 A 中也有唯一元 素与之对应,所以是一一映射;④ 显然不是一一映射,(ii)①③ 是函数.

4.函数的定义域的概念与求法 描述: 函数 y = f (x) ,x ∈ A 中自变量 x 的取值范围 A 称为函数的定义域(domain).在不加说明 时函数的定义域是使解析式或实际模型有意义的自变量的取值范围. 例题: 求下列函数的定义域. ? ? ? + x; (1)f (x) = √? x? (? x? ? 1) √ (2)f (x) =

3 (3)f (x) = √ x.

(x + 1)0 ; ? ? ? ? √? |x |? ? x

解:(1)由题意得,{

{x | x ? 1} ∪ {0}.

x(x ? 1) ? 0, 即 x ? 0 或 x ? 1, 所以函数的定义域为 { x ? 0, x ? 0, x + 1 ≠ 0, 即 x ≠ ?1 且 x < 0.所以函数的定义 |x| ? x > 0,

(2)由题意得,因为 0 0 无意义,所以 { 域为 {x | x < 0且x ≠ ?1}. (3)定义域是 {x | x ∈ R} .

(1)已知 f (x) 的定义域是 (1, 2),求 f (2x + 1) 的定义域; (2)已知 f (2x + 1) 的定义域是 (1, 2),求 f (x) 的定义域. 解:(1)因为 f (x) 的定义域是 (1, 2),所以在 f 作用下的自变量都必须在 (1, 2) 内才能使解

1 1 ,所以 f (x) 的定义域是 (0, ) ; 2 2 (2)因为 f (2x + 1) 的定义域是 (1, 2),即 1 < x < 2 ,所以 3 < 2x + 1 < 5,所以 f (x) 的 定义域是 (3, 5).
析式有意义,所以 1 < 2x + 1 < 2,解得 0 < x <

已知函数 y = √mx 2 ? 6mx + m + 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 解:当 m = 0 时, y = √8 ,其定义域为 R . ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 当 m ≠ 0 时,由定义域为 R 可知,√mx2 ? 6mx + m + 8 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则有

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

{

m > 0, Δ = (?6m)2 ? 4m(m + 8) ? 0,

解得0 < m ? 1. 综上所述,m 的取值范围是 m ∈ [0, 1] .

5.函数的值域的概念与求法

描述: 函数 y = f (x) ,x ∈ A 中函数值的集合 {f (x) | x ∈ A} 称为函数的值域(range). 例题: 求下列函数的值域.

1 ,x ? 2. x 解:(1)因为 √x ≥ 0,所以 √x ? 1 ≥ ?1,所以函数的值域是 [?1, +∞) . (2)因为 x ≥ 1,所以 2x + 1 ≥ 3,所以函数的值域是 [3, +∞). 1 1 1 (3)因为 x ≥ 2,所以 0 < ≤ ,所以函数的值域是 (0, ] . x 2 2
(1)y = √x ? 1 ;(2)y = 2x + 1,x ? 1;(3)y = 求下列函数的值域.

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;(3)y = √?x2 + 4x + 5. + 4x + 5 解:(1)因为 y = ?x 2 + 4x + 5 = ?(x ? 2)2 + 9 ,所以 y ≤ 9,所以函数的值域是 (?∞, 9]. 1 1 1 (2)由(1)得 t = ?x 2 + 4x + 5 ≤ 9 ,所以 <0 或 ≥ ,所以函数的值域是 t t 9 1 . (?∞, 0) ∪ [ , +∞) 9 (3)由(1)得 t = ?x 2 + 4x + 5 ≤ 9 ,所以 0 ≤ √t ≤ 3 ,所以函数的值域是 [0, 3] .
(1)y = ?x 2 + 4x + 5;(2)y =

?x2

求下列函数的值域 .

2x + 3 1 ? x2 ;(2)y = . x+1 1 + x2 2x + 3 1 1 解:(1)(分离常数)y = ,因为 =2+ ≠ 0 ,所以 y ≠ 2,即值域是 x+1 x+1 x+1 (?∞, 2) ∪ (2, +∞). 1 ? x2 2 (2)(分离常数)y = ,又函数的定义域是 R,所以 1 + x 2 ≥ 1,所 = ?1 + 1 + x2 1 + x2 2 以 0< ≤ 2 ,所以函数的值域是 y ∈ (?1, 1]. 2 x +1
(1)y =

? ? 求函数 y = x ? √? 2? x? ? 1 的值域.

? ? 解:(换元法)设 t = √? 2? x? ? 1(x ≥

1 ),则 2 x= 1 + t2 (t ≥ 0), 2

所以

y=
因为 y =

1 1 t2 + 1 ? t = t2 ? t + (t ≥ 0), 2 2 2

y min

1 2 1 的图象是抛物线,且对称轴是 t = 1 ,且开口向上,当 t = 1 时, t ?t+ 2 2 = 0 ,所以函数的值域是 [0, +∞).

6.函数的解析式的概念与求法 描述: 函数 y = f (x) 中表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应关系的数学表达式称为函数的解析式.

f (x) =

2

?1

例题: 已知函数 f (x) = x 2 ? 1,求 f (2x + 1) 的解析式. 解:(代入法)f (2x + 1) = (2x + 1)2 ? 1 = 4x2 + 4x. 已知 f (√x ? 1) = x + 2√x ,求 f (x) 的解析式. 解:(配凑法)因为 f (√x ? 1) = (√x ? 1)2 + 4(√x ? 1) + 3,又 √x ? 1 ≥ ?1,所以 f (x) = x2 + 4x + 3 ,所以 f (x) 的解析式是 f (x) = x2 + 4x + 3(x ≥ ?1). (换元法)令 t = √x ? 1 ,则 t ? ?1,且 √x = t + 1 ,所以 f (t) = (t + 1)2 + 2(t + 1) = t 2 + 4t + 3,故所求的函数为 f (x) = x2 + 4x + 3(x ≥ ?1). 已知 f (x) 是一次函数,且 f [f (x)] = 4x + 3 ,求 f (x) 的解析式. 解:(待定系数法)设 f (x) = ax + b ,则f [f (x)] = a(ax + b) + b = a2 x + ab + b = 4x + 3,
2 所以 { a = 4,

ab + b = 3, f (x) = ?2x ? 3.
已知 f (x) + 2f (

解得 { a = 2, 或 { a = ?2, 故所求的函数为 f (x) = 2x + 1 或

b = 1,

b = ?3,

1 ) = x(x ≠ 0),求 f (x) 的解析式. x 1 1 1 解:(解方程(组)法)令 t = ,则 f ( ) + 2f (t) = ,令 t = x,则 x t t ? 1 ? ? f (t) + 2f ( ) = t, 1 1 2 t t 消去 f ( ) 得 f (t) = f (t) + 2f ( ) = t.由 ? ? (t ≠ 0). t 1 1 t 3t 3 ? ? ? f ( ) + 2f (t) = . ? t t 2 x 因此,函数的解析式为 f (x) = ? (x ≠ 0). 3x 3

7.分段函数 描述: 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数称为分段函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域
是各段值域的并集.

例题:

x ≤ ?2, ?2 < x < 2, ? 2x ? 1, x ≥ 2. 5 (1)求 f (?5),f (?√3 ),f (f (? )) 的值; 2 (2)若 f (a) = 3,求实数 a 的值; (3)若 f (m) > m,求实数 m 的取值范围.
已知函数 f (x) = ? x 2 + 2x, 解:(1)由 ?5 ∈ (?∞, ?2],?√3 ∈ (?2, 2),?

? x + 1,

5 ∈ (?∞, ?2],知 2

f (?5) = ?5 + 1 = ?4, f (?√3 ) = (?√3 )2 + 2 × (?√3 ) = 3 ? 2√3 , f (f (?

2 5 3 3 9 3 3 )) = f (? ) = (? ) + 2 × (? ) = ? 3 = ? . 2 2 2 4 4 2

(2)①当 a ? ?2 时,f (a) = a + 1,所以 a + 1 = 3,所以 a = 2 > ?2 不合题意,舍去. ②当 ?2 < a < 2 时,a2 + 2a = 3 ,即 a2 + 2a ? 3 = 0,所以 a = 1 或 a = 3.因为

1 ∈ (?2, 2) ?3 ? (?2, 2)

1 ∈ (?2, 2),?3 ? (?2, 2),所以 a = 1 符合题意. ③当 a ? 2 时,2a ? 1 = 3,所以 a = 2 符合题意.综合 ①②③ 知,当 f (a) = 3 时,a = 1 或 a = 2. (3)分三种情况:{ m ≤ ?2, 或 { ?2 < m < 2, 或 { m ≥ 2, m + 1 > m, 2m ? 1 > m. m 2 + 2m > m, 解得 m ? 2 或 { ?2 < m < 2, 或{ m ≥ 2, m < ?1或m > 0, m > 1. 即 m ≤ ?2 或 ?2 < m < ?1 或 0 < m < 2 或 m ≥ 2 ,所以 m < ?1 或 m > 0 . 综上所述,m 的取值范围是 (?∞, ?1) ∪ (0, +∞).
已知函数 f (x) = 1 +

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

|x| ? x (?2 < x ? 2) . 2

x?x =1 ; 2 ?x ? x 当 ?2 < x < 0 时,f (x) = 1 + = 1 ? x.所以 2
解:(1)当 0 ? x ? 2 时,f (x) = 1 +

f (x) = { 1, 1 ? x,
(2)函数图象如图所示:

0 ? x ? 2, ?2 < x < 0.

(3)由(2)知,f (x) 在 (?2, 2] 上的值域为 [1, 3). 如图所示,一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,沿正方形边界运动一 周,再回到 A 点,若点 P 运动的路程为 x,点 P 到顶点 A 的距离为 y ,求 A 、P 两点间 的距离 y 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系式.

解:①当点 P 在 AB 上,即 0 ≤ x ≤ 1 时,AP = x,即 y = x; ②当点 P 在 BC 上,即 1 < x ≤ 2 时,AB = 1,AB + BP = x,BP = x ? 1. 根据勾股定理 AP 2 = AB2 + BP 2 ,所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? y = AP = √1 + (x ? 1)2 = √x2 ? 2x + 2 ; AD = 1

③当点 P 在 CD 上,即 2 < x ≤ 3 时,AD = 1,DP = 3 ? x,根据勾股定理 AP 2 = AD2 + DP 2 ,所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? y = AP = √1 + (3 ? x)2 = √x2 ? 6x + 10;
④当点 P 在 AD 上,即 3 < x ≤ 4 时,有

y = AP = 4 ? x .
综上所求函数关系式为

x, ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? √ 2 ? 2x + 2 , y= ? x ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ? √x ? 6x + 10, ? 4 ? x,

0 ≤ x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x ≤ 3, 3 < x ≤ 4.

8.复合函数 描述: 设 y = f (u) 的定义域为 D u ,函数 u = g(x) 的定义域为 D x ,值域为 M x ,且 Mx ? D u .那么对于 D x 内的任意一个 x 经过 u = g(x) 和 y = f (u) 有唯一确定的 y 值与 之对应,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成函数关系,记为 y = f (g(x)) ,这种函数称 为复合函数,其中 x 称为自变量,u 称为中间变量,y 称为因变量. 例题: 已知 f (x) = x 2 ,g(x) = x + 1 ,求:① f (g(x));② g(f (x)). 解: ① f (g(x)) = (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1; ② g(f (x)) = x 2 + 1.
3 若函数 f (x) = { x ,

A.14 解:B

B.16

2x,

x < 6 ,则 f (f (2)) 等于( x?6 C.12 D.10



f (2) = 2 3 = 8,f (8) = 2 × 8 = 16,所以 f (f (2)) = 16.
设 f , g 都是由 A 到 表1 映射 f 的对应法则

A 的映射,其对应法则如下表(从上到下):
原象 象

1 3

2 3 4 2

4 1

表2 映射

g

的对应法则 原象 象

1 4

2 3 3 1

4 2

则与 f [g (1)] 相同的是 A. g [f (1)] B. g [f (2)] 解:A

C. g [f (3)]

D. g [f (4)]

9.函数的单调性 描述: 增函数 一般地,设函数 y = f (x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x 1 , x 2 ,当 x 1 < x 2 时,都有 f (x1 ) < f (x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区间 D 上 是增函数(increasing function). 减函数 一般地,设函数 y = f (x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x 1 , x 2 ,当 x 1 < x 2 时,都有 f (x1 ) > f (x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区间 D 上 是减函数(decreasing function). 单调性与单调区间 如果函数 y = f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y = f (x) 在这一区间上具 有(严格的)单调性,区间 D 称为 y = f (x) 的单调区间. 函数单调性的证明 函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率 (

Δy f (x 1 ) ? f (x 2 ) = ) 进行. x1 ? x2 Δx

复合函数的单调性判断 若函数 u = g(x) 在区间 (a, b) 上是单调函数,函数 y = f (u) 在区间 (g(a), g(b)) 或 (g(b), g(a)) 上也是单调函数,那么复合函数 y = f (g(x)) 在区间 (a, b) 上是单调 函数.当函数 u = g(x) 与函数 y = f (u) 的单调性一致时,函数 y = f (g(x)) 是单调递增函 数;函数 u = g(x) 与函数 y = f (u) 的单调性不一致时,函数 y = f (g(x)) 是单调递减函数. 复合函数的单调性判断法则可以简记为:“同增异减”. 例题: 下列函数中,在区间 (0, 2) 上为增函数的是( A.y = 3 ? x B.y = x 2 + 1 C.y = 解:B 根据函数的图象判断即可. )

1 x

D.y = ?|x|

1 在 (0, 1) 上是减函数. x 证明:在 (0, 1) 上任取 x 1 ,x 2 ,且 x1 < x2 .
用定义法证明 f (x) = x +

f (x2 ) ? f (x1 ) =(x2 + = = = =

1 1 ) ? (x1 + ) x2 x1 1 1 (x 2 ? x 1 ) + ( ? ) x2 x1 x ? x2 x2 ? x1 + 1 x1 x2 1 (x2 ? x1 ) (1 ? ) x1 x2 (x2 ? x1 )(x1 x2 ? 1) x1 x2

因为 0 < x 1 < x 2 < 1 ,所以 x 2 ? x1 > 0 ,0 < x1 x2 < 1,则 x1 x2 ? 1 < 0. 所以 f (x 2 ) ? f (x 1 ) < 0,即 f (x2 ) < f (x1 ). 故f (x) = x +

1 在 (0, 1) 上是减函数. x

已知 f (x) = x 2 ? 2(1 ? a)x + 2 在 (?∞, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解:要使 f (x) 在 (?∞, 4] 上是减函数,由二次函数图像可知,只要对称轴 x = 1 ? a ≥ 4 即 可,解得 a ≤ ?3 . 已知函数 y = f (x) 是 (?∞, +∞) 上的增函数,且 f (2x ? 3) > f (5x + 6),求实数 x 的取值 范围. 解:函数 y = f (x) 是 (?∞, +∞) 上的增函数,且 f (2x ? 3) > f (5x + 6),所以

2x ? 3 > 5x + 6,
解得 x < ?3.所以 x 的取值范围 {x | x < ?3}. 如图为函数 y = f (x) 的图象,试写出函数 y = f (x) 的单调区间.

解:由图可知,函数的单调递增区间为 [1, 4) 和 (4, 6],单调递减区间为 [?4, ?2) 和 (?2, 1]. 对于任意的 x 1 , x 2 ∈ [a, b](x 1 ≠ x2 ) ,能判断 f (x)在 [a, b] 上为增函数的有 ______,为减函数的有______.

f (x 1 ) ? f (x 2 ) > 0; x1 ? x2 f (x 1 ) ? f (x 2 ) (2) < 0; x1 ? x2 (3)(x 1 ? x 2 )[f (x 1 ) ? f (x 2 )] > 0; (4)(x 1 ? x 2 )[f (x 1 ) ? f (x 2 )] < 0.
(1) 解:(1)(3);(2)(4) 求函数 y = √3 ? 2x ? x 2 的单调区间. ? ? ? ?? ? ?? ? 解:由 3 ? 2x ? x 2 ≥ 0,得到函数的定义域为 {x | ? 3 ≤ x ≤ 1}.而函数 y = √3 ? 2x ? x 2 是由函数 t = u(x) = 3 ? 2x ? x 2 及 y = √t 复合而成的函数. 因为 t = u(x) = ?(x + 1)2 + 4 在 [?1, 1] 上是减函数,且 t ≥ 0 ,而 y = √t 在 t ≥ 0 上是 增函数,所以 f (x) 在[?1, 1] 是减函数,同理,f (x) 在 [?3, ?1] 上是增函数. 所以,f (x) 单调增区间是 [?3, ?1],单调减区间是 [?1, 1] .

? ? ? ?? ? ?? ?

10.函数的最大(小)值 描述: 函数的最大值 一般地,设函数 y = f (x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: ① 对于任意的 x ∈ I ,都有 f (x) ? M ; ② 存在 x 0 ∈ I ,使得 f (x 0 ) = M . 那么,我们称 M 是函数 y = f (x) 的最大值(maximum value).

那么,我们称 M 是函数 y = f (x) 的最大值(maximum value). 函数的最小值 一般地,设函数 y = f (x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: ① 对于任意的 x ∈ I ,都有 f (x) ? M ; ② 存在 x 0 ∈ I ,使得 f (x 0 ) = M . 那么,我们称 M 是函数 y = f (x) 的最小值(minimum value).

1 例题: 求函数 y = ? ? ? ? ? 的最小值. √x ? 1? x

解:因为 x ? 1 ? 0 且 x ≠ 0,所以 x ? 1 ,则函数 f (x) 的定义域为 [1, +∞).

1 1 在 [1, +∞) 上单调递减,所以 y = ? x x 1 ? ? ? ? ? 在 [1, +∞) 上单调递增.所以 y = √x ? 1 ? 在 [1, +∞) 上单调递增. x 所以,当 x = 1 时,y min = ?1 ,故所求的最小值为 ?1. ? ? ? ? 又 y = √? x ? 1 在 [1, +∞) 上单调递增,而 y =
已知函数 f (x) = x 2 ? 2x + 3 在区间 那么实数 a 的取值范围是______. 解: [1, 2]

[0, a] (a > 0) 上的最大值为 3 ,最小值为 2 ,

因为 f (x) = x 2 ? 2x + 3 = (x ? 1)2 + 2,又因为 f (1) = 2 ,f (0) = f (2) = 3,则 a ∈ [1, 2].

11.函数的奇偶性 描述: 奇函数 一般地,若函数 y = f (x) 的定义域 I 关于原点对称,且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (?x) = ?f (x) ,那么函数 y = f (x) 称为奇函数(even function). 偶函数 一般地,若函数 y = f (x) 的定义域 I 关于原点对称,且对定义域 I 内的任意一个自变量 x ,都有 f (?x) = f (x) ,那么函数 y = f (x) 称为偶函数(odd function). 奇函数和偶函数的图象性质 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反 之,如果一个函数的图象是以坐标原点为中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果 一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数. (3)由于奇函数 f (x) 的图象关于原点对称,当 f (x) 的定义域包含原点时,必有 f (0) = 0 . 函数的奇偶性与单调性间的关系 一般地,若 f (x) 为奇函数,则 f (x) 在 [a, b] 和 [?b, ?a] 上具有相同的单调性;若 f (x) 为 偶函数,则 f (x) 在 [a, b] 和 [?b, ?a] 上具有相反的单调性. 例题: 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x) = x ?

1 ; x3 (2)f (x) = x 2 ? 3|x| + 2; ? ? ? ? ? √

? 3|x| + 2 ? ? ? ? ? 1?x (3)f (x) = (1 + x)√ ; 1+x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)f (x) = √1 ? x 2 + √x 2 ? 1 ; x > 0, ? x2 ? 2x + 3, (5)f (x) = ? 0, x = 0, ? 2 ?x ? 2x ? 3, x < 0. 1 解:(1)f (x) = x ? 的定义域是 (?∞, 0) ∪ (0, +∞).因为 x3 1 1 1 1 是奇函数. f (?x) = ?x ? (? ) = ?x + = ?(x ? ) = ?f (x),所以 f (x) = x ? x x3 x3 x3 (2)函数的定义域是 R,且 f (?x) = f (x),所以 f (x) = x2 ? 3|x| + 2 是偶函数. 1+x (3)由 ≥ 0 ,得 ?1 ≤ x < 1 ,所以,函数的定义域是 [?1, 1) .显然,此定义域不关于 1?x ? ? ? ? ? 1?x 原点对称.所以,函数 f (x) = (1 + x)√ 是非奇非偶函数. 1+x 2 (4)由 { 1 ? x ≥ 0, 得 x = ±1,此时 f (x) = 0 ,x ∈ {?1, 1} .所以 2 x ? 1 ≥ 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (x) = √1 ? x2 + √x2 ? 1 既是奇函数,又是偶函数. (5)(图象法)画出f (x)的图象,观察图象可得函数 f (x) 是奇函数.

f (x) =

若函数 y = (x + 1)(x ? a) 为偶函数,则 a = ( ) A.?2 B.?1 C.1 D.2 解:C 因为 f (x) 为偶函数,定义域为 R,所以 f (1) = f (?1),即 (1 + 1)(1 ? a) = (?1 + 1)(?1 ? a),所以 a = 1. 已知 f (x) 是定义 R 在上的奇函数,且当 x > 0 时,f (x) = x3 + x + 1,求 f (x) 的解析 式. 解:设 x < 0,则 ?x > 0,用 ?x 替换 f (x) = x3 + x + 1 中的 x,得

f (?x) = (?x)3 + (?x) + 1 = ?x3 ? x + 1.
又因为 f (x) 是奇函数,所以

f (x) = ?f (?x) = ?(?x3 ? x + 1) = x3 + x ? 1.
又因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) = 0 .综上所述

? x3 + x + 1, f (x) = ? 0, ? 3 x + x ? 1,

x > 0, x = 0, x < 0.

如果奇函数 f (x) [?7, ?3] 上是

在区间

[3, 7] 上是增函数且最小值为 5 ,那么 f (x) 在区间

[?7, ?3]

A.增函数且最小值是 ?5     B.增函数且最大值是 ?5 C.减函数且最大值是 ?5     D.减函数且最小值是 ?5 解:B 因为奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上是增函数,所以 f (x) 在[?7, ?3] 上也是增函数,且奇函数 f (x) 在区间 [3, 7] 上 f (3)min = 5 ,则 f (x) 在区间 [?7, ?3] 上有 f (?3)max = ?f (3) = ?5,故选 B. 定义 [?2, 2] 在上的偶函数 g(x) ,当 x ? 0 时,g(x) 单调递减,若 g(1 ? m) < g(m) 成立, 求 m 的取值范围. 解:因为 g(x) 是偶函数,所以

g(x) = g(?x) = g(|x|).


g(1 ? m) = g(|1 ? m|), g(m) = g(|m|)
因为当 0 ? x ? 2 时,g(x) 单调递减,所以当 ?2 ? x < 0 时,g(x) 单调递增. 由于 g(1 ? m) < g(m),则

? |1 ? m| > |m|, ? |1 ? m| ? 2, ? |m| ? 2,



? (1 ? m)2 > m 2 , ? ?2 ? m ? 1 ? 2, ? ?2 ? m ? 2,
解得

即 ?1 ? m <

1 1 ,所以 m 的取值范围是 [?1, ) . 2 2

1 ? ? m< , 2 ? ?1 ≤ m ? 3, ? ? ? ?2 ? m ? 2,

四、课后作业

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1. 设 f (x) = { A.10
答案: B 解析:

x ? 2, (x ? 10) , 则 f (5) 的值为 ( f [f (x + 6)] , (x < 10) ,
B.11 C.12

)
D.13

. f (5) = f [f (11)] = f (9) = f [f (15)] = f (13) = 13 ? 2 = 11

2. 设函数 f (x) , g (x) 的定义域都为 R ,且 f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数,则下列结论中正确的是

(

)
B.|f (x) |g (x) 是奇函数 D.|f (x) g (x) | 是奇函数

A.f (x) |g (x) | 是奇函数 C.f (x) g (x) 是偶函数
答案: A

3. 已知函数 f (x) 是定义在 [?1, 1] 上的奇函数,且 f (x) + 1 的值域为 [a, b] , f (x) 的最大值为 3 , 则 a, b 的值分别为 ( A.?2 和 4
答案: A

)
B.?3 和 3 C.?4 和 4 D.?2 和 2

4. 如果 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0, +∞) 上是减函数,那么下述式子中正确的是 (

)

3 ) ? f (a2 ? a + 1) 4 3 C.f (? ) = f (a2 ? a + 1) 4
A.f (?
答案: A

B.f (?

3 ) ? f ( a 2 ? a + 1) 4

D.以上关系均不成立

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