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湖北省黄冈中学2015届高三6月适应性考试数学(理word解析版)试题


试卷类型 A

2015 年普通高等学校招生全国统一考试黄冈中学适应性考试



学(理工类)

本试卷共 6 页,22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准

考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置. 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后,请将试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? 1 ? , (其中 i 为虚数单位) ,则 | z |? (

1 i



A.1 B. 2 C.2 D. 0 2. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试, 其数学考试成绩近似服从正态分布, 即X

N (100, a2 )(a ? 0) ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90
1 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( 10
C.600 ) D.800 )

分)的人数占总人数的 A.400

B.500

3.下列判断中正确的是(

2 2 A.命题“若 a ? b ? 1 ,则 a ? b ?

1 ”是真命题 2

1 1 1 ”是“ ? ? 4 ”的必要不充分条件 2 a b C.若非空集合 A, B, C 满足 A B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则“ x ? C ”是“ x ? A ”
B. “a ? b ? 的充分不必要条件 D. 命题“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 2x0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 2 x ” 4. 已知数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 1 ,且满足对任意的 n ? N ,都有 an ?1 ? an ? 2 成立,则
*
n

a2015 ? (
A. 2
2014



?1

B. 2

2015

?1

C. 2 2015 ? 1

D. 2

2016

?1

5. 公元前 3 世纪, 古希腊欧几里得在 《几何原本》 里提出: “球的体积 (V ) 与它的直径 (D) 理科数学试卷 A 型 第 1 页 共 13 页

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的立方成正比” ,此即 V ? kD3 ,欧几里得未给出 k 的值. 17 世纪日本数学家们对求球的体 积的方法还不了解,他们将体积公式 V ? kD3 中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”.类 似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱) 、正方体也可利用公式 V ? kD3 求体积(在 等边圆柱中, D 表示底面圆的直径;在正方体中, D 表示棱长).假设运用此体积公式求得 球(直径为 a ) 、等边圆柱(底面圆的直径为 a ) 、正方体(棱长为 a )的“玉积率”分别为

k1 、 k2 、 k 3 ,那么 k1 : k2 : k3 ( ) 1 1 1 ? ? A. B. : : : :2 4 6 ? 6 4

: :1 6 4 a b c ? ? 6. 已知结论: “在 ABC 中,各边和它所对角的正弦比相等,即 ” , sin A sin B sin C 若把该结论推广到空间,则有结论: “在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD 、平面 BCD 所成的角为 ? 、 ? ,则有( ) ”
D. A.

C. 2 : 3 : 2?

? ?

BC AD ? sin ? sin ? S BCD S ACD ? sin ? sin ?

B.

AD BC ? sin ? sin ? S ACD S BCD ? sin ? sin ?
? 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,则 3
D.2

C.

D.

? ])的图像向右平移 7.把函数 f ( x) ? sin x (x ? [0, 2
f ( x) 与 g ( x) 的图像所围成的面积为(
A.1 8.设不等式组 ? B. 3 )

C. 2 3

?0 ? x ? t ? x2 ? y 2 ? 1 ? 表示的平面区域为 M ,不等式组 ? 表示的平面区 2 ? ?y ? 0 ?0 ? y ? 1 ? t


域为 N .在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率的最大值为( A.

2

?

B.

1

?

C.

? 4

D.

1 2?

9.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的 点P 1, P 2,

P ,10) ,则 m1 ? m2 ? 10 ,记 mi ? AB2 AP i (i ? 1,2,
B. 60 3 C. 45

? m10 的值为(
D. 15 3



A. 180

B1

B2

B3 P 10
P2 P1

A

C1

C2

C3

10.已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,过定点 (2,0) 作垂直于 x 轴的直线交抛物线于点 M 、 N ,若 理科数学试卷 A 型 第 2 页 共 13 页

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若直线 PM 、PN 的斜率都存在并记为 k1 、k2 , P 为抛物线 C 上不同于 M 、N 的任意一点, 则|

1 1 ? |? ( k1 k2



A. 2

B.1

C.

2

D. 2 2

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案 填在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一) 必考题(11—14 题)

1 ? ? 2 11.二项式 ? x ? ? 的展开式中的常数项为 5 x3 ? ?

5

. . .

12.如下图,如果执行程序框图,输入正整数 n ? 5, m ? 3 ,那么输出的 p 等于 13.棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 开始 输入 n, m

1 1 ? 的最小值为 x y

k ? 1, p ? 1

2 x

p ? p( n ? m ? k )
k ? m?
否 输出 p 结束 是

k ? k ?1
主视图 y 1 俯视图 左视图

第 12 题图 14 . 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ?

第 13 题图

g x? | , ?| l x ? ? x ? 2 x, x ? 0
2

0

, 若 关 于 x 的 函 数

y ? 2[ f ( x)]2 ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是



(二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4—1: 几何证明选讲) 如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD C E O

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A

B

D

F

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垂直,垂足为 E , EF ? DB ,垂足为 F ,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? ________. 16 . ( 选 修 4-4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 在 直 角 坐标 系 xoy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

? x ? 3 cos? , ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 ? ? y ? sin ?
C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ?
离的最小值为_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 小正周期为 T ? ? . (Ⅰ)求 f ?

?
4

) ? 4 2 .设 P 为曲线 C1 上的动点,则点 P 到 C 2 上点的距

? 3? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最 ? 2 ?

? 2? ? 3

? ? 的值; ?

( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 应 的 边 分 别 为 a、b、c , 若 有

? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,则求角 B 的大小以及 f ? A? 的取值范围.

18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 一 台 仪 器 每 启 动 一 次 都 随 机 地 出 现 一 个 5 位 的 二 进 制 数

A ? a1a2 a3a4 a5 , 其 中 A 的 各 位 数 字 中 a1 ? 1 , ak (k ? 2,3,4,5) 出 现 0 的 概 率 为
2 ak (k ? 2,3,4,5) 出现 1 的概率为 ,记 X ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .当启动仪器一次时, 3
(Ⅰ)求 X ? 3 的概率; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及 X 的数学期望,并指出当 X 为何值时,其概率最大.

1 , 3

19. (本题满分 12 分) 如图, 三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? BC ,

AF ? AC, AF // 2CE , G 是线段 BF 上一点, AB ? AF ? BC ? 2 .
(Ⅰ)当 GB ? GF 时,求证: EG / / 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BF ? A 的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG ?并说明理由.
B G

F

E A

C

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20. (本题满分 12 分)若数列 ? xn ? 满足:

1 1 ,则称 ? xn ? ? ? d ( d 为常数, n ? N * ) xn ?1 xn

为调和数列.已知数列 ?an ? 为调和数列,且 a1 ? 1 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 a n ; (Ⅱ)数列 ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 15 . a1 a2 a3 a4 a5

? 2n ? ? 的前 n 项和为 S n ,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 ?若存在,求出 ? an ?

n 的取值集合;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 a 2 b2

B(0, 3) 为短轴的一个端点, ?OF2 B ? 60? .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,过右焦点 F2 ,且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 D, E 两点, A 为椭 圆的右顶点,直线 AE , AD 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线

PF2 的斜率为 k ? .试问 k ? k ? 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明
理由.

y

l
D M

O F2

A P

x
N

E

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22. (本题满分 14 分) 定义: 若

f ( x) 在 [k , ??) 上为增函数, 则称 f ( x) 为 “ k 次比增函数” , xk


其中 k ? N ? ,已知 f ( x) ? eax .(其中 e ? 2.71238

(Ⅰ)若 f ( x) 是“1 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ?

1 f ( x) 时,求函数 g ( x ) ? 在 [m, m ? 1](m ? 0) 上的最小值; 2 x

(Ⅲ)求证:

1 1 1 ? ? ? 2 e 2( e ) 3( e )3

?

1 7 ? . n 2e n( e )

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2015 年黄冈中学适应性考试数学理科解析
1.B 解析: z ? 1 ? ? 1 ? i , z ? 1 ? i , | z |? 2 . 2.A 解析: P( X ? 90) ? P( X ? 110) ?

1 i

1 1 4 , P(90 ? X ? 110) ? 1 ? ? , 10 5 5

2 2 , 1000 ? ? 400 . 5 5 1 1 3.D 解析:对于 A 选项中,当 a ? , b ? ? 时,不正确; ,对于 B 选项,应为充分不必要 2 2 P (100 ? X ? 110) ?
条件,对于 C 选项,应为必要不充分条件. 4. B 解析: an?1 ? an ? 2n ? an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ?

? a2 ? a1 ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?3 ?
5.D 解析: V1 ?

? 2 ? 1 ? 2n ? 1 , a2015 ? 22015 ? 1.

4 4 a ? ? ? R 3 ? ? ( )3 ? a 3 ? k1 ? ; 3 3 2 6 6 a ? ? V2 ? ? R 2 a ? ? ( ) 2 a ? a 3 ? k2 ? ; V3 ? a3 ? k3 ? 1 ; 2 4 4
故 k1 : k2 : k3 ?

? ?

: :1 6 4

6.C 解析:分别过 B 、 A 作平面 ACD 、平面 BCD 的垂线,垂足分别为 E 、 F ,则

VA? BCD


1 1 ?BAE ? ? , ?ABF ? ? , VB ? ACD ? S ACD ? BE ? S ACD ? AB ? sin ? , 3 3 1 1 1 1 ? S BCD ? AF ? S ACD ? AB ? sin ? , 又 S ACD ? AB ? sin ? ? S BCD ? AB ? sin ? , 3 3 3 3

S BCD S ACD ? . sin ? sin ?
的图 [? 0, 2 ])像向右平移

7.D 解 析 : 函 数 f ( x)? s i n x ? x (

n? g ( x) ? sin( x ? ) , 令 s i x 3

?

sx i? n ( 3

?

x? )? ,

? 个单位后得到函数 3 2? 5? ? ] 或 x? 0 ,x 2 解[ 得 , 故 3 3

S?? [ s i x n? ( 3

5? 3 2? 3

?

. ] ? ) xs d i n x ?

2

8.B 解析:集合 M 表示圆心为原点,半径为 1 的位于 x 轴上方的半圆,面积为

? ,而集 2

合 N 表示集合 M 上位于第一象限内的点作两坐标轴的平行线所围成的矩形的面积,即

S ? t 1 ? t 2 ? t 2 (1 ? t 2 ) ,当 t 2 ?

1 1 2 ,即 t ? 时, N 的面积最大,最大值为 ,故点在 2 2 2

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1 1 N 内的概率的最大值为 P ? 2 ? .

?

?

2
9.C 解析: mi ? AB2 APi ? AB2 ( AC3 ? C3 Pi ) ? AB2 ? AC3 ? 2 3 ? 6 ?

3 ? 18 , 2

m1 ? m2 ?

? m10 ? 18 ?10 ? 180 .

10.C 解 析 : 取 特 殊 点 P(0,0) , M (2,2 2), N (2, ?2 2) , 则 k1 ? 2, k2 ? ? 2 , 则

|

1 1 ? |? 2 k1 k2
1 ?3 r 1 x ) ? (? ) r C5r x10?5r ,令 5 5

r ( x 2 )5 ? r ( ? 11. 2 解析:二项展开式的第 r ?1 项为 Tr ?1 ? C5

r ? 2 得常数项为 2 .
3 12. 60 解析:程序框图实质是计算排列数 Anm 的值,当 n ? 5, m ? 3 时, A5 ? 60 .

13.

2 5 解析:由三视图可知该棱锥为三条侧棱两两垂直的三棱 5
x

2 y 1

锥,如图,则有 x2 ? 12 ? 22 ? y 2 ,即 x 2 ? y 2 ? 5 ,由均值不等式有

x2 ? y 2 2 1 1 2 10 ? ,故 ? ? . 1 1 2 x y 5 ? x y
14. ( ? , ? 2) 解析:作出 f ( x) 的函数图像,如图, 当 t ? (0,1) 时, t ? f ( x) 有 4 个不同的零点, 在 y ? 2[ f ( x)]2 ? 2bf ( x) ? 1 中,令 t ? f ( x) , 函数 y ? 2[ f ( x)]2 ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点, 则方程 2t 2 ? 2bt ? 1 ? 0 在 t ? (0,1) 上有两根不同的实根,

y

3 2

1

?1

0

1

x

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?? ? 0 ? g (1) ? 0 ? 3 ? 令 g (t ) ? 2t 2 ? 2bt ? 1 ,则 ? g (0) ? 0 解得 ? ? t ? ? 2 . 2 ? b ?0 ? ? ? 1 ? 2 ?
15.5 解析:由 AB ? 6, AE ? 1 有 BE ? 5 ,由相交弦定理有 AE ? BE ? DE 2 有 DE ? 5 ,

在 Rt BDE 中,由射影定理有 DE 2 ? DB ? DF ? 5 . 16. 3 2 解析:曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1 , C2 的普通方程为 x ? y ? 8 , 3

利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 将 椭 圆 的 参 数 方 程 代 入 直 线 x? y ?8 中 有

| 2si ?n?( ? ) 8 | ? | 3 c? os ? ? s? in 8 | 3 sin(? ? ) ? 1 时,d d? ? ? [ 3 2 , 5 ,所以当 2] 3 2 2 3 1 的最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( , ) . 2 2
17.解: (1) f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos 2 ? x ?

?

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2
-------------2 分

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? ,
2? ? ? ? ? ?1 2?

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 6? 2 ?
? 2? ?f? ? 3
(2)

--------------4 分

7? 1 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

--------------6 分

? 2a ? c ? cos B ? b cos C

∴由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A ? ? sin A
sin A ? 0 ? cos B ? 1 2
B ? ? 0,? ? ?B ?

?
3

-------------9 分

2 A?C ?? ? B ? ? 3

? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?
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?2A ?

?

? ? 7 ? ?? ? , ? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?
-------------12 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? . 6? 2 ? 2? ?
2 ( )2 ( ) ? 18.解: (1)由题意得 P( X ? 3) ? C4

1 3

2 3

8 ; 27

--------------4 分

(2)由题意可知 X 可取的值为 1,2, ,3,4,5,它们的概率为:

1 8 24 0 1 4 1 2 1 3 2 2 2 1 2 P ( X ? 1) ? C4 ( ) ? ,P ( X ? 2) ? C4 ( )( ) ? ,P ( X ? 3) ? C4 ( ) ( ) ? , 3 81 3 3 81 3 3 81 32 16 3 2 3 1 4 2 4 P ( X ? 4) ? C4 ( ) ( ) ? , P( X ? 5) ? C4 ( ) ? , --------------8 分 3 3 81 3 81
故其分布列为

X P

1

2

3

4

5

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81
--------------10 分

E( X ) ?

1 11 (1 ? 16 ? 72 ? 128 ? 80) ? ,当 X ? 4 时,其概率最大. --------------12 分 81 3
F

19. 解: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连接 GD , CD , 又 GB ? GF ,所以 AF // 2GD . 因为 AF // 2CE ,所以 GD //CE ,四边形 GDCE 是平行四边形, 所以 CD // EG . 因为 EG ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC , 所以 EG // 平面 ABC . (Ⅱ)因为平面 ABC ? 平面 ACEF ,平面 ABC 平面 ACEF = AC ,
G

E A

D
B

C

--------------4 分

且 AF ? AC ,所以 AF ? 平面 ABC ,所以 AF ? AB , AF ? BC 因为 BC ? AB ,所 以 BC ? 平面 ABF . 如图, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 F (0,0,2), B(2,0,0), C (2,2,0), E (2,2,1) , BC ? (0,2,0) 是平面 ABF 的一个法向量.

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设平面 BEF 的法向量 n ? ( x, y , z ) ,则

? n ? BE ? 0, ? 2 y ? z ? 0, ? ,即 ? ? ? ?2 x ? 2 z ? 0. ? ?n ? BF ? 0.
令 y ? 1 ,则 z ? ?2, x ? ?2 ,所以 n ? (?2,1, ?2) , 所以 cos ? n, BC ??

z F

G A B x

E y C

n ? BC 1 ? , | n || BC | 3

故二面角 E ? BF ? A 的正弦值为

2 2 . 3

--------------10 分

(Ⅲ)因为 BF ? AE ? (?2,0,2)(2,2,1) ? ?2 ? 0 ,所以 BF 与 AE 不垂直, 所以不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG . 20. 解析: (Ⅰ)依题意 ? --------------12 分

?1? 1 1 1 1 1 ? 为等差数列,由 ? ? ? ? ? 15 得 a1 a2 a3 a4 a5 ? an ?

1 1 ? 5 1 1 a3 a1 1 ? 15 ,即 ? 3 ,? 公差 d ? ? n 即 an ? . --------------4 分 ? 1 ,故 a3 a3 an n 2
(Ⅱ) Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? …+n ? 2n ① ② --------------9 分

2Sn ?

1? 22 ? …+ ? n ?1? 2n ? n ? 2n?1

n ?1 2 n n?1 ② ? ①得 S n ? n ? 2 ? 2 ? 2 ? …+2 ? ? n ?1? 2 ? 2 .

?

?

由于 S n 是递增的,当 n ? 7 时 S7 ? 6 ? 2 ? 2 ? 2015 ;
8

当 n ? 8 时 S8 ? 7 ? 29 ? 2 ? 211 ? 2015 . 所以存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 , n 的取值集合为 {n | n ? 8, n ? N ?} .------------12 分 21. 解: (1)由条件可知 a ? 2, b ?

3 , 故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .-------------4 分 4 3

(2)设过点 F2 (1, 0) 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4 因为点 F2 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立.
设点 E ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,

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4k 2 ? 12 . -------------6 分 4k 2 ? 3 y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AD 的方程为: y ? ( x ? 2) , 因为直线 AE 的方程为: y ? x1 ? 2 x2 ? 2 y2 y1 y 1 y ) , N (3, 2 ) ,所以点 P 的坐标 (3, ( 1 ? )) . 令 x ? 3 ,可得 M (3, x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2
则 x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x 2 ?

--------------8 分

y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 3 ?1 y 1 y 1 x y ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? ( 1 ? 2 )? ? 1 2 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 ? 2 x2 ? 2 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

y

l
D M

O F2

A P

x
N

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 1 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? ? , ?? 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . 4 2k ?
e ax 在 [1, ??) 上为增函数, x

E

--------------12 分

22.解: (1)由题知 y ?

故(

eax eax (ax ? 1) )? ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,故 ax ? 1 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立, x x2
1 1 在 x ? [1, ??) 上恒成立,而 ? 1 ,? a ? 1 . x x
x 2

即a ?

--------------4 分

x e 2 ( ? 1) 1 f ( x) e 2 ? (2)当 a ? 时, g ( x ) ? , g ?( x) ? , 2 x x x2
当 x ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增;

x

--------------5 分

当 x ? 2 且 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0,2),(??,0) 上单调递减; 又 m ? 0 ,? m ? 1 ? 1
m

故当 m ? 2 时, g ( x) 在 [ m, m ? 1] 上单调递增,此时 g ( x) min

e2 ? g ( m) ? ; m

当 0 ? m ? 1 时 , m ? 1 ? 2 , g ( x) 在 [ m, m ? 1] 上 单 调 递 减 , 此 时

理科数学试卷 A 型

第 12 页 共 13 页

试卷类型 A
m ?1

g ( x ) min

e 2 ? g (m ? 1) ? ; m ?1

当 1 ? m ? 2 时 , g ( x) 在 [ m, 2] 上 单 调 递 减 , 在 [2, m ? 1] 单 调 递 增 , 故 此 时

g ( x) min ? g (2) ?

e ; 2
m ?1

--------------8 分

综上有:当 0 ? m ? 1 时, g ( x ) min

e 2 ? g (m ? 1) ? ; m ?1
e ; 2
--------------9 分

当 1 ? m ? 2 时, g ( x) min ? g (2) ?
m

当 m ? 2 时, g ( x) min

e2 ? g ( m) ? . m

(3)由(2)知,当 x ? 0 时, g ( x) 在 (0, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增,
x

e e2 e ? ,故 g ( x ) ? g (2) ? ,即 2 x 2
故当 x ? 0 时,总有

--------------10 分

x e
x 2

?

2 成立, e
--------------12 分

取 x ? n 时有

n 2 1 n 1 2 ? , ? 2 ? 2? , n n n e n( e ) n e ( e) n ( e) ? 1 2 1 1 ? (1 ? 2 ? 2 ? n e 2 3 n( e ) ? 1 ) n2



1 1 1 ? ? ? 2 e 2( e ) 3( e )3
2 5 1 1 ? ( ? ? ? e 4 2 ? 3 3? 4

?

1 2 5 1 1 7 )? ( ? ? )? . (n ? 1)n e 4 2 n 2e

--------------14 分

理科数学试卷 A 型

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